空间向量的夹角

空间向量的夹角第1页，课件共27页，创作于2023年2月教材分析方法手段教学程序教学评价教学目标第2页，课件共27页，创作于2023年2月知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空

间向量的坐标表示,空间向量的数量积.本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立

体几何中异面直线的夹角.后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价

用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.地位作用第3页，课件共27页，创作于2023年2月教学重点：1)空间向量夹角公式及其坐标表示；2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.

关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.

教学难点：

1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹

角之间的区别；

2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价重点难点第4页，课件共27页，创作于2023年2月知识目标:掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能.

情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析

问题、解决问题的能力.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价第5页，课件共27页，创作于2023年2月教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价教学手段：借助多媒体（几何画板、实物投影、幻灯片等）辅助教学教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价学习方法：自主探索观察发现类比猜想合作交流第6页，课件共27页，创作于2023年2月以问题为载体，学生活动为主线探索、类比、猜想、发现并获得新知知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第7页，课件共27页，创作于2023年2月

C1EDCB1A1D1F1BA学生活动--复习回顾知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，,求证DF1与BE1垂直.

第8页，课件共27页，创作于2023年2月

知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?第9页，课件共27页，创作于2023年2月

平面内两个向量的夹角公式：

问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式

的形式有什么变化？学生活动--类比推广知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序已知平面内两个非零向量，

第10页，课件共27页，创作于2023年2月

求下列两个向量夹角的余弦值（1），

（2）.

学生活动--及时巩固知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第11页，课件共27页，创作于2023年2月

ADCBD1C1B1A1E1F1

例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.例题讲解知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序理解掌握巩固提高第12页，课件共27页，创作于2023年2月

方法小结①几何法ADCBD1C1B1A1E1F1知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第13页，课件共27页，创作于2023年2月

xzy②向量法质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么

区别？如何转化为本题的几何结论?ADCBD1C1B1A1E1F1本题的几何结论：异面直线BE1与DF1夹角的余弦值为.方法小结①几何法知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第14页，课件共27页，创作于2023年2月

小结评价

问题3：利用向量法求两条异面直线夹角

的一般步骤是什么？(1)恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得所对应点的坐标，空间向量

的坐标表示及其数量积；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余

弦值；(4)根据题意，转化为几何结论.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第15页，课件共27页，创作于2023年2月

方法小结①几何法②向量法

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

M是AB的中点,求对角线DB1与CM所

成角的余弦值.ADCBD1C1B1A1M题组练习一知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第16页，课件共27页，创作于2023年2月

问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间

直角坐标系？

例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B

和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.

知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第17页，课件共27页，创作于2023年2月

1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异面直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为（）

A.60ºB.120ºD.240ºC.-60º

2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,请用恰当的方法求异面直线AC与BD1所成的角.

必做题：ADCBD1C1B1A1题组练习二知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第18页，课件共27页，创作于2023年2月

选做题：沿着正方体ABCD-A1B1C1D1对角面A1BCD1

去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线BE与A1F所成的角．ADCBD1C1B1A1CBD1C1B1A1EF题组练习二知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例题讲解理解掌握巩固提高第19页，课件共27页，创作于2023年2月

鼓励学生选择不同的解题方法，培养

学生创新思维；为学习能力不同的学生提供广阔的空

间；体现学生的主体地位，发展学生的个性；培养学生分工协作的能力，善于分析，

乐于探索的钻研精神.设计意图知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第20页，课件共27页，创作于2023年2月

值得注意的：将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别；选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求夹角的唯一途径，不是最佳途径.反馈评价值得肯定的：勇于思考、积极探索；分工协作、合作交流.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第21页，课件共27页，创作于2023年2月

（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示;（2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别;（3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹

角.（4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推

广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比

转化的能力.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第22页，课件共27页，创作于2023年2月

感受•理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与

D1N所成角的正弦值.ADCBD1C1B1A1MN知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第23页，课件共27页，创作于2023年2月

思考•运用：已知正三棱柱(地面为正三角形,侧棱与底面垂直)ABC-A1B1C1中，底面边长为2,求异面直线AB1与BC所成的角.ACBC1B1A1探究•拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题?知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序第24页，课件共27页，创作于2023年2月教学中，以问题为载体，学生活动为主线;将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优越性,恰当选择,合理运用;通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作探索,对学生的学习过程评价;通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价;通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价第25页，课件共27页，创作于2023年2月应用领域

应用领域

课题引入例1题组练习一空间向量的夹角

夹角公式