3.2 双曲线-(选择性必修第一册) (教师版)

双曲线1定义平面内与两个定点F1，F2如图，P是双曲线上一点，|PFPS当PF当PF当|PF1−PF2当|PF2几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图象标准方程xy范围x≤−a或x≥a,y∈Ry≤−a或y≥a,x∈R顶点AA轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点FF焦距Fa、b、c的关系c离心率e=渐近线y=±y=±实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．3一些常用结论①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为2b②焦点到渐近线的距离是b；③焦点三角形面积S=b④与双曲线x2a⑤焦半径PF1=exP⑥双曲线x2a2【题型一】双曲线的定义【典题1】平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足条件PFA．椭圆B．双曲线C．双曲线的右支 D．双曲线的左支【解析】由PF1−PF2故选：C．【点拨】①注意双曲线的定义中“绝对值”三字；②若点P在右支，肯定PF1－PF2>0故题中的条件改为PF2－P【典题2】一动圆P过定点M(－4,0)，且与已知圆N：x－42+y【解析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4；由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN－PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=23，∴动圆圆心M的轨迹方程为：x【点拨】①两圆O1、O2的半径分别为r1②双曲线定义中的“常数”为2a，定点为焦点.巩固练习1(★)平面内到两定点F1－3,0、F2A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线【答案】D【解析】根据双曲线的定义，|MF1∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6．故选：D．2(★★)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支 D．直线【答案】D【解析】排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC－R=QA，得QC－QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．【题型二】双曲线方程【典题1】已知方程x217−k+y2k−8=【解析】方程x217−k+可得17－k>0，k－8<0，解得k<8.【点拨】曲线方程C:x当mn<0时，C为双曲线；当m>0,n<0时，C为焦点在x轴上的双曲线且a2当n>0,m<0时，C为焦点在y轴上的双曲线且a2简而言之：双曲线,看分母正负.【典题2】双曲线过点(4,3)、(3,5【解析】方法一当双曲线焦点在x轴上，设方程为x2则16a2−当双曲线焦点在y轴上，设方程为y2则3a∴双曲线的标准方程为x2方法二由题意，设双曲线方程为mx代入点(4,3得16m+3n=19m+54∴双曲线的标准方程为x2【点拨】求双曲线的方法，可用待定系数法，方法一考虑到焦点的位置作分类讨论求解，方法二则简洁些，设双曲线方程为mx【典题3】与双曲线C：x22−【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线C：设要求的双曲线为x2又由双曲线经过点(3,10则有92−10则要求双曲线的标准方程为x2【点拨】①求双曲线渐近线的一种方法，比如求y24−该方法不需要确定焦点位置与a、b值.②与双曲线x2a2巩固练习1(★)若k∈R，则k>－3是方程xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程x2可得(k－3)(k+3)<0，解得：－3<k<3，方程x2k−3+所以k∈R，则k>－3是方程x故选：B．2(★★)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为【答案】x2【解析】解法1：根据题意知，2×4>43，所以点(4,43)所以该双曲线的焦点在x轴上，设标准方程为x2a2又ba=2，所以又16a2−解得a2＝4，所以双曲线的标准方程是x2解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是x2−y计算得k＝16−484=4，所以双曲线的标准方程为x故选：A．3(★★)在下列条件下求双曲线标准方程． (1)经过两点(3,0)，(－6,－3)；(2)a=25，经过点(2,－5)，焦点在y【答案】(1)x29−【解析】(1)根据题意，若双曲线经过点(3,0)，则双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，设其标准方程为x2又由双曲线经过点(－6,－3)，则有4−9b2则双曲线的标准方程为x29(2)根据题意，a＝25，其焦点在y设双曲线的标准方程为：y2又由双曲线经过点(2,－5)，则2520解可得：b2则双曲线的标准方程为：y2【题型三】双曲线的图像及其性质【典题1】已知双曲线C的方程为x2A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为y=±3C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为9【解析】∵双曲线C的方程为x216−y2∴c=a∴实轴长为2a=2×4=8，即A正确；渐近线方程为y=±bax=±焦点(5,0)到渐近线y=34x的距离为|对于选项D，设点P(x,y)为双曲线右支上的一点，点F为双曲线的右焦点，当x=4时，PF取最小值1，即D错误．故选：D．【点拨】焦点到渐近线的距离是b；②双曲线上的点到焦点的距离最小值是当点在顶点的位置时取到.【典题2】设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3．P是C【解析】根据题意，几何关系如图所示．设|PF2|=m若△F1PF2的面积为43，可得由双曲线定义，可得n－m=2a，由余弦定理可得4c∴4c离心率为3．可得ca=3【点拨】①遇到焦点三角形∆F②在双曲线中，焦点三角形∆F1PF2的面积为S=b2【典题3】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F【解析】方法一设Ax1,y1由y=22(x−c)则x1∵|AF2|=|B又y1化简可得2a∴2方法二如图，取AB中点M，连结F2M∵|AF2|=|B设|AF2|=|BF2又|BF1|－|B∴|AB|=|BF1|－|A∴|F由勾股定理，知|F即|F2M|=∴|F∴tan∠MF1F2=∴离心率e=c【点拨】①方法一是由条件“过F1作斜率为22的直线l”，想用代数法求解；代数法中②方法二是通过平几的知识点求解，要多观察图形，多积累一些平几的结论与常见已知条件的处理方法:(1)|AF2|=|BF2|⇒等腰三角形的三线合一；(2)斜率为22③比较两种方法，在本题中计算量来看，方法二优于方法一；思考难度来看，方法一稍容易想到.【典题4】已知F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，且|F1F2A．λ=5−12B．λ=5+12 C．点【解析】∵|F1F2|=2∵e>1，∴e=1+设△PF1F由双曲线的定义得|PF1|－|PS△IPF1=12|P∵S△IPF1故λ=|PF1|−|PF设内切圆与PF1、PF2、F可得|PM|=|PN|．|F1M|=|由|PF|F可得|F2T|=c－a，可得T的坐标为(a,0)，即I的横坐标为a设PI延长线与F1F2交于H由|PF1|－|PF由三角形的相似的性质可得|PK||OH|=由①②可得|PK|=a．故D正确．故选：ACD．【点拨】①得到a,b,c任意两个量或三量的一条等式，均可得到关于离心率e的方程从而求出e.②注意内心的定义及其性质，内心是三角形的角平分线交点，则内心到三边的距离相等！角平分线定理：如图，在∆ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则ABBD④多观察图形，充分利用平几的知识点，得到各角之间或各线段之间的关系.常见的相似三角形的性质(注意A字型、8字型模型)、等腰三角形的三线合一、角平分线、圆的性质、正余弦定理等等.巩固练习1(★)若双曲线C：mx2−A．14 B．12 C．4 D．【答案】C【解析】双曲线C：mx2－方程化为标准方程是C：x2由于实轴长是虚轴长的一半，故2m解得m=4．故选：C．2(★★)[多选题]已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233A．渐近线方程为y=±3x C．∠MAN=60°【答案】BC【解析】由题意可得e=c可设c=2t，a=3t，则b=c2−圆A的圆心为(3t,0)，半径r为双曲线的渐近线方程为y=±bax圆心A到渐近线的距离为d=|弦长|MN|=2r可得三角形MNA为等边三角形，即有∠MAN=60°．故选：BC．3(★★)[多选题]已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1A．双曲线的离心率3 B．双曲线的渐近线方程为y=±2C．∠PAF2=【答案】ABD【解析】F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)如图，三角形△PF1F2是直角三角形，并且b2ca=3，ba=直线x+2y－2=0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D正确；故选：ABD．4(★★)已知点F1(－3,0)，F2(3,0)分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y【答案】32【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF由切线长定理可知MA=MB，PA=PQ，BF又PF∴MF由双曲线的定义可知MF故而a=PQ=2，又c=3，∴双曲线的离心率为e=c故选：C．5(★★★)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点，PQ【答案】y=±2x【解析】PQ→=2F1P→，可得|PQ|=2|PF1由双曲线的定义可得|PF2|=2a+x因为F1Q→在△QF1F2中，F在△PQF2中，PF由②可得x=43a，代入①所以渐近线的方程为：y=±bax=±故选：D．6(★★★)如图所示，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为【答案】3【解析】连接AF'，BF'，由条件可得|BF|－|AF|=|AF'|－|AF|=|AF|=2a，则|AF|=2a，|BF|=4a，∠F'BF=60°，所以F'F2即4c所以双曲线的离心率为：e=c故选：C．7(★★★)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，【答案】3【解析】如图，取AF1的中点E，连接DE由AD→=1又∵AD为∠F1AF2的平分线，∵DE∥AB，∴D为BF∵DF2∥AF1，∴由双曲线的对称性可知，AB⊥x轴，∴|F1F解得：e=c8(★★★)已知双曲线x24−y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I【答案】1【解析】根据题意得F1(−7设△PF1F2的内切圆分别与PF1、P则|PA1|=|PB1又点P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2设A点坐标为(x,0)，则由|F1A|－|F2故|OA|=2，则△PF1F延长F2B交PF1于C，在三角形PCF∴在三角形F1CF∴|OB|【题型四】最值问题情况1求离心率范围【典题1】已知双曲线x2a2−y2bA．(1,2] B．[2,2] 【解析】根据题意，易得双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b；由双曲线的意义，可得e2以实轴为角平分线的角为θ，若θ的取值范围是[π可得1≤b进而可得：e2=c2a【点拨】求离心率的范围的一般思路：求出a、b、c任意两个量比值的范围得到关于离心率e的不等式，从而求出e的范围,同时也要注意椭圆中0<e<1,双曲线中e>1.情况2几何法求范围【典题1】已知双曲线x2－y2=1的右焦点为F，右顶点A，A．23 B．3 C．2 D．【解析】如图：双曲线x2－y2右顶点A(1,0)，P为渐近线y=x上一点，则|PA|+|PF|的最小值就是A关于y=x的对称点A'到F所以A'则|PA|+|PF|的最小值为：(2故选：B．【点拨】这属于“将军饮马问题”！【典题2】点F2是双曲线C：x29−y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx－y+t－2=0A．8 B．53 C．9 D．【解析】联立直线l1，l2的方程tx−y+t−2=0可得x=−t2−1t2所以可得交点B的轨迹为圆心在(0,－2)，半径为1的圆，由双曲线的方程可得a=3，b=3，焦点F(－2可得|AF∴|AB|+|AF当A，F1，B三点共线时，|AB|+|A∴|AB|+|AF当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F∴|AB|+|AF2|的最小值为9【点拨】这属于“三点共线取最值”模型,在圆锥曲线求最值问题用几何法需要明确动点的运动规律，平时掌握常见模型，多观察图象.情况3函数法求范围【典题1】已知P为双曲线C：x23−y2=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B，记线段PA，A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•C．4m+n的最小值为3 D．|AB|的最小值为3【解析】如图所示，设P(x0,由题设条件知，双曲线C的两渐近线：l1：y=设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1所以k1•k2由点线距离公式知：PA=m=∴mn=|3x0∵4m+n≥4nm=4×3由渐近线的斜率可知∠AOx=30四边形AOBP中易得∠APB=|AB|=P(当m=n，即点P在双曲线的顶点位置时)所以D正确，故选：AD．【点拨】①PA，PB两条线段长度由点P确定，根据题意用点到直线的距离公式表示出来；②求4m+n与AB=m2+③思考:如何处理含一个变量与两个变量的式子最值问题呢？(1)含一个变量的，比如求1m−44+m(2)含两个变量，比如本题中AB=m2+n2+mn，在高中阶段常用基本不等式处理，那m2+n2+mn转化为只含一个变量？思路有两条，一是用n表示m消掉一个变量，但本题m,n没明显的关系；二是用另外一个变量表示m,n【典题2】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=A．2 B．4 C．25 D．27【解析】双曲线x2a2−y不妨设a=2k，b=3k，k>0∴c=a2+b设P(x0,y0)，且∵x02∴≥7k解得k=1，k=－1(舍去)，∴c=7，∴2c=2故选：D．【点拨】①本题处理数量积的方法是坐标法，设点P(x0②作到PF1→⋅PF2→=x02－7k③利用函数法求最值，一定要谨记“优先考虑定义域”！【典题3】如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，其内切圆与AC边相切于点D，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E,C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则当2e1+【解析】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点．由圆的切线性质，可设AG=AD=1，CD=CM=GE=m，(m>1)，∴AC=1+m，AE=GE－AG=m－1，在△ACE中，CE以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2则2e令fm设t=4m−11，则m=∴4m−11当t=13,即m=6>1时取到等号，∴fm∴当m=6时，2e1+1e故答案为：1【点拨】①本题中没给出任一线段长度，设AG=1②本题求最值采取函数法，这是a1巩固练习1(★★)已知F1、F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)【答案】(1,2【解析】F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)则焦点到渐近线的距离：d=|bc|所以|AB|=2a∵|AB|>|∴2a可得4a即：3a2>5所以c2所以e<2105所以双曲线的离心率的取值范围是：(1,22(★★)设双曲线x216−y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线【答案】【解析】根据双曲线x216−y2由双曲线的定义可得：|AF2|－|A|BF2|－|B①+②可得：|AF由于过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B可得|AF1|+|BF1即有|AF即有|BF3(★★)已知F1，F2分别是双曲线C：x24−y23=1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B【答案】7【解析】双曲线x2a=2，b=3，c=4+3=7，圆E半径为r=1，E(0,－3)，∴|AF|AB|≥|AE|－|BE|=|AE|－1(当且仅当A,E,B共线且B在A,E之间时取等号)，AB+≥|EF当且仅当A是线段EF∴|AB|+|AF4(★★★)设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在一第