2021-2022学年江苏省无锡市立人高级中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年江苏省无锡市立人高级中学高三数学理

月考试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知m,n是两条不同直线，％产是两个不同平面，给出四个命题：

①若&0户=活力匚国;3_1掰，则。JL■月②若也_La,根1.尸，则戊〃尸

③若耀"La”J_旦活,则a_L产④若活"a,%//尸肉〃巴则

a//j8

其中正确的命题是

A.①②B.②③C.①

④D.②④

参考答案：

2.已知数列加力满足。一%=2,4=—5,则I.I+&I+…+|/|=()

A.9B15.C.18D.30

参考答案：

C

由题意得数列为等差数列,4=—5+2(n—1)=2n-7,因此

|at|+|a2|++|a6|=5+3+14-1+3+5=18.选c.

3.函数f'(x)是奇函数f(x)(xGR)的导函数，f(1)=0,当x<0时，xf'(x)

+f(x)>0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是()

A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)C.(…，-1)u(1,

+8)D.(-1,0)U(0,1)

参考答案：

B

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系.

【专题】数形结合；构造法；转化法；导数的概念及应用.

【分析】根据题意构造函数g(X)=xf(x),由求导公式和法则求出g'(X),结合条

件判断出g'(x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(X)奇函数判断出

g(x)是偶函数，将不等式进行转化，由图象求出不等式成立时X的取值范围.

【解答】解：设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x),

,当x<0时，xf'(x)+f(x)>0,

...则当x<0时，gz(x)>0,

二函数g(x)=xf(x)在(-8,o)上为增函数，

•函数f(x)是奇函数，Ag(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=g

(x),

函数g(x)为定义域上的偶函数，

由f(1)=0得，g(1)=0,函数g(x)的图象大致如右图：

g(X)

•.•不等式f(x)<0?X<0,

'x>0(x<0

/.]g(x)<0或[g(x)>0,

由函数的图象得，-l<x<0或x>l,

二使得f(x)<0成立的x的取值范围是：(-1,0)U(1,+8),

故选:B.

【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查

构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题.

C=l(a>0,6>0)

4.双曲线VF的一条渐近线与直线

X+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为

亚

(A)A/3(B)T(0垂>

D)

参考答案：

【知识点】双曲线的简单性质H6

C:—•-A=l(a>0,6>0)

C解析：•.•双曲线a2讨的焦点在X轴上，.•.其渐近线方程为

+-

y=—ax,♦.•渐近线与直线x+2y+l=0垂直，渐近线的斜率为2,

-b2=4a2,c2—a2=4a2,c2=5a2=5,—=y/5r-

：.a=2,即aa双曲线的离心率e=V5

故答案为C

【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直

,_bbc

线x+2y+l=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为-4,故W=2,再利用c'aMAe=4即可得双

曲线的离心率

5.下列说法中，正确的是

A.命题“若的2<b病，则a<b"的逆命题是真命题

B.命题—-x>0”的否定是：“VxeK,x2-x<0-

C.命题“P或4”为真命题，则命题“P”和命题f均为真命题

D.已知xe&,贝ij“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

参考答案：

B

略

6.已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1),若A?B,则实数x的值为()

A.1或-1B.1C.-1D.2

参考答案：

A

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合.

【分析】本题是一元一次方程和集合包含关系结合的题目，利用A?B,建立方程即可.

【解答】解：•••集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},A?B,

1x|-1=0

x=l或-1；

故选：A.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.要正确判断两个集合间的关系，必

须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征.

7.已知双曲线a?-b2=l(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y?=2px(p>0)的准线分

别交于0、A、B三点，0为坐标原点.若双曲线的离心率为2,ZiAOB的面积为加，则p=

()

3

A.1B.2C.2D.3

参考答案：

C

考点：双曲线的简单性质.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

22

工-J

分析：求出双曲线a的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而

求出A,B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2,AAOB的面积为近，列出方程，由此

方程求出p的值.

22

工-j

解答：解：•.•双曲线ab,

b

...双曲线的渐近线方程是y=+ax

P

又抛物线y、2px(p>0)的准线方程是x=-2

Pbc=

故A,B两点的纵坐标分别是y=±2a,双曲线的离心率为2,所以a,

,2「_「

M=JA=e2-l=3b_r-

pb+V3P

A,B两点的纵坐标分别是y=±甚~~2,

又，AAOB的面积为晶，x轴是角AOB的角平分线

，如倔巧诋得p=2.

故选C.

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A,

B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算

量，做题时要严谨，防运算出错.

8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周

率的近似值，首创“割圆术利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似

值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的

〃值为（）（参考数据：x0.1305,^«15-«0J2588）

A.6B.12C.24D.48

参考答案：

C

【分析】

根据程序框图运行程序，直到满足sA3」。时输出结果即可.

【详解】按照程序框图运行程序，输入"=6

a•s3百

5=Jsinou=-----

则2,不满足sN3」0,循环；

n=12,s-6sn30T=3,不满足』N3-10,循环；

n=24,5=12sinl5'«3.1056,满足sN3」0,输出结果：n=24

本题正确选项：C

【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输

出条件，属于基础题.

9.已知点A（1,0）,若曲线G上存在四个点B,C,D,E.使AABC与4ADE都是正三角

形，则称曲线G为“双正曲线”.给定下列四条曲线：

①4x+3yJ0；②4x2+4yJl；③春2六2；@x2-3y2=3

其中，“双正曲线”的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

参考答案：

B

_22

（a〉b>0）

10.斜率为2的直线1与椭圆a"bz交于不同的两点，且这两个交点在x

轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）

V21M]

A.2B.2C.3D.3

参考答案：

A

【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.

【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a行，求得关于

c

a的方程求得e.

【解答】解：两个交点横坐标是-c,c

返返

所以两个交点分别为(-C,-Vc)(c,"TC)

代入椭圆a22b2=1

两边乘2a廿

则c2(2b2+a2)=2a廿

Vb2=a2-c2

c2(3a2-2c2)=2a*4-2a2c②

2a*4-5a2c2+2c*4=0

(2a2-c2)(a2-2c2)=0

2

J1

2—

a=2,或2

V0<e<l

_c返

所以e二a二2

故选A

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中a,b和c的关系.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

H.如图，从点财&，④发出的光线沿平行于抛物线,=以对称轴的方向射向此抛物线上的

点p,反射后经焦点尸又射向抛物线上的点Q,再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向

射向直线L*-2,-7=°上的点N,再反射后又射回点“，则

参考答案:

6

.93

12.整数+3」的末两位数是.

参考答案：

08

解：令*=10。则得==#-3矛+9一.由于0<<1,故所求末两位数字为09-1=0&

13.边长为1的正方形如CZ）中，M为8C的中点，£在线段上运动，则百日丽的

取值范围是.

参考答案：

14.直线y=2x+b与曲线y=-x+31nx相切，则占的值

为.

参考答案：

-3

略

15.等比数列｛%｝的前当项和为凡，已知片，2s2,3s3成等差数列，则｛4｝的公比

为;

参考答案：

1

3

16点肛”）在曲线C：7-4无+/-21=0上运动£=792+1区-%-150-巴

1I1

且r的最大值为6,若则1口苫的最小值为.

参考答案：

1

【分析】

首先可确定曲线c表示圆心为仅0）,半径为5的圆；令d=J（x+6）+3-6）,则

t=d2-222-a.d的最大值为半径与圆心到点("Mi)的距离之和，利用两点间距离公式

求得仁，代入工中利用最大值为〃可求得"+1+B=4,将所求的式子变为

2_/当2_+北川同

a+1卜41a+lb),利用基本不等式求得结果.

【详解】曲线C可整理为：(hZf+yJ”

则曲线C表示圆心为他叫，半径为5的圆

/=?+步+12X-12JF-150-a=(x+6)"+(y-6)2-222-a

设d="(x+6)*(事-6),则d表示圆上的点到的距离

则J=J(2+6)、(0-6)2+5=15

:-60=15-222—a="整理得：a+l+&=4

,j_a=Arj-aki)=ixfi^-^ii

a+lb4(a+lbP++A4I+a+1+b+)

b_a+1、ba+1

-----+N2.J------------=2-----=

又a+lb\a+lb(当且仅当a+1b,即a=l,b=2时取等号)

-----+->-x4=l-----+-

a+184,即a+1占的最小值为1

本题正确结果：1

【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定

点距离的最值的求解方法，从而可得到之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形

式.

17.在AABC中，NC=90。，M是BC的中点.若sin/BAM=,则sinNBAC=

参考答案:

在

3

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

式式V2

zozo--

18.已知椭圆C：a+b=l(a>b>0)的离心率为2,四个顶点所围成菱形的面积为

872.

(I)求椭圆的方程；

(II)已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A(xHx2)和B(x2,y2),0为坐标

1

原点，且k(M?koB=-2,求yi,y2的取值范围.

参考答案：

考点：直线与圆锥曲线的关系.

专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：(D利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；

(II)联立直线方程和椭圆方程，消去y,运用韦达定理和判别式大于0,以及直线的斜

率公式，化简整理，即可得到yiy?的范围.

cV22

解答：解：(I)由已知可得e=W="T,2?2a?2b=8V2,

又a2=b2+c2,

解得c=2,b=2,a2=8.

椭圆的方程为8+4=1.

(ID直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A(xi,x2)和B(x2,y?),

y=kx+m

联立〔X+2y=8,得d+2k2)x?+4kmx+2m2-8=0,

△=16k2m2-4(l+2k2)(2m2-8)>0,化为8k>4遍,①

-4km2m2~8

99~

.'.xi+x2=1+2k,x)X2=1+2k.

工

•..满足koA?k(®=-2,

y^2]

xlx2=-2.

]i2产-8ip2-4

~~——9O

**.yiy2=-2XIX2=-2?l+2k=-l+2k,

yiy2=(kxi+m)(kxz+m)=k1lXz+km(xi+x2)+m'

Zm」-8-4kmK-8k2

=k2?1+2k+km?l+2k2+m2=l+2k2.

n)2-4K-8k2

-1+2k2=l+2k2.

.•,4k2+2=m2,

in2~42+4k2-44

―99—7-9

即有yiyz--1+2k=-1+2k=l+2k"-2,

则y!y2e(-2,2].

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得

到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，

考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

F£MV2

op--7---

19.已知椭圆a”+b'=i(a>b>0)的离心率为2,且过点~2,2).

(1)求椭圆方程；

(2)设不过原点0的直线1：y=kx+m(kKO),与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、0Q的

斜率依次为L、k2,满足4k=L+kz,试问：当k变化时，是否为定值？若是，求出此定

值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

参考答案:

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)利用己知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程.

(2)联立直线与椭圆方程，设P(X1,yi),Q(x2,y2).利用韦达定理，通过直线OP、

0Q的斜率依次为k”k2,且4k=L+kz,求解即可.

(收2J冬

2+,2

ab

cV3

【解答】解:(1)依题意可得Ia=y+L，解得a=2,b=l

—+v=1

所以椭圆c的方程是4y…(4分)

(2)当k变化时，nf为定值，证明如下：

尸kx+m

2

<x2

—+y—1

由I4得，(l+4k2)x'+8kmx+4(m2-1)=0.…(6分)

_8km4(m2-1)

设P(xi,yi),Q(X2,y2).则xi+x?=l+4k,X]X2=l+4k…(?)・・・(7

分)

・・•直线OP、0Q的斜率依次为斜k2,且4k二L+k：

ykxj+mkx+ro

—+--2--------+----2---

.\4k=xlx2=X1x2,得2kxix*m(xi+xz)，…(9分)

1

将（？）代入得：m2=2,-（11分）

经检验满足△＞（）.•••（12分）

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问

题的能力以及转化思想的应用.

20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，

皿_LCD，■//C。dB=月£）=2,C。=4，M为CE的中点

（1）求证：BM//平面ADEF；

（2）求几何体ABCDEFAD的体积和表面积。

参考答案:

解：（1）取DE的中点G,连MG、AG

^AB=MG；,四边形ABMG为平行四边形，.\BM//AG；.BM〃平面ADEF—

------6分

（2）体积1Ms=+=1乂2x4+5x2x5x2x4=—

表面积：S谈=S3co即+Su£F+M1QC3+6心g+35空

=6+4+2+4+2五+2灰=16+2及+2次_________合分

略

21.设函数J(x)=/+Rn(x+1),其中3Ho.

（1）当时，判断函数73）在定义域上的单调性;

（2）求函数73）的极值点；

Infl+1_L__L

（3）证明对任意的正整数%,不等式I附.«27都成立.

参考答案:

22、解：(1)由题意知，/(x)的定义域为(-L+8),f'(x)=2x+—=2x：>+2x+i>

x+1x+1

设g(x)=2x3+2x+b,其图象的对称轴为x=-gG(-1,+co),

-g(xg=g(_1]=-；+A，当时，g(xhm=-1+A>。，

总)=2#+2工-a>0在(-1,+8)上恒成立，.当工6(-1,+8)时，/V)>0,

b>-

:当2时，函数/(x)在定义域(-1，+8)上单调递增.

b>一1/、

(2)①由(1)得，当2时、函数了5)无极值点.

(if

121x+-1

b=-f\x)=-—0x=—

②2时，x+1有两个相同的解2,

・••xGf

I2)时，/⑶>0,尸⑶>0,

2时，函数/")在(-L+8)上无极值点.

1-1-71-26-1+V1-2i

bV—上“、门工1=----------工2=----------

③当2时，/5)=°有两个不同解，2,2

-1-V1-26上丘生>0

，八工1=

•.法(0时，22

即工1€(-1，+8),^2€[-L+00)

；8<0时,尸⑶,/(X)随X的变化情况如下表:

X(一1，再)(0+8)

0+

极小值

□□

-1-V1-26

%.=----------

由此表可知：力<0时，/（X）有惟一极小值点2

0<6<-•V—'、一1

当2时,“2',二七，；匕e(-14-00),

此时,尸⑶，随X的变化情况如下表：

X（一1,再）再（再，X2）再（西,-8）

尸⑴+o-0+

极小

口极大值口

/W