概率分布期望方差汇总

./1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.〔1求随机变量X的分布列；〔2求随机变量X的数学期望和方差.解〔1P〔X=0==；P〔X=1==；P〔X=3==；∴随机变量X的分布列为X013P〔2E〔X=1×+3×=1.D〔X=<1-0>2·+<1-1>2·+<3-1>2·=1.2某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定：甲摸一次,乙摸两次,令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：〔1X的分布列；〔2X的均值.解〔1X的所有可能取值为0,10,20,50,60.P〔X=0==；P〔X=10=×+×××=;P<X=20>=×××=;P<X=50>=×=;P<X=60>==.故X的分布列为X010205060P〔2E〔X=0×+10×+20×+50×+60×=3.3<元>.3〔本小题满分13分为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量〔单位：毫克．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081〔1已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量；〔2当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；〔3从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值〔即数学期望。 解：〔1,即乙厂生产的产品数量为35件。〔2易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 故乙厂生产有大约〔件优等品,〔3的取值为0,1,2。 所以的分布列为012P 故4XX理18．〔本小题满分12分某商店试销某种商品20天,获得如下数据：日销售量〔件0123频数1595试销结束后〔假设该商品的日销售量的分布规律不变,设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。〔Ⅰ求当天商品不进货的概率；〔Ⅱ记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期型。4．解〔I〔"当天商品不进货"〔"当天商品销售量为0件"〔"当天商品销售量为1件"〔Ⅱ由题意知,的可能取值为2,3.〔"当天商品销售量为1件"〔"当天商品销售量为0件"〔"当天商品销售量为2件"〔"当天商品销售量为3件"故的分布列为23的数学期望为5、XX理16．〔本小题满分12分某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以使确定工资级别,公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料,若4杯都选对,则月工资定为3500元,若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．〔1求X的分布列；〔2求此员工月工资的期望。．〔本小题满分12分解：〔1X的所有可能取值为：0,1,2,3,4即X01234P〔2令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2100,2800,3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、XX理〔19〔本小题满分12分某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种〔分别称为品种家和品种乙进行田间试验．选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙．〔I假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望；〔II试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量〔单位：kg/hm2如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果,你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差,其中为样本平均数．6．解：〔IX可能的取值为0,1,2,3,4,且即X的分布列为………………4分X的数学期望为………………6分〔II品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：………………10分由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.7、XX理18．〔本小题满分12分红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。〔Ⅰ求红队至少两名队员获胜的概率；〔Ⅱ用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望.7．解：〔I设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则分别表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件。因为由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为〔II由题意知可能的取值为0,1,2,3。又由〔I知是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123P0．10．350．40．15因此20．解〔ⅠAi表示事件"甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站",Bi表示事件"乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站",i=1,2．用频率估计相应的概率可得P〔A1=0．1+0．2+0．3=0．6,P〔A2=0．1+0．4=0．5,P〔A1＞P〔A2,甲应选择LiP〔B1=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8,P〔B2=0．1+0．4+0．4=0．9,P〔B2＞P〔B1,乙应选择L2．〔ⅡA,B分别表示针对〔Ⅰ的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由〔Ⅰ知,又由题意知,A,B独立,的分布列为X012P0．040．420．548、XX理18．〔本小题共12分本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为2元〔不足1小时的部分按1小时计算。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。〔Ⅰ求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；〔Ⅱ求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望；8．解析：〔1所付费用相同即为元。设付0元为,付2元为,付4元为则所付费用相同的概率为〔2设甲,乙两个所付的费用之和为,可为分布列9、天津理16．〔本小题满分13分学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖．〔每次游戏结束后将球放回原箱〔Ⅰ求在1次游戏中,〔i摸出3个白球的概率；〔ii获奖的概率；〔Ⅱ求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.9．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.〔I〔i解：设"在1次游戏中摸出i个白球"为事件则〔ii解：设"在1次游戏中获奖"为事件B,则,又且A2,A3互斥,所以〔II解：由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.所以X的分布列是X012PX的数学期望10XX理17．〔本小题满分13分〔Ⅰ小问5分,〔Ⅱ小问8分某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：〔Ⅰ恰有2人申请A片区房源的概率；〔Ⅱ申请的房源所在片区的个数的分布列与期望10．〔本题13分解：这是等可能性事件的概率计算问题.〔I解法一：所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申请方式种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.记"申请A片区房源"为事件A,则从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知,恰有2人申请A片区房源的概率为〔IIξ的所有可能值为1,2,3.又综上知,ξ有分布列ξ123P从而有11.〔2008·全国Ⅰ理,20已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.<1>求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;<2>表示依方案乙所需化验次数,求的期望.解〔1设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数,P表示对应的概率,则方案甲中1的分布列为1234P方案乙中2的分布列为123P0若甲化验次数不少于乙化验次数,则P=P<1=1>×P<2=1>+P<1=2>×［P<2=1>+P<2=2>］+P<1=3>×［P<2=1>+P<2=2>+P<2=3>］+P<1=4>=0+×〔0++×〔0+++==0.72.<2>E〔=1×0+2×+3×==2.4.12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.〔1求乙投球的命中率p；〔2若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.解<1>设"甲投球一次命中"为事件A,"乙投球一次命中"为事件B.由题意得<1-P<B>>2=<1-p>2=,解得p=或p=〔舍去,所以乙投球的命中率为.〔2由题设和〔1知P<A>=,P<>=,P<B>=,P<>=.可能的取值为0,1,2,3,故P<=0>=P<>P<>=×=,P<=1>=P<A>P<>+P〔BP〔P〔=×+2×××=,P<=3>=P<A>P<B·B>=×=,P<=2>=1-P<=0>-P<=1>-P<=3>=.的分布列为0123P的数学期望E〔=0×+1×+2×+3×=2.13.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.〔1求的分布列、期望值及方差；〔2求的分布列、期望值及方差.解〔1的可能值为0,1,2.若=0,表示没有取出次品,其概率为：P〔=0==;同理,有P〔=1==；P〔=2==.∴的分布列为：012P∴E〔=0×+1×+2×=.D〔=<0->2×+×+×=++=.<2>的可能值为1,2,3,显然+=3.P<=1>=P<=2>=,P<=2>=P<=1>=,P<=3>=P<=0>=.∴的分布列为：123PE〔=E〔3-=3-E〔=3-=.∵=-+3,∴D〔=〔-12D〔=.14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3,气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨,若下雨而不做处理,每天会损失3000元,若对当天产品作防雨处理,可使产品不受损失,费用是每天500元.〔1若该厂任其自然不作防雨处理,写出每天损失的分布列,并求其平均值；〔2若该厂完全按气象预报作防雨处理,以表示每天的损失,写出的分布列.计算的平均值,并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解〔1设为损失数,分布列为：03000P0.70.3∴E〔=3000×0.3=900〔元.〔2设为损失数,则P〔=0=0.7×0.8=0.56.P<=500>=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.P〔=3000=0.3×0.2=0.06.分布列为：05003000P0.560.380.06∴E〔=0+500×0.38+3000×0.06=370平均每天损失为370元.∵370＜900,∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.15.〔2008·XX理,17袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个〔n=1,2,3,4.现从袋中任取一球,表示所取球的标号.〔1求的分布列、期望和方差；〔2若=a+b,E〔=1,D〔=11,试求a,b的值.解〔1的分布列为012