固体的能带理论习题

第五章固体的能带理论1•布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理； ②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动； ③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论， 考虑了电子和离子实之间的相互作用， 也考虑了电子与电子的相互作用。2•周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数， 从而形成了一系列的能带。3•—个能带有N个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。4•禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里渊区界面附近的波矢k，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E(k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。可以用下面的图5.1来描述禁带形成的原因:

5•近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处?解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数， 将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程， 利用函数集中各基函数间的正交性， 可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组， 由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。6•布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程主要是由费米面附近的电子行为决定的， 如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。7•试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。准经典运动的基本公式有：1vkE(1vkE(k)；dkF二dt1 1；：2E(k)m] 2::k.：k\晶体电子的速度为晶体电子受到的外力为晶体电子的倒有效质量张量为在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足:dk e“水一.(EvB)-(EvB)dt m8•试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了， 就像经典力学中牛顿第二定律一样， 这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷 q和具有正质量 m*、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。说明德•哈斯-范•阿尔芬效应的基本原理及主要应用。解：在低温下强磁场中，晶体的磁化率、电导率、比热容等物理量随磁场变化而呈现出振荡的现象，称为德•哈斯一范•阿尔芬效应。由于德•哈斯一范•阿尔芬效应同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构密切相关， 所以德•哈斯-范•阿尔芬效应成为人们研究费米面的有力工具。一维周期场中电子的波函数 k(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为 a，电子的波函数为… 兀k(x)二sin—x；a3下k(x)=icos——x；aQO■-：k(x)=vf(x-ia)(其中f为某个确定的函数)。i试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成k(x)=eikxuk(x),其中，uk(x•a)=uk(x)或写成'■k(xa)=e^-\(x)k(xa)=sin―二--sin△二_-'-k(x)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a\o"CurrentDocument"故 eika=-1 k=-a吕兀1 匹屮k(x)=ea|easilx)=eauk(x)-a一显然有 uk(x-a)二uk(x)故tk(x)二sin—X的波矢是一。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a ak(xa)=icos—■:--icos3^ -k(x)\o"CurrentDocument"a a所以 e^--1 k=-a\o"CurrentDocument"i兀|-+5x 3xI i^x即k(x)=ea|eaicoh兀i=eauk(x)-a一显然有 uk(x-a)二uk(x)

TOC\o"1-5"\h\z3"JT J!故k(x)=icos■x的波矢一。\o"CurrentDocument"a a(3)'-\(xa)=f(xa_ia)=f[x一(i_1)a]-\f(x一ma)\(x)i i--：： m-.：：故 eika-1 k=0i0x-eUk(x)-k(x)二i0x-eUk(x)_i-oC故'-：k(x)=7f(x-ia)的波矢为0。i=joO要说明的是，上述所确定的波矢k并不是唯一的，这些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因为k空间中相差任一倒格矢的两个 k值所描述的状态是一样的。已知电子在周期场中的势能为AU(x)=—m①2[b2—(x—na)2],当na—b兰x兰na+b时I 2U(x)=0,当(n-1)ab乞x乞na-b时JU(x)dxU=bU(x)dxb1一-mJU(x)dxU=bU(x)dxb1一-m■2(b2_x2)dx-b2-bodxbdxAb4b=-m2b26(2)根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为心巳=26 AE2=2U2其中U1和U2表示周期场U(x)的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有U1b4bJ」211222p”2)d=4m■2b2U24bJ咗1m.22(b2-2)d二m-2b2故此晶体的第1及第2个禁带宽度为AE^2U1228m■b"2=2U2m-2b2已知一维晶体的电子能带可写成:一2E(k)=一2E(k)=2ma7(coskacos2ka)。8式中a是晶格常数。试求（1） 能带的宽度；（2） 电子在波矢k的状态时的速度；（3） 能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）在能带底k=0处，电子能量为E(0)=03T在能带顶k=—处，电子能量为aTOC\o"1-5"\h\z兀 2衣2E（—） 2ama故能带宽度为=E二E（—）-E（0）乙\o"CurrentDocument"a ma（2）电子在波矢k的状态时的速度为v(k)S衣dk1v(k)S衣dk\o"CurrentDocument"(sinkasin2ka)ma 4（3）电子的有效质量为coskacos2ka2于是有在能带底部电子的有效质量为 m；=2m*2在能带顶部电子的有效质量为 m2 m314•平面正六角形晶格（见图 5.30），六角形2个对边的间距是a，其基矢为

a£i—aj；22ajaj倒格子基矢；画出此晶体的第一、二、三布里渊区；计算第一、二、三布里渊区的体积多大?r\|/j\E_O图5.30a2\ /aia2xr\|/j\E_O图5.30a2\ /aia2xa32二a1 (a2a3)aa3a12二=2二=2二ai(a2 a3)1(iJa(一i(2)此晶体的第一、二、三布里渊区如下图 5.2所示:广.——第二布里渊区E3 第三布里渊区图5.2平面正六边形晶格的布里渊区示意图(3)由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第布里渊区的体积为y=V2=V3 b1(b2k)2二1 2二 13a2書(iJ)[，TJ)k]

3a215.证明正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？解：设正方格子的晶胞参数为a，则其相应的倒格子也为一正方格子， 并且其倒格子基2TT矢大小为—，由此可知位于该正方格子第一布里渊区角隅处的自由电子的波矢大小为aki而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为k2ki而位于该区侧面中点处的电子的波矢大小为k2又由自由电子动能与其波矢的关系式E—工可知，正方格子第一布里渊区角隅处2m的自由电子的动能大小为-2_.2的自由电子的动能大小为E&=—亍，而位于该区侧面中点处的电子的动能大小为maEk2 2，显然有Eki=2Ek2。2ma由此证得正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能， 比该区侧面中点处的电子动能大1倍。对三维简单立方晶格，由相同的方法可以同样证得其相应的倍数为 3。16.设kF表示自由电子的费米波矢， km表示空间中从原点到第一布里渊区边界的最小距离，求具有体心立方和面心立方结构的一价金属的比值 kF/km。解：对于体心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为3 1/3 3 1/3 2 1/3kFf)(孑)8■:—，故kF/km=(^)1/3a 2二对于面心立方结构的一价金属，其自由电子的费米波矢为kFW，3\3■:，故kF/kma17.一矩形晶格，原胞边长a=21O，0m，b=41O‘°m。(1)画出倒格子图；(2)画出第一布里渊区和第二布里渊区;(3)画出自由电子的费米面。解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为a1解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为a1=ai，a2二bj，由此可求得其倒格子基矢2h为bi i=3.141010i,b2=1.571010j,由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图a5.3所示：10-1 1.57X10m* « ♦ * ♦k ■巾2b1tef-4hh Jd*Ob Tt 1l 1\ <> It图5.3矩形晶格的倒格子（2）该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图 5.4所示:图5.4矩形晶格的第一和第二布里渊区（3）设该二维矩形晶格晶体含有 N个电子，由于费米面是k空间占有电子与不占有电子区域的分界面，所以有下式成立由此得2（2由此得2（2二）■kFN上式中n 为该二维晶格晶体的电子密度。S于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为kF—、23.14(一)1/2=0.89101°mJ

810，由此可做出自由电子的费米面如下图 5.5中圆面所示：图5.5二维矩形晶格的费米面圆18.证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其 s态电子的能带为E(k)=Emin4Jsin2(ka/2)。式中：Emin为能带底部的能量； J为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。解：设S态的原子能级为；s，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为_ kRE(k)=；s-J。-'J(Rs)eRRs室邻上式中J。=—^(9|2[u(9—v(9]d&0,J(Rs) Rs)[U(3-V( 0(其中U(E)表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。 V(E)为某格点的原子势场)由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。在一维单原子链中，每个原子周围有 2个近邻格点，其格矢分别为ai和-ai，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为：E(k)二；s-J0-J(e^aeka)二；s-J0-2Jcoska

2-；s-J。一2J4Jsin(ka/2)上式中J二J(ai)二J(-ai)二-■■(E-ai)[U(3-V(刖1(Qdr0由此可知，当k=0时，即能带底的能量为Emin=.；：s-J0_2J；当k=—,即能带a顶的能量为Emax二；s-J0 2J于是可证得一维单原子链的 s态电子能量为2E(k)二Emin 4Jsin(ka/2)并且还可得能带宽度为 E=Emax一Emin二4J由此还可求得有效质量d2Edk2由此还可求得有效质量d2Edk2护2a2Jcoska于是可求得能带顶部的电子有效质量■22a2J能带底部的电子有效质量 m*二m*(0) :-2a2J19•设二维正三角形晶格中原子间距为 a，试根据紧束缚近似的结果，求出能带E(k)的表达式，并求出相应的电子速度v(k)和有效质量的各个分量m,。解：当只计及最近邻格点的相互作用时， 根据紧束缚近似可得该晶格由原子 s态的形成的能带表达式为E(k)二；s-J。-'J(Rs)e，Rs (1)R莎邻s2上式中j。二-,9[u(q-v(Q]dr0,J(Rs) ；(rRs)[U(9-V(9]i(9dE0(其中U(9表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。 V(9为某格点的原子势场)在此二维晶格中，取原点为参考点，则其六个近邻格点坐标值为(a,(a,0) (一a,0)-a)(丄，2)(丄a，-企)2222把近邻格式Rs代入(1)式，并考虑到s态波函数的球对称性可得:

1 3 1 3 1 3 1 3_.akx aky akx aky _.akx aky akxakyE(k)=；s-Jo-J1(1 3 1 3 1 3 1 3_.akx aky akx aky _.akx aky akxakyE(k)=；s-Jo-J1(e』kx eakx e2 2 e2 2e2 2e2 2 )<3 1 <3=；s-Jo-2Ji[cosakxcos(-akx aky)cos(-akx aky)] ……(2)2 2 2上式中Ji表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值，并有Ji：■0。由此可知相应的电子速度为1v(k)一kE(k)2Jia[(sjnakxsin-akxcos三aky)iC3cos-akxsin3aky)j]矗 2 2 2 2选取kx,ky轴沿张量主轴方向，则有 mxy二myx=o，而m*=/i2/主2來X■22 ii 432J1a(cosakx cos?akxcos aky)m*yS2/卑泳2■23J1a2cos-akxcos-^aky2220.用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用,试导出其能带为E(k)=Eo-A4J(cosk^^coskya2cos®cos空222cos虫cos^)22并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时,用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带E(k)的表达式可写为E(k)=Eo_A、s—JeRs堑邻-kRs上式中Eo ,A=—!pi(E)2[U(a—V(Q]d^0,j=.;:*(ers)[u(a-v(®]「i(©di：o(其中u(9表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；V(E)为最近邻格点的原子势场； Rs为最近邻格点的位矢)。对面心立方晶