广东省揭阳市第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省揭阳市第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足不等式组，则z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为（）A． B．10 C． D．17参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义：动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方，即可求最小值．【解答】解：设z=（x﹣1）2+（y+1）2，则z的几何意义为动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点P到A点的距离最小，即A点到直线x+2y﹣5=0的距离最小．由点到直线的距离公式得d==，所以z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为d2=．故选：C2.已知长方体ABCD–A1B1ClD1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16且AB：AD：AA1=：1：2，则球O到平面ABCD的距离为A．1

B．

C．

D．2

参考答案：B【知识点】点与平面间的距离因为球O的表面积为16，设外接球O的半径为,所以，，又因为长方体ABCD–A1B1ClD1的各个顶点都在球O的球面上，所以长方体的体对角线等于其外接球O的直径，AB：AD：AA1=：1：2，设，依题意可得，解得，而球O到平面ABCD的距离为，故选B.【思路点拨】由球O的表面积为16可求其半径，再利用长方体的体对角线等于其外接球O的直径可解得长方体的各棱长，最后可求O到平面ABCD的距离。

3.已知向量，则在方向上的投影为()

A．

B．

C．-2

D．2参考答案：D4.已知集合，集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是(

)A. B. C. D.参考答案：C由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.

6.袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D7.如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由于为半径，圆心，为弦，故在上的投影为

8.若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{0≤x≤}D．{x|0＜x＜2}参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选D9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为（

）A．23 B．47 C．24 D．48参考答案：B输入初始值n=24,则S=24第一次循环：n=16,S=40第二次循环：n=8,S=48第三次循环：n=0,S=48,即出循环s=47,输出47,选B.

10.设数列满足,且对任意的,点都有,则的前项和为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数（是虚数单位）的虚部为________.参考答案：12.若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是

．参考答案：[－1，5]13.若为的展开式中的项的系数，则

.参考答案：114.设则=___________.参考答案：，所以.15.已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数________参考答案：516.已知函数满足：①对任意，恒有；②当时，.则

；方程的最小正数解为

.参考答案：，

略17.设x1，x2∈R，函数f（x）满足ex=，若f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）最小值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由条件求得f（x）的解析式，再由f（x1）+f（x2）=1，可得=++3，运用基本不等式可得≥9，再由函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：由ex=，可得f（x）==1﹣，由f（x1）+f（x2）=1，可得+=，即为=++3，由+≥2，即有≥2+3，解得≥3，即为≥9，当且仅当x1=x2，取得等号，则f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．即有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）对于函数y＝f(x)，若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f(x)单调递减，当x＞t时，函数f(x)单调递增；②对任意x＞0，只要t－x，t＋x∈D，都有f(t－x)＞f(t＋x)，则称y＝f(x)为D内的“勾函数”．

（1）证明：函数y＝为(0，＋∞)内的“勾函数”；

（2）若D内的“勾函数”y＝g(x)的导函数为y＝g￠(x)，y＝g(x)在D内有两个零点x1，x2，求证：g￠()＞0；（3）对于给定常数l，是否存在m，使函数h(x)＝lx3－l2x2－2l3x＋1在(m，＋∞)内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．参考答案：19.已知椭圆，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且。(1)抛物线C的标准方程;(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及抛物线的性质可求得和，再结合解出即可得抛物线的方程；（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，，把根与系数的关系代入可得，由其为定值可得，即得结果.代入同理可得结论．【详解】（1）由题意知，焦点的坐标为，则，，又，解得：.故抛物线的标准方程为.（2）设点坐标为，设点，的坐标分别为，，显然直线的斜率不为0.设直线的方程为.联立方程消去，并整理得，则且，.由，.有.

若定值，必有.所以当为定值时，点的坐标为.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.

某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．

（I）若治安满意度不低于分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：21.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）参考答案：（Ⅰ）x＝15，y＝20．X11.522.53P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

＝×＋×＋×＝．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.

22.如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD．又PA⊥BD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO?平面PAC，∴BD⊥PO．又OB=OD，∴PB=PD．（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，∴EQ∥AF，EQ=AF，∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．又BD⊥