【解析】高中数学人教A版（2023）必修二 第六章 平面向量的坐标表示

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高中数学人教A版（2023）必修二第六章平面向量的坐标表示

一、单选题

1．（2023高一上·南充期末）已知向量，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】【解答】，。

故答案为：A。

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。

2．（2023高一上·抚州期末）若向量，且与共线，则实数的值为（）

A．-1B．C．1D．2

【答案】B

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】，

,,

与共线,

,解得：。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量与的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。

3．（2023高一上·合肥期末）已知向量，，，则向量可用向量表示为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算

【解析】【解答】根据平面向量基本定理,可设

代入可得

即,解得

所以

故答案为：B

【分析】根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.

4．（2023高一下·北京期末）已知向量，，满足，则（）

A．1B．-1C．4D．-4

【答案】D

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】向量，，

，

故答案为：D

【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.

5．（2023高一下·北京期末）已知向量，，且，则的坐标可以为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】设

由，且，所以①

又，所以②

由①②可知：或

故向量或

故答案为：B

【分析】设的坐标，然后根据以及，简单计算，可得结果.

6．（2023高一下·通州期末）在下列各组向量中，互相垂直的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，，

【答案】A

【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】若两个向量、垂直，则，

对于A，，满足条件；

对于B，，不满足条件；

对于C，，不满足条件；

对于D，，不满足条件；

故答案为：A

【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．

7．（2023高一下·温州期末）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量，，若，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】

，

故答案为：B

【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.

8．（2023高一下·天津期末）设R，向量且，则()

A．B．C．D．10

【答案】C

【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】向量且，

，，

从而，

因此，

故答案为：C．

【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示，从而建立关于x,y的方程组，从而求出x,y的值，从而求出向量的坐标表示，从而结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标表示，从而用向量求模的坐标公式，从而求出向量的模。

9．（2023高一下·天津期末）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（）

A．B．或

C．D．或

【答案】D

【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】由已知，所以与平行的单位向量为或．

故答案为：D．

【分析】由单位向量的定义，计算，即得．

10．（2023高一下·宜宾期末）已知向量，，则与（）

A．平行且同向B．垂直

C．平行且反向D．不垂直也不平行

【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】由于，所以与垂直.

故答案为：B

【分析】通过计算判断出的关系.

二、多选题

11．（2023高一下·沈阳期末）设向量，，则下列叙述错误的是()

A．若时，则与的夹角为钝角

B．的最小值为2

C．与共线的单位向量只有一个为

D．若，则或

【答案】C,D

【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，

解得且，A选项中的命题正确；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；

对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；

对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.

故答案为：CD.

【分析】根据与的夹角为钝角，得出且与不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与共线的单位向量为可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.

三、填空题

12．（2023高一上·百色期末）已知，则在方向上的投影为.

【答案】3

【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量

【解析】【解答】根据投影的概念可得在方向上的投影为：。

故答案为：3。

【分析】利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而结合已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出向量在向量方向上的投影。

13．（2023高一下·宣城期末）已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为.

【答案】

【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示

【解析】【解答】解：设，

解得

故，则在基底下的坐标为.

故答案为：

【分析】设，再根据得到方程组，解得.

14．（2023高一下·杭州月考）向量，，且，则，．

【答案】-2；-20

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示

【解析】【解答】，，且，，解得，则，

因此，.

故答案为：-2；-20.

【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可计算得出的值.

15．（2023高一下·开封期末）已知向量，，若，则．

【答案】

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】∵，向量，

∴，易知，

∴，

故答案为：．

【分析】由向量平行得关系式，可求得．

16．（2023高一下·宝坻月考）已知向量，，则向量的坐标是．

【答案】(2,3)

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】【解答】

【分析】利用，代入点坐标，即可．

四、解答题

17．（2023高一上·百色期末）已知平面向量，且与共线.

（1）求的值；

（2）与垂直，求实数的值.

【答案】（1）解：由题意得：，

因为与共线

所以，

解得

（2）解：由（1）可知，于是，

而，

由于，

从而，

解得：

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。

（2）由（1）可知，再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数的值。

18．（2023高一上·抚州期末）已知向量，设函数．

（1）求的最小正周期及对称轴；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1）解：

函数的最小正周期为

对称轴为

（2）解：由得当，

，

函数的值域为

【知识点】函数的值域；平面向量数量积的坐标表示；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性

【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出函数f(x)的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称轴。

（2）利用换元法将正弦型函数f(x)转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在的值域。

19．（2023高一下·海南期末）已知向量．

（1）若，求k的值；

（2）若，求m的值.

【答案】（1）解：

即

（2）解：

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标关系得方程，解方程得k的值；（2）根据向量垂直坐标关系得方程，解方程得m的值；

20．（2023高一下·温州期末）已知是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且，求与的夹角θ的余弦值.

【答案】（1）解：设，因为，所以，①

又因为，所以，②

由①②联立，解得或

（2）解：由已知，可得，

又由，，解得，所以

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【分析】（1）设，由，和，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由，求得，结合夹角公式，即可求解.

21．（2023高一下·开鲁期末）已知向量，，

（1）若，求的值﹔

（2）若，求值.

【答案】（1）解：由得，，

，

（2）解：由得，

，

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【分析】（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得，根据弦化切即可求解.

22．（2023高一下·沈阳期末）已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值.

【答案】（1）解：向量（1，1），（﹣3，4），

则（4，﹣3），

∴||5

（2）解：由（1）向量与夹角的余弦值为

cos，

【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．

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高中数学人教A版（2023）必修二第六章平面向量的坐标表示

一、单选题

1．（2023高一上·南充期末）已知向量，则（）

A．B．C．D．

2．（2023高一上·抚州期末）若向量，且与共线，则实数的值为（）

A．-1B．C．1D．2

3．（2023高一上·合肥期末）已知向量，，，则向量可用向量表示为（）

A．B．C．D．

4．（2023高一下·北京期末）已知向量，，满足，则（）

A．1B．-1C．4D．-4

5．（2023高一下·北京期末）已知向量，，且，则的坐标可以为（）

A．B．C．D．

6．（2023高一下·通州期末）在下列各组向量中，互相垂直的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，，

7．（2023高一下·温州期末）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量，，若，则的值为（）

A．B．C．D．

8．（2023高一下·天津期末）设R，向量且，则()

A．B．C．D．10

9．（2023高一下·天津期末）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（）

A．B．或

C．D．或

10．（2023高一下·宜宾期末）已知向量，，则与（）

A．平行且同向B．垂直

C．平行且反向D．不垂直也不平行

二、多选题

11．（2023高一下·沈阳期末）设向量，，则下列叙述错误的是()

A．若时，则与的夹角为钝角

B．的最小值为2

C．与共线的单位向量只有一个为

D．若，则或

三、填空题

12．（2023高一上·百色期末）已知，则在方向上的投影为.

13．（2023高一下·宣城期末）已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为.

14．（2023高一下·杭州月考）向量，，且，则，．

15．（2023高一下·开封期末）已知向量，，若，则．

16．（2023高一下·宝坻月考）已知向量，，则向量的坐标是．

四、解答题

17．（2023高一上·百色期末）已知平面向量，且与共线.

（1）求的值；

（2）与垂直，求实数的值.

18．（2023高一上·抚州期末）已知向量，设函数．

（1）求的最小正周期及对称轴；

（2）当时，求函数的值域．

19．（2023高一下·海南期末）已知向量．

（1）若，求k的值；

（2）若，求m的值.

20．（2023高一下·温州期末）已知是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且，求与的夹角θ的余弦值.

21．（2023高一下·开鲁期末）已知向量，，

（1）若，求的值﹔

（2）若，求值.

22．（2023高一下·沈阳期末）已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】【解答】，。

故答案为：A。

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。

2．【答案】B

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】，

,,

与共线,

,解得：。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量与的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。

3．【答案】B

【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算

【解析】【解答】根据平面向量基本定理,可设

代入可得

即,解得

所以

故答案为：B

【分析】根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.

4．【答案】D

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】向量，，

，

故答案为：D

【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.

5．【答案】B

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】设

由，且，所以①

又，所以②

由①②可知：或

故向量或

故答案为：B

【分析】设的坐标，然后根据以及，简单计算，可得结果.

6．【答案】A

【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】若两个向量、垂直，则，

对于A，，满足条件；

对于B，，不满足条件；

对于C，，不满足条件；

对于D，，不满足条件；

故答案为：A

【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．

7．【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】

，

故答案为：B

【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.

8．【答案】C

【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】向量且，

，，

从而，

因此，

故答案为：C．

【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示，从而建立关于x,y的方程组，从而求出x,y的值，从而求出向量的坐标表示，从而结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标表示，从而用向量求模的坐标公式，从而求出向量的模。

9．【答案】D

【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】由已知，所以与平行的单位向量为或．

故答案为：D．

【分析】由单位向量的定义，计算，即得．

10．【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】由于，所以与垂直.

故答案为：B

【分析】通过计算判断出的关系.

11．【答案】C,D

【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，

解得且，A选项中的命题正确；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；

对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；

对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.

故答案为：CD.

【分析】根据与的夹角为钝角，得出且与不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与共线的单位向量为可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.

12．【答案】3

【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量

【解析】【解答】根据投影的概念可得在方向上的投影为：。

故答案为：3。

【分析】利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而结合已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出向量在向量方向上的投影。

13．【答案】

【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示

【解析】【解答】解：设，

解得

故，则在基底下的坐标为.

故答案为：

【分析】设，再根据得到方程组，解得.

14．【答案】-2；-20

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示

【解析】【解答】，，且，，解得，则，

因此，.

故答案为：-2；-20.

【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可计算得出的值.

15．【答案】

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】∵，向量，

∴，易知，

∴，

故答案为：．

【分析】由向量平行得关系式，可求得．

16．【答案】(2,3)

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】【解答】

【分析】利用，代入点坐标，即可．

17．【答案】（1）解：由题意得：，

因为与共线

所以，

解得

（2）解：由（1）可知，于是，

而，

由于，

从而，

解得：

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。

（2）由（1）可知，再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数的值。

18．【答案】（