信号与系统复习

考试题型选择题（5分×4）计算题（5题）第1章连续信号和离散信号连续时间信号：除若干不连续点外，对任意时刻t都定义了函数值；离散时间信号：仅在若干不连续的时间瞬时定义了函数值。2023/9/23模拟信号：时间和幅值均连续的信号；数字信号：时间和幅值均为离散的信号。周期信号和非周期信号周期信号：依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号；非周期性信号：不具有周期性的信号。2023/9/24能量信号和功率信号定义：信号f(t)在单位电阻上的瞬时功率为

f(t)在（-a,a）的能量定义为f(t)在（-a,a）的平均功率定义为2023/9/25定义：信号能量：信号功率：能量信号：信号f(t)的能量有限功率信号：信号f(t)的功率有限注意：仅在有限时间区间不为零的信号是能量信号。1.4系统的性质动态系统按照基本特性划分，可分为：线性与非线性的；时变与时不变的；因果与非因果的；稳定与非稳定的。主要讨论线性时不变系统(LinearTimerInvariant)2023/9/261，线性2023/9/27给定系统分别代表两对激励与响应系统系统合并系统系统既是齐次的，又是可加的，则系统称为线性系统。线性性质包括：齐次性和可加性（叠加性与均匀性）。2023/9/282、时不变特性此特性表明：当激励延迟一段时间t0时，其输出响应也同样延迟t0时间，波形形状不变。系统对于时不变系统，若激励为产生响应当激励为产生响应系统延迟系统系统2023/9/294，因果性对任意时刻t0或k0（一般选t0=0或k0=0）和任意输入f(*)，如果

f(*)=0，t<t0（或k<k0）若其零状态响应

yf(*)=T[{0},f(*)]=0,t<t0（或k<k0)就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。2023/9/210因果系统：是指系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时刻输入有关，否则，即为非因果系统。此为因果系统。例子：系统模型若为；因果性（Causality)：激励是产生响应的原因，响应是激励引起的后果。系统模型若为；此为非因果系统。11系统的基本联接

1.系统的级联12系统的基本联接

2.系统的并联13系统的基本联接

3.反馈环路14例

画出系统的模拟方框框图

解：

s-1s-1

s-15

7F(s)Y(s)5

10

1）直接型框图15例

画出系统的模拟方框框图

解：

2）级联式S-1s-1s-1S-1s-155

F(s)Y(s)1

2

16例

画出系统的模拟方框框图

解：

3）并联式S-1s-1s-1S-1s-12

0.5

5/6

4/3

F(s)Y(s)52023/9/217习题：1－2，1－4第2章2.2信号的基本运算一，信号的加法和乘法2023/9/219例：

0

t

f5(t)

1

0

t

f6(t)

1

t

-1

f7(t)

1

2023/9/220例：二，反转和平移反转：

将信号f(t)或f(k)中的自变量t（或k）换为-t（或-k），其含义是将信号以纵坐标为轴反转（或称为反折）。2023/9/221时间轴反转平移：

对于信号f(t)或f(k)，延时信号f(t-t0)或f(k-k0)表示将原信号沿正t（或k）轴平移t0（或k0）2023/9/222左移:例：三，信号的尺度变换（横坐标展缩）2023/9/2232023/9/224例：已知信号f(t)的波形如图，求f(-2t+1)的波形。解：图形变换的过程为：先反折、尺度变换、时移。（1）反折（2）尺度变换（3）时移也可先将f(t)左移1个单位长度，然后进行反转，最后进行尺度变换。2023/9/2252.单位阶跃信号单位阶跃信号的波形如图所示，通常以符号u(t)或ε(t)表示。在跳变点t=0处，函数值未定义，或在t=0处规定函数值单位阶跃函数的物理背景：在t=0(或t0)时刻对某一电路接入单位电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。例：单位阶跃信号延时的单位阶跃信号(1)单位阶跃信号2023/9/226某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲……等等。冲激函数可有不同的定义方式：（１）由矩形脉冲演变为冲激函数。（２）由三角形脉冲演变为冲激函数。（３）还可利用指数函数、钟形函数、抽样函数、狄拉克(Dirac)函数等单位冲激函数：记作(t),又称为“函数”。３.单位冲激信号冲激函数的表示：用箭头表示。表明，(t)只在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值都是零。2023/9/227（5）函数性质

单位冲激信号(t)与一个在t=0点连续（且处处有界）的信号f(t)相乘，则其乘积仅在t=0处得到f(0)(t),其余各点之乘积均为零。

对于延迟t0的单位冲激信号有抽样特性（筛选特性）2023/9/2283.与冲激函数或阶跃函数的卷积2023/9/229练习题：2－3、2－7第3章2023/9/231微分方程的经典解微分方程的表达式：设单输入-单输出系统的激励为f(t)，响应为y(t)，则描述LTI连续系统级连与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程：以上微分方程的全解由齐次解和特解构成：2023/9/232微分方程的解的构成齐次解：齐次解是以下齐次微分方程的解：齐次解是形式为Ceλt的一些函数的线性组合。以上齐次方程对应的特征方程是：特征方程的根即为特征根。2023/9/233r重共轭复根一对共轭复根r重实根单实根齐次解特征根表3-1不同的特征根对应于不同的齐次解2023/9/234特解微分方程特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的特解yp(t)的函数形式与激励信号的形式有关。将激励f(t)代入方程式的右端，化简后右端函数式称为“自由项”。通过观察自由项的函数形式，试选特解函数式。代入方程，求得特解函数式中的待定系数。即求出特解yp(t)。不同激励对应相应的特解。全解以上讨论的常系数微分方程的全解是齐次解与特解之和。2023/9/235所有的特征根均不等于

等于r重特征根

等于特征单根

不等于特征根有r重等于0的特征根所有特征根均不等于0特解激励表3-2不同激励所对应的特解2023/9/236微分方程的求解（1）求出微分方程的齐次解——会出现待定系数；（2）根据微分方程激励的形式，求出对应的特解；（3）微分方程的全解是齐次解与特解之和，根据(1)和(2)的结果得到微分方程的全解的形式；（4）代入已知的初始条件，确定待定系数的值；（5）代入确定的系数，得到微分方程的全解。2023/9/237零输入响应和零状态响应零输入响应（ZIR）没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。零状态响应（ZSR）不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应。2023/9/2383.2冲激响应和阶跃响应冲激响应：一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数所引起的响应称为单位冲激响应，简称为冲激响应，用h(t)表示；阶跃响应：一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称为阶跃响应，用g(t)表示。2023/9/2392.用卷积积分法求零状态响应2023/9/2404.卷积积分图解法卷积积分图解法：可以把卷积运算中一些抽象的关系形象化，便于理解卷积的概念及方便运算。卷积积分图解法五个步骤：１、反折２、平移３、相乘４、相加（１）改换图形中的横坐标，由t改为，变成函数的自变量；（２）把其中一个信号反折（反褶）。（３）把反折后的信号做位移，移位量是t，这样t是一个参变量。在坐标系中，t>0图形右移；t<0图形左移。（４）两信号重叠部分相乘e()h(t-);（５）完成相乘后图形的积分。2023/9/2412.卷积的微分与积分2023/9/2422023/9/243练习题3-6,3-112023/9/244第4章2023/9/246周期信号的分解

直流分量基波分量n=1

谐波分量n>1T为信号f(t)的重复周期2023/9/247直流系数余弦分量系数正弦分量系数2023/9/248直流系数余弦分量系数正弦分量系数积分区间为周期信号的一个周期2023/9/2494.3周期信号的频谱一，周期信号的频谱2023/9/250周期信号的频谱2023/9/251二，周期矩形脉冲的频谱f(t)t0E-TT2023/9/2522023/9/253周期矩形的频谱变化规律：1，周期不变，脉冲宽度改变时的情况。注意频谱幅度以及过零点的变化2023/9/254周期矩形的频谱变化规律：2，脉冲宽度不变，周期改变时的情况。注意频谱幅度以及谱线间隔的变化2023/9/255极限情况：脉冲宽度不变，周期为无限长时的情况。信号周期为无限长，离散谱变为连续谱。2023/9/256傅立叶变换对也可以表示为：2023/9/257矩形脉冲信号非常重要2023/9/258冲激函数的傅立叶变换2023/9/259阶跃信号的傅立叶变换2023/9/260单边指数信号2023/9/261一、对称性证明：2023/9/262100002023/9/263FTt换成2023/9/264四、尺度变换特性2023/9/265五、时移特性2023/9/266六、频移特性2023/9/267调幅信号的频谱求：的频谱？2023/9/268频移特性2023/9/269七，时域卷积定理若则2023/9/2702023/9/271八，频域卷积定理若则2023/9/272九、微分特性2023/9/273三角脉冲的频谱方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用二阶导数的FTFT2023/9/274四、周期单位冲激序列的FT2023/9/275一，频率响应设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率为ω的虚指数函数时，其响应（零状态响应）其中H（jω）称为频率响应函数2023/9/276冲激响应h(t)反映了系统的时域特性；频率响应H（ω）反映了系统的频域特性。2023/9/2772023/9/278理想低通滤波器的冲激响应2023/9/279一，信号的采样相乘时域抽样连续时间信号抽样脉冲抽样信号2023/9/280冲激抽样： 抽样脉冲序列是冲激函数序列δT(t)2023/9/281相乘相卷时域抽样频域周期重复2023/9/282练习题：4-1,4-5,4-84-10,4-114-19,4-23第5章84以上二式称为双边拉普拉斯变换对。85二，收敛域以下分别研究因果信号和反因果信号的情形。86双边函数的收敛域87一些常用信号的拉普拉斯变换：88五，时域微分特性（定理）8990七，卷积定理91二，部分分式展开法92（1）F(s)有单极点（特征根为单根）9394（2）F(s)有共轭单极点（特征根为共轭单根）95969798一，微分方程的变换解99100101二，系统函数系统函数只与描述系统的微分方程的结构和系数有关，与激励或初始状态无关。102103104五，单边拉普拉斯变换与傅立叶变换因果乘衰减因子105练习题：5－5，5－9，5－12第7章2023/9/2107二，差分方程的经典解齐次解特解2023/9/21081、齐次解代例：求差分方程的齐次解解：齐次方程为特征方程为特征根为代入初始条件2023/9/21102、特解自由项特解yp(n)形式B0

(常数)B1

(常数)nB1+B2nnmB1nm+B2nm-1+…+Bmn+Bm+1ean

(a为实数)BeanejωnAejωn

(A为复数)sinωn或cosωnB1sinωn+B2cosωnαnBαn

(α不是特征方程的根)αn(B1n+B2)

αn

(α是特征方程的单根)αn(B1ns+B2ns-1+…+Bsn+Bs+1)

αn

(α是特征方程的s重根)自由项与特解的对应形式

2023/9/2112完全响应的分解：三、完全响应的分解2023/9/21132023/9/21147.3单位序列和单位序列响应一，单位序列和单位阶跃序列2023/9/2115离散单位阶跃信号2023/9/2116

二，单位序列响应和阶跃响应单位序列响应：当LTI离散系统的激励为单位序列时系统的零状态响应。（也称为单位样值响应、单位取样响应或单位函数响应）单位阶跃响应：当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时系统系统的零状态响应。117例：求以下差分方程表示的系统的单位序列响应。齐次解确定初始条件解：2023/9/21187.4卷积和系统的零状态响应2023/9/21191.图解法：

1）翻转：f2(-i)

2）时移：f2(n-i)

3）相乘：f1(i)f2(n-i)

4）求和：卷积的求法：2023/9/21202.无限序列求卷积，多用定义式。3.有限序列求卷积，可用列表法。4.有限序列和无限序列卷积，可将有限序列用δ函数表示。2023/9/21212023/9/21222