第二章资金等值基本计算公式

水利工程经济学Waterresourceengineeringeconomics第二章资金的时间价值与基本计算公式●主要教学内容资金时间价值的涵义及其表现形式资金流程图与计算基准点资金等值计算的基本公式基本公式应用例题讲解第二节复利计算的基本公式

为了计算不同时间的资金，需要将他们折算到同一时刻再进行加减或比较。折算有几个公式。另外几个概念（1）折现-对于现金流量图表，从时间看都有一个始点和一个终点，把将来某一时间的资金换算成始点的等值资金称为折现。（2）现值-将来时间上的资金折现后的资金额称为现值。（3）期值（或终值）-与现值等价的终点时间的资金值。PF基本计算公式的符号：P—现值，一般指年初或折算到年初的本金(Presentvalue)。F—终值，指本金折算到第n年末的本利和(Finalvalue)。A—等额年金，指从第1年至第n年每年末发生的等额资金流入或等额资金流出系列(Annuity)。G—递增年值，即等差系列的级差值(Grade)。i—银行利率、计算利率或折现率(interest)。n—计息期数或计算期数，通常以年为单位(number)。j

—等比系列的增长百分比。资金等值计算的基本公式（重点）一次支付公式等额多次支付公式等差系列公式等比系列公式资金等值计算的基本公式（重点）一次支付公式

复利计算公式—一次支付公式1、一次支付终值公式i012n－1nPF一次支付又称整付，是指分析系统的现金流量，无论是流入还是流出，均在一个时点上一次发生。

复利计算公式—一次支付公式1、一次支付终值公式i012n－1n本利和，就是终值（Futurevalue）本金，资金现值（Presentvalue）折现率，利息（Interestrate）计息周期数（Numberofperiod）一次支付终值因子

F＝P(1+i)n

＝P(F/P，i，n)PF（1）一次支付终值（期值）公式

式中，(1+i)n称为一次收付终值因子（SinglePaymentCompoundAmountFactor），缩写成［SPCAF］，也可用符号［F/P,i,n］或（F/p,i,n）表示。其中，斜杠右边的字母代表相应的已知参数，斜杠左边的字母为所求量，以后遇到类似的符号表示，意义相同。复利因子表复利计算公式—一次支付公式1、一次支付终值公式例题：某水利工程需要向银行贷款1000万元，年利率为7％。5年后还清，试问到期应偿还本利和共多少？

复利计算公式—一次支付公式1、一次支付终值公式步骤：1.画现金流量图

123451000万元F0复利计算公式—一次支付公式一次支付终值公式步骤：2.确定已知和所求已知P、i、n求F复利计算公式—一次支付公式一次支付终值公式步骤：3.确定所用公式一次支付终值公式复利计算公式—一次支付公式一次支付终值公式步骤：4.进行计算

F＝1000×(1+7％)5

=1000×（F/p,7%,5）

＝1402.6万元例：已知资金现值100元，年利率为5%，求10年后的本利和为多少？解：根据P=100，i=5%，n=10，查表得:或计算得

如果年利率5%不变，但要求半年计息一次。此时，年利率5%为名义利率，要换算成实际利率再进行计算，其10年后的本利和计算如下：

实际利率:10(年)P=100元F＝?i=5%back复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式i012n－1nPF一次支付现值因子折现率或贴现率这种终值折现为现值的过程称为贴现或折现P＝F/(1+i)n

＝F(P/F，i，n)复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式例题：

某人希望10年后有50万元买房子。按6％的年利率，他现在应该存入银行多少钱？(复利)

复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式步骤：1.画现金流量图

12345p50万元8769106%0复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式步骤：2.确定已知和所求已知F、i、n求P复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式步骤：3.确定所用公式一次支付现值公式复利计算公式—一次支付公式2、一次支付现值公式步骤：4.进行计算

P＝50/(1+6％)10

=50×（P/F,6%,5）

=50×0.5584

＝

27.92万元（2）一次支付现值公式(贴现公式)

式中，1/(1+i)n称为一次收付现值因子（SinglePaymentPresentWorthFactor），缩写成［SPPWF］，也可用符号［P/F,i,n］表示。【例2-4】某单位想在10年以后拥有20000万元技改资金，若年利率为6%，问现在应一次存入银行多少现金？解：已知F=20000万元，i=6%，n=10年，则3三峡水利枢纽工程现金流量图0121112131415161767建设期投产期正常运行期

通常将序列连续且数额相等的现金流量称为等额系列现金流，这种支付方式则称为等额多次支付，其典型现金流量如图2-4所示。复利计算公式—等额多次支付公式复利计算公式—等额多次支付公式1、等额支付终值公式

i012n－1n终值（期值）（Futurevalue）等额支付终值因子AFF＝A(F/A，i，n)等额支付终值公式（分期等付终值公式）问题：已知一系列每年年末偿付等额年金值A，求n年后的本利和（终值）F。第一年年末偿付A,至第n年年末可得终值

第二年年末偿付A,至第n年年末可得终值

第n-1年年末可得终值:

第n年年末可得终值:

AFn012i资金流程图如图所示。其计算公式推导过程如下：上式两边同乘以(1+i)，得：(1)(2)(2)-(1)，得：即：式中：称为等额支付终值因子（分期等付期值因子）或以[F/A,i,n]表示。这个问题相当于银行的零存整取，不同的是分期等付的资金发生在期末，而零存整取的资金发生在期初。试推导银行零存整取的计算公式，看看资金流程图有什么区别？

【例2-5】某水利工程建设期为6年，假设每年年末向银行贷款3000万元作为投资，年利率i=7%，到第6年末共欠银行本利和为多少（注：假设发生在年末）？解：因此，到第六年末欠款总额21460万元，其中利息总额为21460-3000*6=3460万元，利息为贷款资金的19.2%。102n-13nAF=?AAAAF=A(F/A，i，n)注意图中A、F的位置等额支付终值因子

复利计算公式—等额多次支付公式例题：某人每年年末存入银行1万元。存款利率3％（复利），10年后的本利和为多少？

等额支付终值公式

复利计算公式—等额多次支付公式0123456789101万F等额支付终值公式

复利计算公式—等额多次支付公式例题：某人每年年初存入银行1万元。存款利率3％（复利），10年后的本利和为多少

等额支付终值公式

复利计算公式—等额多次支付公式0123456789101万F等额支付终值公式

思路1：一定要注意公式应用的条件！切忌盲目应用公式！AF10012i=3%AF110012i=3%A0129F2'i=3%F2F2'i=3%思路2：AF10012i=3%AF'9012i=3%FF'i=3%F0nA1234n-1F0nA1234n-1注意现金流量图的变化对计算的影响复利计算公式—等额多次支付公式2、基金存储公式i012n－1n基金存储因子AFA＝F(A/F，i，n)？式中：称为基金存储因子（SinkingFundDepositFactor）,缩写成[SFDF]，以[A/F,i,n]表示。基金存储公式问题：已知n年后需要偿还一笔资金F，可以通过在n年内每年年末偿还一定的资金A而达到目的。也就是说，在n年内每年年末预先存储一定的基金A，n年后积累的资金能够偿还这笔资金，因而也称基金存储公式。

由得：

【例2-6】某人希望在10年后得到一笔40000元的资金，若年利率为5%，在复利计算条件下，他应每年等额地存入银行多少元？解：

【例2-7】某人学习了工程经济学课程以后，了解到达到富裕的最佳决策及实施这一决策的方法是利用货币的增殖能力。如果他希望在年满59岁退休时拥有100万元，他决定从25岁生日时就开始投资，假定投资的年收益率为10％，则从第25个生日起，到第59个生日止，每个生日必须投资多少？解：A＝F(A／F，i，n)=100×(A／F，10%，35)=100×0.00369=0.369（万元）25262759F=100A=?i=10%3、等额支付现值（分期等付现值）公式问题：工程项目经济评价中，常需要求一系列等额资金的年效益或年费用的现值，属于折现法的一种。即已知A，求P2APn1i式中：称为等额支付现值因子（分期等付现值因子）（UniformSeriesPresentWorthFactor），缩写为[USPWF]或以（P/A,i,n）表示。102n-13nP=?AP＝A×(P／A，i，n)3、等额支付现值公式

复利计算公式—等额多次支付系列3、等额支付现值公式

i012n－1n等额支付现值因子AP？P＝A(P/A，i，n)

【例2-8】有一新建水电站投入运行后，每年靠出售产品电能可获得效益1.2亿元，若水电站可运行50年，采用折现率7%计算，其总效益的现值为多少（假定效益发生在每年年末）？

【例2-9】某防洪工程从2001年起兴建，2002年底竣工投入使用，2003年起连续运行10年，到2012年平均每年可获效益800万元。按i=5%计算，问将全部效益折算到兴建年（2001年初）的现值为多少？【例2-10】一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式是在今后5年里每年收到12000元，随后又连续7年每年收到6000元，另一种收益方式是将前种收益形式改为一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率10％，投资者选择后一种方式，即一次性购买专利权的价格为多少？102536P=?A1

=12000

i=10%1112A2=6000解：P前5年=A1(P/A,10%,5)=45492元

P后7年=A2(P/A,10%,7)(P/F,10%,5)=18135元

P=P前5年+P后7年=63627元102n-13nPA=?A＝P×(A／P，i，n)4、资金回收公式

（本利摊还公式）资金回收因子【例2-11】：某投资项目贷款200万元，银行要求在10年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为10％，那么项目每年的净收益不应少于多少万元？1029310P=200A=?解：A=P(A／P,i,n)=200(A／P,10%,10)=200×0.16275=32．6万元【例2-12】几个大学生合资建设一家废旧金属回收公司，期初投资100万元，建设期1年，第二年投产，如果年利率为10％，打算投产后5年内收回全部投资，问该厂每年应最少获利多少？解：A=P(F／P,10％,1)(A／P,10％,5)=100×1.100×0.2638=29.018万元

A=100(F／P,10％,6)(A／F,10％,5)=100×1.722×0.1638=29.016万元P=100A=？123456年i=10%0

【例2-13】某人向银行贷款30万元用于购房，合同约定以后每个月底等额偿还，期限为20年，若贷款年利率6%，请问每月应偿还多少？

1年利率为6%，也即月利率i=0.06/12=0.005;偿还期限为20年，即240个月。

本利摊还因子（A/P,i,n)和基金存储因子(A/F,i,n)的关系：2APn1iF即：这说明本利摊还因子是由基金存储因子[SFDF]和利率i两部分组成，也就是说每年偿还的资金一部分用于支付等额的本金，一部分用于支付本金每年所产生的利息。

例：某贷款修建的水利工程，每年年末需还款100万元，年贷款利率i=10%，问第10年年末累计还款总额为多少？AF10012i=10%解：A=100万元，i=10%,n=10练习例：某银行开展三年期零存整取业务，年利率为6%，按复利计算，从现在起，每月月初存款100元，问到期后应支取的金额为多少？解：年利率6%为名义利率，因此月利率i=6%/12=0.5%,A=100元那么，n=?如何应用公式？AF36012i=0.5%练习思路1：一定要注意公式应用的条件！切忌盲目应用公式！AF36012i=0.5%AF136012i=0.5%A01235F2'i=0.5%F2F2'i=0.5%思路2：AF36012i=0.5%AF'36012i=0.5%FF'i=0.5%例：已知15年后要还清银行的贷款F=100万元，年贷款利率i=10%，在这15年内，问每年年末需偿还的资金A为多少？解：F=100万元,n=15,i=10%2AF1510i=10%思考：如果放贷者要求每年年初还贷呢？2AF1510i=10%练习例：某水利工程需建设资金1000万元，全部从银行贷款，年初一次拨付到位，年贷款利率i=10%，规定于贷款当年年末开始等额偿还本息A，要求15年后还清全部本息。问每年年末需偿还的资金A为多少？如果工程从第5年年末开始受益，规定从受益的次年年末开始等额偿还本息A'，要求10年后还清全部本息，问每年年末需偿还的资金A'又为多少？解：对于第一个问题：已知P=1000万元，i=10%，n=152A=？P=1000万元151i=10%对于第二个问题，相对来讲比较复杂：

1000万元15567P'A'i=10%对于A´的计算要分成两步，首先算出P´，然后再利用本利摊还公式进行计算。P´是假定的贷款额，用虚线表示，应和年初的P=1000万元等值。请注意这里的n=10等额系列公式（小结--两对公式）（1）分期等付终值公式AFn012i（2）基金存储公式（3）本利摊还公式2APn1i（4）分期等付现值公式在水利工程经济分析中，有些费用和效益是逐年变化的，当这种变化呈等差递增或递减的规律时，可用等差系列公式进行计算。如灌溉工程中，每年增加相同的灌溉面积，灌溉效益每年增加相同的数额，这样就形成了一个等差递增系列。又如某大型机井灌区，经过正常运行期后，从第一台机井报废开始，逐年报废一定数量的机井，直到全部报废为止，灌区效益每年也减少相同的数额，则形成了一个等差递减系列。每年增加或减少的数额，就是级差(G)。三、等差系列公式（1）等差递增系列期值公式、现值公式、年金公式（2）等差递减系列期值公式、现值公式、年金公式注意：（1）现金流量图设有一个等差系列现金流0，G，2G，…，（n-1）G分别于第1,2,3，…，n年年末发生，如图示。（2）有关规定

现值P发生在第1年年初，终值F发生在第n年年末，等差系列现金流等差G发生在每一年的年末。10234Gnn-12G3G(n-2)G(n-1)Gi标准等差递增系列（1）等差递增系列问题：假定级差为G，从第1年到第n年，每年年末收入（或支出）为0，G，2G,…，(n-1)G，现金流量图如图所示。已知年利率为i，求该等差系列第n年年末的期值F、第1年年初的现值P和相当等额系列的年金值A。期值公式已知G、n、i，求F

现值公式已知G、n、i，求P

年金公式已知G、n、i，求A三、等差系列公式①等差递增系列终值公式式中：称为等差递增系列终值因子（ArithmeticSeriesCompoundAmountFactor），缩写为[ASCAF]，以符号[F/G,i,n]表示。②等差递增系列现值公式10234Gnn-12G3G(n-2)G(n-1)GiP由上式和得：式中：称为等差递增系列现值因子（ArithmeticSeriesPresentWorthFactor），缩写为[ASPWF]，以符号[P/G,i,n]表示。③等差递增系列年金公式由和得：10234Gnn-12G3G(n-2)G(n-1)GiFAFn012i10234Gnn-12G3G(n-2)G(n-1)GiA称为等差递增系列摊还因子（ArithmeticSeriesCapitalRecoveryFactor），缩写为[ASCRF]，以符号[A/G,i,n]表示。（2）等差递减系列10234Gnn-12G(n-3)G(n-2)G(n-1)G(n-4)G10234nn-110234nn-1G2G3G(n-2)G(n-1)G(n-1)G三、等差系列公式①等差递减系列期值公式②等差递减系列现值公式③等差递减系列年金公式实际上，只要掌握了基本的公式，任何复杂的系列都可以推导出相应的公式。

例：某水电站机组台数较多，投产期长达10年，随着水力发电机组容量的逐年增加，电费收入为一个等差递增系列，G=100万元，i=10%，n=10年，求该水电站在投产期内总效益的现值。1023465789101002003004005006007008009001000t(年)102346578910G=10011思路1思路21023465789101002003004005006007008009001000t(年)1023465789100200300400500600700800900t(年)101023465789t(年)10A=100万元例：某大型灌区改造工程于2000年年初进入试运行期，并开始受益，由于灌区较大，初始运行期长达10年。预计2000年年底效益为500万元，随着灌溉面积的增加，以后每年效益可增加100万元。如果年利率为6%，试问①该工程在初始运行期的总效益等价于2000年年初的现值为多少？②同2010年年初的等价效益终值是多少？③相当于每年获得多少等值效益？(a)10234657891050060070014001300i=6%(b)102346578910A'=500(c)102346578910G=100根据题意，资金流程图如图a所示，图中效益单位为万元，2000年年初标示为0。由于该等差递增系列与标准等差递增系列模型不同，因此必须把这个等差系列分解为一个分期等付系列和一个标准等差递增系列两部分。其中：分期等付系列的年金值A‘

=500万元，等差递增系列的级差G=100万元。(b)102346578910A'=500(c)102346578910G=100P1P2①实际上，就是求图（a）系列的现值。也就是图（b）分期等付系列和图（c）标准等差递增系列的现值之和。

所以总效益等价于2000年年初的现值P=P1+P2=3680.05+2960.22=6640.27万元。②既然已经求出了2000年初的现值P,实际上就相当于求F。102346578910PFi=6%③已知P，求A。102346578910A=？P年序12345678910效益1002003004005006007008009001000

【例题】有一项水利工程，在最初10年内，每年的效益成等差系列逐年递增，具体各年效益如下表所列：表2-3某水利工程各年效益表单位：万元（1）到第10年末的总效益为多少万元？假定效益都发生在每年的年末。（2）这10年的效益总现值为多少，以第一年年初为基准年。（3）这些效益相当于每年均匀获益多少？四、等比系列公式G1G2G3Gn-1Gn0123nn-1在国民经济计划中，一般都是按一定的比例或增长率进行预测分析，如果某一阶段的增长率保持不变时，则形成了一个等比系列。等比系列也分等比递增系列和等比递减系列。

从第1年到第n年，每年年末效益为G1、G2、G3、…、Gn-1、Gn

，假设每年的效益增长率为j，则该系列为

D、D(1+j)、D(1+j)

2、…、D(1+j)

n-1,形成一个标准的等比递增系列，资金流量图如图所示。为了推导公式方便，一般假定第一年年末的效益G1=1。已知年利率为i，求该等比系列第n年年末的期值F、第1年年初的现值P和相当等额系列的年金值A。

等比递增系列期值公式等比递增系列现值公式等比递增系列年金公式①等比递增系列期值公式4.等比系列公式11+j0123nn-1(1+j)2(1+j)n-2(1+j)n-1i已知

i、j、n，求F。变形得：(1)(1)式两边同乘以得：(2)(2)式-(1)式，得：(3)即：为等比递增系列期值因子。

[F/j,i,n]②等比递增系列现值公式③等比递增系列年金公式由和得：由和得：注意：以上公式中i=j

否则没有意义资金等值计算公式1、一次支付终值公式2、一次支付现值公式3、等额支付终值公式4、基金存储公式5、等额支付现值公式6、本利摊还公式7、等差序列公式1、一次支付终值公式

一次支付终值因子注意图中P、F的位置

现在贷款P元，年利率为i,n年末需偿还本利和为多少元？FAPP0n1234n-1F2、一次支付现值公式一次支付现值因子P0n1234n-1F注意图中P、F的位置FAP3、等额支付终值公式A---等额年值等额支付终值因子F0nA1234n-1注意图中A、F的位置FAP4、基金存储公式AF0n1234n-1基金存储因子注意图中A、F的位置FAP5、等额支付现值公式0nA1234n-1P等额支付现值因子注意图中A、P的位置AP6、本利摊还公式0nA1234n-1P本利摊还因子AP

类别求解已知复利因子因子代数式公式

FP

(F/P，i，n)

PF

(P/F,i,n)

FA(F/A，i，n)

AF(A/F，i，n)

PA

(P/A，i，n)

AP

(A/P，i，n)

FG(F/G，i，n)

等值计算公式一次支付系列等额多次支付系列6个主要公式的关系

但应注意，只有在i、n等条件相同的情况下，上述关系才成立。课堂练习

1、某交通工程项目建设期4年，每年年初从银行贷款4000万元作为投资，若按年利率6%计复利，该工程到第四年末欠银行本利和数额多少？

2、第一年初付款1000元，第二年初付款2000元，第三年初付款5000元，第4年末到第8年末每年付款额4000元，若年利率12%，计算等效现值、等效期值和等效年值。习题1、某城市为了防洪加固堤岸，该工程第一年费用为85万元，以后每年递减10万元，共进行5年。若折现率为12%，则5年加固费用的现值为多少？2、某水利工程在建成投产以后的3年中，每年获效益200万元，以后17年中，每年效益为300万元，若折现率为12%，问20年的效益折算到工程开始受益年初的现值为多少？3、某灌溉工程1985年初开始兴建，建设期3年，各年投资分别为600万元、800万元和500万元。1988年开始受益，估计工程能运行25年，每年效益为450万元，年运行费为40万元，折现率为7%。计算折算至1985年初的效益现值与费用（包括投资和年运行费