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文档简介

练习三的答案1.

选择题(1)

A

提示:分子分母同时除以n2.(2)

A3提示:由limxfi

-1

x3

+11=

¥

知,

limxfi

-1

ax

+1=

¥,即lim(ax

+1)=-a

+1

=0.xfi

-1(3)

A2ax2

+bx

+c为二次多项式.x

+1=

lim=0知1/

(x

+1)

xfi¥

ax

+

bx

+

cxfi

¥1/

(ax2

+

bx

+

c)提示:

由lim2.

计算下列极限.(1)

1/3

提示:

由于分子分母的极限都为零,需要分子分母同时有理化,

即分子分母同乘以(

x

+1

+

2) (

3

(x

+

5)2

+

23

x

+

5

+

22

).(2)

03提示:

3+cos

x

为有界函数,

limx2

+1=

0.xfi

¥

x

+

x(3)

(p+q)/2

提示:把分子有理化,分子分母同乘以(x

+p)(x

+q)+x,再分子分母同除以x.2.

k=-3

提示:(x2-2x+k)|x=3=0.3.

a=1,

b=-1提示:lim即1-a=0且a+b=0.4.

利用两个重要极限计算下列极限.(注:在这里写答案提示时是按题意要求来写的.)(1-

a)x2

-(a

+

b)x

+1-

b=

0,x

+1xfi

¥(1)

2/5

提示:sin

2x

=

sin

2x

2x

5xtan

5x

2x

5x

sin

5xcos

5x(2)

-1

提示:sin

x

=

sin(p

-

x)

=

-

sin(p

-

x)

.x

-p

x

-p

p

-

x(3)

1/2

提示:sin3

x

sin3

x1sin

x

(

-1)tan

x

-

sin

x

=

cos

x

22sin2

xsin2

xcos

x=

1

1(2

)2(

)2

.sin2

x

cos

xsin

x2

cos

xxx

/

2 sin

x1

1-

cos

x

=

1=(4)

e1提示:

1+

x

2

x11-x)

2

x1)2

.

1+

x

2

x2x2x=

(1+(1+1-

x1-

xx-11=

(1+

x)

x

(1-

x)

1-

x

1-

x

(5)

e42提示:(x

+ex

)x

2

2+1)]x

=

e2[(1+)

x

]ex

.exxex=[ex

(xex(6)

e-1/2提示:

当xfi

0时,cot2

x(cos

x)2

1

2

]cot-12

.-1x

=

[(1+

tan2

x)

tan2

x

]=[(sec

x)(7)e2提示:1(1+

x2

)1-cos

xx2112

.=[(1+

x2

)

x2

]1-cos

xx22sin2

x=

[(1+

x2

)

x2

]5.

利用极限存在的两个准则计算和证明.(1)

1

提示:n

1n2

+

2pn2

+

npn2

+p11.n£n2

+

np

n2

+p++

+£(2)提示:证{xn}为单调有界数列,可用数学归纳法证明{xn}为单调增加数列,可用数学归纳法证明0<

xn

<3即{xn}为有界数列.令lim

xn

=

a,

则有nfi

¥a

=

lim

xn+1

=

3

+

lim

xn

=

3

+

a

,nfi

¥

nfi

¥由0<

x

a

=

1+

13

.n

<3知a‡0,

所以

2(3)

提示:显然xn>0恒成立,2

xn+1n

n+1

n+2

n+1x

=

1

(x

+

1

)

x‡1

x

£

xn

{xn+1}为单调有界数列

{xn+1}收敛,又因为{xn}收敛

{xn+1}收敛,

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