陕西省西安市铁路分局第五职工子弟中学高三数学理联考试题含解析

陕西省西安市铁路分局第五职工子弟中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的不等式至少有一个负根，则实数a的取值范围是(

)

（A）（B）（C）（D）参考答案：C2.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（）A． B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得，故2x=1，即新工件棱长为1．故选B．3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入分别代表钱数和果子个数，则符合输出值的为（

）A．为甜果数343

B．为苦果数343

C.为甜果数657

D．为苦果数657参考答案：B4.如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．21参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选C．5.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（

）．A．直线、直线 B．圆、圆 C．直线、圆 D．圆、直线参考答案：D极坐标方程化为直角坐标方程为，表示圆，参数方程，化为普通方程为，表示直线．故选．6.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D第一次循环：，满足条件，；第二次循环：，满足条件，；第三次循环：，满足条件，；第四次循环：，满足条件，；第五次循环：，满足条件，；第六次循环：，满足条件，；第七次循环：，满足条件，；……易知：S的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S的值为-1.7.（文）设全集U=R，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A.B.

C.D.参考答案：A：因为，Venn图表示的是,所以，故选A.8.以下四个命题：其中真命题为()①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．A．①④

B．②④

C．①③

D．②③参考答案：D略9.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A．10π B．11π C．12π D．13π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．故选C．10.已知满足，则A． B． C． D．参考答案：解：；；；又；．故选：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简：=．参考答案：4sinθ【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案为：4sinθ．12.如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：413.已知数列的前n项和为，且点在直线上，则数列的通项公式为

。参考答案：14.以正四面体ABCD各棱中点为顶点的几何体的体积与该正四面体的体积之比为

参考答案：略15.已知五边形ABCDE满足AB=BC=CD=DE，∠BAE=∠AED=90°，∠BCD=120°，若F为线段AE的中点，则往五边形ABCDE内投掷一点，该点落在△BDF内的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】分别求出△BDF、五边形ABCDE的面积，一面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，ABDF为长方形，设AB=1，则BD=，S△BDF==，五边形ABCDE的面积S=1×+=，∴往五边形ABCDE内投掷一点，该点落在△BDF内的概率为=，故答案为．16.已知中，是重心，且，则

▲．参考答案：17.在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则_____参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，为极点，点，．（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值．参考答案：解（1）；

………5分（2）或．

………10分略19.抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p1，p2，p3，p4，p5，p6，经统计发现，数列{pn}恰好构成等差数列，且p4是p1的3倍．（Ⅰ）求数列{pn}的通项公式．（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否则已获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平？请说明理由；（Ⅲ）甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试在下面的表格中列举出两种可能的方案（不必证明）．方案序号甲胜出对应点数乙胜出对应点数丙胜出对应点数①

②

参考答案：解：（Ⅰ）设数列{pn}的公差为d，由p4是p1的3倍及概率的性质，有，解得，d=，故，1≤n≤6，n∈N*（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率P甲=p1+p2+p3=，甲获胜的概率PP乙=p4+p5+p6=，二者概率不同，所以不公平．（Ⅲ）（共6种可能，答出任意2种即可） 甲获胜对应点数 乙获胜对应点数 丙获胜对应点数① 1，6 2，5 3，4② 1，6 3，4 2，5③ 2，5 3，4 1，6④ 2，5 1，6 3，4⑤ 3，4 1，6 2，5⑥ 3，4 2，5 1，6略20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0（1）求角C；（2）若，求边长a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求ab=4，由余弦定理可得a2+b2=8，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0，∴由正弦定理可得：（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，…2分∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，…5分∵C∈（0，π）∴C=…6分（2）∵S△ABC=absinC=ab=，∴ab=4，①由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC，∵c=2，C=，ab=4，…8分∴a2+b2=8，②…10分联立①②即可解得：a=2，b=2…12分21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若AF=1，求证：CE∥平面BDF；（Ⅱ）若AF=2，求平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF；（Ⅱ）由底面ABCD是边长为3的菱形，可得AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面BDF与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD．又GE∩GC=G，GE、GC?面GEC，FO∩FD=F，FO，FD?面FOD．∴面GEC∥面FOD．∵CE?面GEC，∴CE∥面BDF；（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为3的菱形，∴AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，﹣，0），D（0，，0），P（﹣，0，3），C（，0，0），F（，0，2）．则，，，．设平面BDF的一个法向量为，则，取z=3，得．设平面PCD的一个法向量为，则，取y=，得．∴cos＜＞==．∴平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．22.已知函数f（x）=﹣lna，（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）若a=e，求函数y=f（x）的单调区间；（其中e=2.71828…是自然对数的底数）（Ⅱ）设函数，当x∈时，曲线y=f（x）与y=g（x）有两个交点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；（Ⅱ）令，x∈，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【