高一人教版必修一数学期中复习课件

1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：_________、________、_________.（2）元素与集合的关系是______或________关系，用符号____或_____表示.§1.1集合的概念及其基本运算确定性互异性无序性属于不属于§1.1集合的概念及其基本运算确定性互异性无序性属于不1(3)集合的表示法：_______、_______、_______、_______.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为________、_________、______.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则

（或

）.若A

B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x

A，则_______（或______）.列举法描述法图示法有限集无限集空集区间法(3)集合的表示法：_______、_______、___2___A；A___A；A

B，B

C

A____C.若A含有n个元素,则A的子集有____个,A的非空子集有______个,A的非空真子集有________个.(2)集合相等若A

B且B

A,则_______.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B=_______________；补集：UA=_________________.

U为全集，UA表示A相对于全集U的补集.2n2n-12n-2A=B{x|x∈A且x∈B}___A；A___A；AB，BCA____3(2)集合的运算性质并集的性质:A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=A

B

A.交集的性质：A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A

A

B.补集的性质：(2)集合的运算性质41.（2009·广东理，1）已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和

N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个

解析

M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.B1.（2009·广东理，1）已知全集U=R，52.（2009·天津文，13）设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1},若A∩(UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}，则集合B=___________.

解析

A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.{2,4,6,8}2.（2009·天津文，13）设全集U=A∪B={x∈N*|63.（2009·北京文，14）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A,如果k-1A,且k+1A,那么称k是

A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由

S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有____个.

解析

由题意知，不含“孤立元”的集合有：{1,2，3},{2,3，4},{3,4，5},{4,5，6},{5,6，7},{6,7，8}，共有6个集合.63.（2009·北京文，14）设A是整数集的一个非空子67

4.已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=（1）若A

B，求实数a的取值范围；（2）若B

A，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论.利用数轴分析，使问题得到解决.思维启迪思维启迪8§2.1函数及其表示1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的

，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个数x,在集合B中数集任意§2.1函数及其表示数集任意9都有

的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

.显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：

、

和

.(4)相等函数：如果两个函数的

和

完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

唯一确定定义域值域定义域值域对应关系定义域对应关系都有的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B102.函数的表示法 表示函数的常用方法有：

、

、

.3.映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中

确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是

概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,

B必须是

.

解析法图象法列表法都有唯一函数非空数集2.函数的表示法解析法图象法列表法都有唯一函数非空数集111.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有() A.①②③④B.①②③

C.②③

D.②

解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.CC122.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）= 是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象 是一条直线；④f（x）=

与g(x)=x是同一个函数. 其中正确的有 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个

解析由函数的定义知①正确.

∵满足f（x）=

的x不存在，∴②不正确.

又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.

又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.

A2.给出四个命题：A13求函数的定义域【例1】（2009·江西理，2）函数 的定义域为 （ ） A.（-4，-1） B.（-4，1） C.（-1，1） D.（-1，1］求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.

解析

思维启迪

C求函数的定义域思维启迪C143.(2008·湖北)函数的定义域为 （ ） A.（-∞，-4］∪［2，+∞） B.（-4，0）∪（0，1） C.［-4，0）∪（0，1］ D.［-4，0）∪（0，1）3.(2008·湖北)函数15求函数解析式4.（1）已知f(+1)=lg

x，求f（x）； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）； (3)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1,对任意x，y∈R

恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式.求函数解析式16分段函数5.设函数f(x)=若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为 （ ） A.1B.2

C.3

D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.

思维启迪分段函数思维启迪17§2.2函数的单调性与最大(小)值1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

§2.2函数的单调性与最大(小)值增函数减函数定义一般18定义当x1<x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的当x1<x2时,都有当x1<x2时，都有f（x1）<f(x219(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D(2)单调区间的定义增函数减函数区间D202.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存211。

试讨论函数x∈(-1,1)的单调性（其中a≠0）.

解方法一根据单调性的定义求解.设-1<x1<x2<1,∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.1。试讨论函数x∈(-1,122复合函数的单调性2。已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）

先求得函数的定义域,然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.

解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由此可得D项符合.故选D.思维启迪D复合函数的单调性思维启迪D23函数的单调性与最值3。已知函数x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的问题来解决.思维启迪函数的单调性与最值思维启迪24函数单调性与不等式4。(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.思维启迪函数单调性与不等式思维启迪255.函数（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是()A.（0，1）B.C.D.

解析据单调性定义，f（x）为减函数应满足：BB261.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,这里n叫做_________，a叫做___________.§2.4指数与指数函数a的n次方根根式根指数被开方数§2.4指数与指数函数a的n次方根根式根指数被开方数27（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的

n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.a（2）根式的性质a28④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：

（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④当n为奇数时，=____;a129④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤负分数指数幂：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0没有意义④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*303.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x>0时,_____;x<0时,_______(2)当x>0时,_______;x<0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1减函数增函数3.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1定义域__311.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|

解析因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数

y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所以排除B、D.C1.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递C322.右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c

2.右图是指数函数（1）y=ax，333.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于（）A.5B.7C.9D.11

解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，

f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.

B3.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)344。指数运算

4。指数运算35指数函数的性质5。(12分)设函数f(x)=为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪指数函数的性质思维启迪366。若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.

解析数形结合.当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,6。若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,377.若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在x∈[-1,1]上的最大值为14，求a的值.解令ax=t,∴t>0，则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴为t=-1.该二次函数在［-1，+∞）上是增函数.①若a>1，∵x∈［-1，1］，∴t=ax∈故当t=a,即x=1时，ymax=a2+2a-1=14,解得a=3(a=-5舍去).7.若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在x∈[-381.对数的概念（1）对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数.aN§2.5对数与对数函数x=logaNaN§2.5对数与对数函数x=logaN39（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质①=_____;②logaaN=_____(a>0且a≠1).

对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________elnNlgNlogaN10NN（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且40（2）对数的重要公式①换底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推广logab·logbc·logcd=______.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;logadlogaM+logaNlogaM-logaN（2）对数的重要公式logadlogaM+logaNloga41③logaMn=

___________(n∈R);④3.对数函数的图象与性质nlogaM

a>10<a<1图象③logaMn=___________(n∈R);nlo42性质(1)定义域:__________(2)值域:_____(3)过点_______,即x=___时,y=___(4)当x>1时,_____当0<x<1时,_______(4)当x>1时,_______当0<x<1时,_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________R(0,+∞)(1,0)y>0y>0y<0y<010增函数减函数4.反函数指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数，它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x(1)定义域:__________(2)值域:_____(343基础自测1.（2009·湖南理）若log2a<0,则（）A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0

解析∵log2a<0=log21,∴0<a<1.∵∴b<0.D基础自测D442.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）A.B.C.D.

解析由条件知log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴C2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么453.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析

a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,

c=20.3∈(1,+∞),∴b<a<c.D3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,464.(2009·全国Ⅱ理,7)设a=log2π,

则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

(1)引入中间量如“1”或“

”比较.(2)利用对数函数的图象及单调性.

解析∵a=log2π>1,∴a>b,a>c.∴b>c,∴a>b>c.思维启迪A思维启迪A475.函数的定义域是_______.

解析要使有意义需使∴0<3x-2≤1,即<x≤1,∴的定义域为5.函数的定义域是_____48对数的化简与求值6.(1)化简:(2)化简:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

(1)、（2）为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式来求

a2m+n的值.思维启迪思维启迪49对数函数的性质7.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)，如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求

a的取值范围.当x∈[3，+∞)时，必有|f(x)|≥1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间[3，+∞)上的最小值不小于1.解当a>1时，对于任意x∈[3，+∞),都有f(x)>0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3，+∞)上为增函数，∴对于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3.4分思维启迪对数函数的性质思维启迪508.已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)∪(1,3)D.(3,+∞)解析记u=(3-a)x-a,当1<a<3时，y=logau在（0，+∞）上为增函数，

u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求.当a>3时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，8.已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的519.已知函数

是奇函数(a>0,a≠1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.

解（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，∴1-m2x2=1-x2恒成立，∴m=-1或m=1（舍去），∴m=-1.9.已知函数是奇函数(a5210.(2009·辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x≥4时，当x<4时，f(x)=f(x+1).则f(2+log23)=（）A.B.C.D.

解析因为2+log23<4,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log23>4,故f(3+log23)=A10.(2009·辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x≥45311.函数y=f(x)的图象如右图所示,则函数y=的图象大致是()11.函数y=f(x)的图象如右图所示,则5412.函数y=loga|x+b|(a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是（）

解析由a>0,ab=1可知b>0,又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称，由图象可知b>1,且0<a<1,由单调性可知，B正确.B12.函数y=loga|x+b|(a>0,a≠1,ab=155二次函数与幂函数(1)幂函数的定义形如________(∈R)的函数称为幂函数,其中x是_______,为______.(2)幂函数的图象自变量常数二次函数与幂函数自变量常数56(3)幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域_______________________________值域__________________________________奇偶性________________________函数特征性质RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶(3)幂函数的性质函数特性质RRR[0,+∞){x|x∈RR57单调性_________________________________________________________________________________定点________,________________(1，1)(0，0)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(1，1)______________________________581.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）

解析选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,

y=ax2+bx+c的对称轴为当a>0,b>0时，∴排除B.当a<0,b<0时，故选C.C1.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一592.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2

解析本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.A2.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调60二次函数的图象与性质3。已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.

解

对称轴为思维启迪二次函数的图象与性质61幂函数的图象及应用4。点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有

f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x).由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.

解设

则由题意得∴=2，即f（x）=x2，再设

则由题意得∴=-2，即g（x）=x-2，思维启迪幂函数的图象及应用62幂函数的性质5。（12分）已知幂函数(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的a的取值范围.由(m∈N*)的图象关于y轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=的单调性求a的值.思维启迪幂函数的性质636.若0<a<1,x>y>1,则下列关系式中正确的个数是（）①ax>ay②xa>ya③logax>logay④logxa>logyaA.4B.3C.2D.1

解析∵0<a<1,x>y>1,∴y=ax递减，故①不正确；y=xa递增，故②正确；

y=logax递减，故③不正确.∵logxa<0,logya<0,∴logxa>logyalogax<logay,正确.综上，②④正确.C6.若0<a<1,x>y>1,则下列关系式中正确的个数是C641.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.§2.7函数与方程f(x)=0§2.7函数与方程f(x)=065（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_____有交点函数y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不