大数定律和中心极限定理课件

第五章 大数定律及中心极限定理1§5.1

大数定律在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性大量的随机现象的平均结果具有稳定性概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的

稳定性的一系列定理，称为大数定律（law

oflargenumber)D2UR设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给ε>0,使得则称{Xn}依概率收敛于X.可记为一.依概率收敛D3UR如的意思是:当a而意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当时，D4UR二.几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望μ，及方差σ2>0，则即若任给ε>0,使得D5UR证明:

由切比雪夫不等式可得这里故D6UR2.伯努里大数定律设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理D7UR3.辛钦大数定律若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=μ

<∞,k=1,

2,…则推论:

若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(X1k)

<∞,

则D8UR客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因

素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。§5.2

中心极限定理D9UR1.独立同分布中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若E(Xk)=μ<∞，D(Xk)=

σ2

<∞，k=1,

2,…,则的分布函数对任意x满足即n充分大时，有1D0UR定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和 近似地服从正态分布：1D1UR例1

一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,

2,

⋅⋅⋅,20),

设它们是相互独立的随机变量,

且都在区间(0,

10)上服从均匀分布.

记V=V1+V2+

⋅⋅⋅

+V20,求P{V>105}的近似值.解

易知E(Vk)=5,

D(Vk)=100/12(k=1,

2,

⋅⋅⋅,

20).由独立分布的中心极限定理,随机变量近似服从正态分布N(0,1),U

D

R12即有

P{V

105}

0

348

于是1D3UR设随机变量ηn(n=1,

2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意的实数x,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理二项分布的极限分布是正态分布1D4UR即如果，则1D5UR例2

在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费，在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求：(1)保险公司一年的利润不少于6万元的概率；

(2)保险公司亏本的概率。解设一年内的死亡人数为X，保险公司一年的利润为Z，则所以由中心极限定理，故（1）1D6UR例2

在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费，在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家