一线三等角型相似初三压轴题

一线三等角型相似初三压轴题三等角型相似三角形是指以等腰三角形或等边三角形为背景，一个顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交。当顶点移动到底边的延长线上时，形成变式图形，但求证的方法不变，需要通过做题体会。例1：在等边三角形ABC中，边长为6，D是BC上动点，且∠EDF=60°。需要证明△BDE∽△CFD，并求出当BD=1，FC=3时，BE的长度。解：由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60°，再用外角可证∠BED=∠CDF，从而可证△BDE与△CFD相似。根据相似比可以求得BE的长度为1/3。例2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，且∠EDF=∠B。需要证明△BDE∽△DFE。解：点D成为BC的中点与例1相比，只是少了一个已知条件，但是△BDE与△CFD相似的结论依然成立。根据相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件，可以证得△BDE和△DFE相似。例3：在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B。需要求证△BPM∽△ABC。解：根据题意可得∠B=∠APM，又因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。由于BP是等腰三角形△BPC的高，所以BP=PC=4。根据相似比可以得到BP/AB=1/2，从而可以证明△BPM∽△ABC。1.（1）由题意可知，∠ADE=∠C，∠A=∠C，所以∠AED=∠ACB，因此△ADE∽△ACB，又因为∠ABC=∠ACB，所以△ABD∽△DCE。（2）根据△ABD∽△DCE可得：$\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{AB}{AC}=1$，即$BD=CE=x$，又因为$\triangleADE\sim\triangleABC$，所以$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，即$\dfrac{y}{8}=\dfrac{DE}{10}$，解得$DE=\dfrac{5}{4}y$，又因为$\triangleADE\sim\triangleDCE$，所以$\dfrac{DE}{CE}=\dfrac{AE}{BD}$，即$\dfrac{5}{4y}=\dfrac{y}{x}$，解得$y=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$，$x=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$，自变量$x$的定义域为$0<x<8$。（3）当点$D$是$BC$的中点时，$BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=3$，由勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{31}$，又因为$\triangleADE\sim\triangleABC$，所以$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，即$\dfrac{y}{\sqrt{31}}=\dfrac{5}{12}$，解得$y=\dfrac{5\sqrt{31}}{12}$，所以$\triangleADE$是一般三角形。2.（1）设$\angleBAC=\theta$，则$\angleBDC=\angleBAC=2\theta$，又因为$\angleDEF=\angleB$，所以$\angleCEF=180^\circ-\angleDEF=180^\circ-\angleB$，又因为$\angleBAC=\angleB$，所以$\angleCEF=\angleBAC=\theta$，所以$\angleCED=180^\circ-\angleCEF-\angleCDE=180^\circ-\theta-2\theta=180^\circ-3\theta$，又因为$\angleADE=90^\circ$，所以$\angleCEB=\angleCED-\angleADE=90^\circ-3\theta$，所以$\angleCEB+\angleCFE=90^\circ-3\theta+\theta=90^\circ-2\theta$，又因为$\angleCFE=\angleB$，所以$\angleEBD=\angleCEB+\angleCFE=90^\circ-2\theta+\theta=90^\circ-\theta$，所以$\angleBDE=\angleB-\angleEBD=\theta$，因此$\triangleFCE\sim\triangleEBD$。（2）由$\triangleFCE\sim\triangleEBD$可得$\dfrac{FC}{EB}=\dfrac{CE}{BD}$，即$\dfrac{y-5}{x}=\dfrac{6}{x}$，解得$y=\dfrac{11x}{6}-5$，自变量$x$的定义域为$0<x<5$。2.当点D在线段AB上运动时，是否有可能使$\triangleFCE=4\triangleEBD$？若有可能，求出BD的长；若不可能，请说明理由。3.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$P$是$BC$上一点，且$BP=2$。将一个大小与$\angleB$相等的角的顶点放在$P$点，然后将这个角绕$P$点转动，使角的两边始终分别与$AB$、$AC$相交，交点为$D$、$E$。（1）求证$\triangleBPD\sim\triangleCEP$；（2）是否存在这样的位置，使得$\trianglePDE$为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由。4.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$P$是$BC$上的一个动点（与$B$、$C$不重合），$PE\perpAB$于$E$，$PF\perpBC$交$AC$于$F$，设$PC=x$，记$PE=y_1$，$PF=y_2$。（1）分别求$y_1$、$y_2$关于$x$的函数关系式；（2）$\trianglePEF$能为直角三角形吗？若能，求出$PC$的长；若不能，请说明理由。5.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$P$是$BC$上的一个动点（与$B$、$C$不重合），$PE\perpAB$于$E$，$PF\perpBC$交$AC$于$F$，设$PC=x$，$\trianglePEF$的面积为$y$。（1）写出图中的相似三角形（不必证明）；（2）求$y$与$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围；（3）若$\trianglePEF$为等腰三角形，求$PC$的长。6.已知在等腰三角形ABC中，$AB=BC=4$，$AC=6$，$D$是$AC$的中点，$E$是$BC$上的动点（不与$B$、$C$重合），连结$DE$，过点$D$作射线$DF$，使$\angleEDF=\angleA$，射线$DF$交射线$EB$于点$F$，交射线$AC$于点$H$。（1）求证：$\triangleCED\sim\triangleADH$；（2）设$EC=x$，$BF=y$。①用含$x$的代数式表示$BH$；②求$y$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的定义域。7.已知在梯形$ABCD$中，$AD\parallelBC$，$AD<BC$，且$AD=5$，$AB=DC=2$。（1）如图，在$AD$上取一点$P$，满足$\angleBPC=\angleA$。①求证：$\triangleABP\sim\triangleDPC$；②求$AP$的长。（2）如果点$P$在$AD$边上移动（点$P$与点$A$、$D$不重合），且满足$\angleBPE=\angleA$，$PE$交直线$BC$于点$E$，同时交直线$DC$于点$Q$，那么①当点$Q$在线段$DC$的延长线上时，设$AP=x$，$CQ=y$，求$y$关于$x$的函数解析式，并写出函数的定义域；②当$CE=1$时，写出$AP$的长（不必写出解题过程）。当EF=FM时，由角度相等可得AE=EM，从而得到12-x=8+(x-6)，解得x=9。证明：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，所以∠B=∠C。又BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，所以EB/BP=2/1，因此△BEP∽△CPD。（2）由角度相等可得∠BEP=∠FPC，所以△BEP∽△CPF。又EB/BP=2x/(3x-4)，PC/CF=(6-x-y)/y，所以2x/(3x-4)=(6-x-y)/y，解得y=-1/(2x+3x-4)（2<x<4）。当点F在线段CD的延长线上时，由角度相等可得△BEP∽△DMF，所以S△DMF/S△BEP=y/(2x+3x-4)。解方程x^2-3x+8=0，得到x=1或x=8，但x=8不符合题意，所以BP=1。当点F在线段CD上时，同理可得BP=2x/(2x-3x+4)，解方程x^2-9x+8=0，得到x=1或x=8，但x=8不符合题意，所以BP=1。10.解：（1）由相似三角形可得EM/BE=MF/BM，MF=2，BE=2x，所以