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文档简介
练习三的答案1.
选择题(1)
A
提示:分子分母同时除以n2.(2)
A3提示:由limxfi
-1
x3
+11=
¥
知,
limxfi
-1
ax
+1=
¥,即lim(ax
+1)=-a
+1
=0.xfi
-1(3)
A2ax2
+bx
+c为二次多项式.x
+1=
lim=0知1/
(x
+1)
xfi¥
ax
+
bx
+
cxfi
¥1/
(ax2
+
bx
+
c)提示:
由lim2.
计算下列极限.(1)
1/3
提示:
由于分子分母的极限都为零,需要分子分母同时有理化,
即分子分母同乘以(
x
+1
+
2) (
3
(x
+
5)2
+
23
x
+
5
+
22
).(2)
03提示:
3+cos
x
为有界函数,
limx2
+1=
0.xfi
¥
x
+
x(3)
(p+q)/2
提示:把分子有理化,分子分母同乘以(x
+p)(x
+q)+x,再分子分母同除以x.2.
k=-3
提示:(x2-2x+k)|x=3=0.3.
a=1,
b=-1提示:lim即1-a=0且a+b=0.4.
利用两个重要极限计算下列极限.(注：在这里写答案提示时是按题意要求来写的.)(1-
a)x2
-(a
+
b)x
+1-
b=
0,x
+1xfi
¥(1)
2/5
提示:sin
2x
=
sin
2x
2x
5xtan
5x
2x
5x
sin
5xcos
5x(2)
-1
提示:sin
x
=
sin(p
-
x)
=
-
sin(p
-
x)
.x
-p
x
-p
p
-
x(3)
1/2
提示:sin3
x
sin3
x1sin
x
(
-1)tan
x
-
sin
x
=
cos
x
22sin2
xsin2
xcos
x=
1
1(2
)2(
)2
.sin2
x
cos
xsin
x2
cos
xxx
/
2 sin
x1
1-
cos
x
=
1=(4)
e1提示:
1+
x
2
x11-x)
2
x1)2
.
1+
x
2
x2x2x=
(1+(1+1-
x1-
xx-11=
(1+
x)
x
(1-
x)
1-
x
1-
x
或
(5)
e42提示:(x
+ex
)x
2
2+1)]x
=
e2[(1+)
x
]ex
.exxex=[ex
(xex(6)
e-1/2提示:
当xfi
0时,cot2
x(cos
x)2
1
2
]cot-12
.-1x
=
[(1+
tan2
x)
tan2
x
]=[(sec
x)(7)e2提示:1(1+
x2
)1-cos
xx2112
.=[(1+
x2
)
x2
]1-cos
xx22sin2
x=
[(1+
x2
)
x2
]5.
利用极限存在的两个准则计算和证明.(1)
1
提示:n
1n2
+
2pn2
+
npn2
+p11.n£n2
+
np
n2
+p++
+£(2)提示:证{xn}为单调有界数列,可用数学归纳法证明{xn}为单调增加数列,可用数学归纳法证明0<
xn
<3即{xn}为有界数列.令lim
xn
=
a,
则有nfi
¥a
=
lim
xn+1
=
3
+
lim
xn
=
3
+
a
,nfi
¥
nfi
¥由0<
x
a
=
1+
13
.n
<3知a‡0,
所以
2(3)
提示:显然xn>0恒成立,2
xn+1n
n+1
n+2
n+1x
=
1
(x
+
1
)
x‡1
x
£
xn
{xn+1}为单调有界数列
{xn+1}收敛,又因为{xn}收敛
{xn+1}收敛,
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