电感及线性动态电路

电感及线性动态电路第1页，课件共36页，创作于2023年2月第6章电容、电感及线性动态电路

在电路模型中往往不可避免地要包含电容元件和电感元件。这些元件要用微分的u~i关系来表征，因此有时称为动态元件（dynamicelement）。

含有动态元件的电路称为动态电路。

动态电路在任一时刻的响应（response，由激励产生的电流和电压称为响应）与激励（excitation，在电路中产生电压和电流的起因称为激励）的全部过去历史有关，这主要是由动态元件的性能所决定的

。

本章首先介绍动态元件的电压—电流关系，动态元件的储能性质，最后重点分析包含一个动态元件的一阶线性动态电路

。

第2页，课件共36页，创作于2023年2月6.1电容元件

把两片金属极板用介质隔开就可以构成一个简单的电容器（capacitor）。由于介质是不导电的，在外电源的作用下，极板上便能分别聚集等量的异性电荷。

电容器是一种能聚集电荷的部件。电荷的聚集过程也就是电场的建立过程，在这过程中外力所作的功应等于电容器中所储藏的能量，因此也可以说电容器是一种能够储存电能的部件。电容器的符号下图所示。

对于一定的电容器，极板上所聚集的电荷与外加的电压成正比。如果比例系数是一常数，这种电容元件就是线性的，其比例系数就是电容器的电容量（capacitance），简称电容，用符号C表示，即

：

电路中使用最多的是平行板电容器，当极板面积为S(m2)，极板间的距离为d（m），极板间介质的介电常数ε（F/m）时，其电容为：

一个实际的电容器，除了标明它的电容量外，还标明它的额定工作电压。使用电容器时不应超过它的额定工作电压。

第3页，课件共36页，创作于2023年2月6.1.1电容电压与电流的关系

设电容元件两端电压与电流为关联参考方向，如上图所示。当电容两端电压有du变化时，则电容器上的电荷量也必有相应的dq变化，即：dq=Cdu

所以流过电容电路的电流：线性电容元件的电流与电压的变化率成正比，电容电压变化越快，即越大，电流就越大。

上式还表明了电容的一个重要性质：如果在任何时刻，通过电容的电流只能为有限值，那么，就必须为有限值，这就意味着电容两端的电压不可能跃变，而只能是连续变化的。电容电压不能跃变是分析动态电路时一个很有用的概念。

对上式积分，可得电容的电压u与i的函数关系，即：如果只考虑对某一任意选定的初始时刻t０以后电容的情况，上式可写成：第4页，课件共36页，创作于2023年2月【例】

已知加在Ｃ＝１μF电容器上的电压为一三角形波，如图(a)所示，求电容电流。

解：已知电容两端电压u(t)，求电流i(t)，可用下式。

由于三角波对称，周期为１ms，只需分析半个周期。

当0≤t≤0.25ms时，u＝４×105t当0.25≤t≤0.5ms时，u＝－４×105t+200故得电流随时间变化的曲线如图中(b)所示，可以看出，电流是一个矩形波。

第5页，课件共36页，创作于2023年2月6.1.2电容元件的储能一般来说，电压、电流都是随时间变化的，那么，功率也是随时间变化的。每一瞬间的功率，称为瞬时功率。以符号p表示，则：p=ui把同一瞬时的电压和电流相乘，可逐点绘出功率随时间变化的曲线，称为功率波形图。从功率波形图可以看出，功率有时为正，有时为负。说明电容有时吸收功率，有时却又放出功率。电容的能量总是正值，但有时增长，有时减少。即在一段时间，电容吸收了能量，在另一段时间，却又把它释放出来。因此，电容是一种能储存能量的元件，不是耗能元件。电容储存的能量为：例如t=-∞时，电容器上无电荷储藏，即q(-∞)=0，则u(-∞)=0，那么，电容器上t时刻的储能：第6页，课件共36页，创作于2023年2月【例】定值电流４mA从t=0时开始对电容充电，C=1000μF。10s后电容的储能是多少？100s后储能又是多少？设电容初始电压为零。

解：已知i=4mAu(0)=0V，当t=10s时

当t=100s时

或

：

作业：P1121，2，3

第7页，课件共36页，创作于2023年2月6.2电感元件

将一导线绕成螺旋状或将导线绕在铁心或磁心上就构成常用的电感器或电感线圈。当电感线圈中有电流通过时，线圈周围就建立了磁场，即有磁感线穿过线圈，经过空间，形成封闭的线。磁感线的方向与电流的方向有关，由右手螺旋法则确定，如图所示。

磁场也储存能量，因此电感线圈是一种能够储存磁能的部件。

当线圈中间和周围没有铁磁物质时，通过线圈的电流变化，穿过线圈的磁通也将发生变化，且磁通φ的变化与电流i的变化成正比关系。

ψ=Nφ=Li或

长直螺旋管的电感量为

:实际的电感线圈可用一个理想电感元件作为它的模型，如下图所示。

第8页，课件共36页，创作于2023年2月6.2.1电感电压与电流的关系

当通过电感的电流发生变化时，磁链也相应地发生变化，根据电磁感应定律，电感两端出现（感应）电压，当感应电压的参考方向与电流参考方向一致时，感应电压等于磁链的变化率，即

:以线性电感ψ-i关系式代入得:上式说明：在某一时刻电感电压取决于该时刻电流的变化率，而与该时刻的电流过去的历史无关。

上式还表明电感的一个重要性质：如果电感的电压只能为有限值，那么电感的电流是不能突变的，这和电容电压不能跃变的道理是类似的，也是分析动态电路时一个很有用的概念。

也可以把电感的电流i表示为电压u的函数，可得：

在任选初始时刻t0以后，上式可表示为：上式说明。在某一时刻t的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在［t0，t］区间所有的电压值。

下面通过例题来说明。

第9页，课件共36页，创作于2023年2月(2)

当0≤t≤1s时，i=5tA 解：

（１）uab为电阻的电压，应与i成正比，据此可绘出uab的波形图。ubc的为电感电压，应与i对t的导数成正比，也就是与i~t曲线的斜率成正比，据此可绘出ubc的的波形图。各波形图如图所示。

【例】电路如图(a)所示，Ｒ＝５Ω，Ｌ＝２Ｈ，电流源的电流波形如图(b)所示。

(1)、绘出uab与ubc的波形图。(2)、写出uab与ubc的表示式。

当1≤t≤3s时，i=-5t+10

A当3≤t≤4s时，i=5t-20

A第10页，课件共36页，创作于2023年2月6.2.2电感的储能

电感是储存磁能的元件，储能公式的推导与电容储能公式一样。

电感的功率为：因此，电感元件上储存的能量为：对于线性电感：假设t=-∞时，电感上电流为零，则上式可写为：可见，电感在某一时刻的储能只与该时刻的电流值有关，电流增加时，吸收能量，电流下降时，释放能量，电感元件并不消耗能量，是一个储能元件。

第11页，课件共36页，创作于2023年2月【例】有一Ｌ=3H的理想电感元件，已知流过它的电流是梯形波，如图所示。求电压的波形，分析能量储放情况。

解：此电流的周期为16s。在t=2、6、10、14s各点上不连续。由于对称，可以只分析前半个周期的三段（oa、ab、bc）当0≤t≤2s时i=2t当2≤t≤6s时i=4当6≤t≤8s时

i=4-2(t-6)=16-2t

由此可见，电压是一矩形波。

第12页，课件共36页，创作于2023年2月6.3线性动态电路的分析

不论是电阻性电路还是动态电路，各支路电流和各支路电压都受基尔霍夫定律的约束，只是在动态电路中，来自元件性质的约束，除了电阻元件的欧姆定律，还有电容、电感的电压－电流关系，需用微分（或积分）的形式来表示，因此，线性动态电路不能用线性代数方程，而要用线性微分方程来描述。

在实际工作中，经常遇到只包含一个动态元件的线性动态电路，这种动态电路是用线性常系数一阶微分方程来描述的，故称为一阶动态电路。以电容元件为例，这类电路可以用上图(式(a)来概括。图中所示的方框部分只由电阻和电源组成，可以用戴维南等效电路代替，因此，这类动态电路的分析问题可归结为图(b)所示电路的分析问题。第13页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.1稳态与暂态在自然界中，事物的运动规律通常是：在特定条件下处于一种稳定状态，一旦条件改变，就要过渡到另一种新的稳定状态。事物从一种稳态进到另一种新的稳定状态往往需要一定的时间（一个过程）的，这段时间或这个过程称为过渡过程或暂态过程。引起过渡过程的原因有二：一是换路（如：电路的接通、断开，电路接线的改变或是电路参数、电源的突然变化等都称为“换路”）；二是具有储能元件，即动态元件。

在电子技术中常利用RC电路的过渡过程，即暂态过程来产生所需波形或产生延时作成电子式时间继电器等。电路在暂态过程中也会出现过电压或过电流现象，有时会损坏电气设备，造成严重事故。

因此，我们必须认识和掌握过渡过程这一物理现象的规律，以便在工程实际上既能充分地利用它，又能设法防止它的危害。第14页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.2换路定则及初始值的确定设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。0-和0+在数值上都等于0，但是前者是指从负值趋于零，后者是从正值趋于零。从t=0-到t=0+瞬间，由电容元件，电感元件的性质可知，电容元件上的电压不能跃变，电感元件中的电流不能跃变，这就是换路定则。用公式表示，则为：

注意：换路定则只能确定换路瞬时t=0+时的不能跃变的uc和iL的初始值，而ic和uL以及电路中其它元件的电压、电流初始值是可以跃变的（是否跃变，由具体电路结构而定）。由换路定则确定了uc(0+)或iL(0+)初始值后，电路中其它元件的电压、电流的初始值可按以下原则计算确定：

1．换路瞬间，电容元件当作恒压源。如果uc(0-)=0，则uc(0+)=0，电容元件在换路瞬间相当于短路。

2．换路瞬间，电感元件当作恒流源。如果iL(0-)=0。则iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。

3．运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间元件的电压、电流的初始值。第15页，课件共36页，创作于2023年2月【例】确定下图所示电路在换路后（开关闭合）各电流和电压的初始值。设开关在闭合前（换路前）电容元件和电感元件均未储存能量。

解：（1）求t=0-时电容电压uc(0-)和电感电流iL(0-)。由已知条件可知：

uc(0-)=0iL(0-)=0（2）作出t=0+时的等效电路。由电路可知：

uc(0+)=uc(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=0（3）根据t=0+的等效电路，运用直流电路中的分析方法，即可求出各电压、电流的初始值为：

iL(0+)=0iC(0+)=i1(0+)=Us/R1uc(0+)=0uR1(0+)=UsuR2(0+)=0uL(0+)=uR1(0+)=Us

第16页，课件共36页，创作于2023年2月

【例】如图（a）所示电路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,－开关S在t=0时合上,设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。

解：第一步,作t=0—等效电路如图（b）所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路。第二步,根据t=0—等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压:根据换路定律,可得：第三步,作t=0+等效电路如图（c）所示,这时电感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。第17页，课件共36页，创作于2023年2月

第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:第18页，课件共36页，创作于2023年2月【例】如图（a）所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。

解

(1）作t=0—等效电路如图（b）所示。则有：（2）作t=0+等效电路如图（c）所示。由此可得：

第19页，课件共36页，创作于2023年2月

【例】如图（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合,换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。

解（1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出：（2）作t=0+等效电路如图（b）所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路。则有：作业：P1136、7、8第20页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.3RC串联电路的零输入响应

下图(a)为ＲＣ串联电路，换路前，开关Ｓ在“１”位置，电路已处于稳态，电容器Ｃ两端已被充电到uc=E。在t=0瞬间进行换路，即将开关Ｓ由“１”切换到“２”位置上。根据换路定则，换路瞬间电容两端电压uc不能跃变，因此有：在t≥0时，电路中并无电源作用，这种没有外施激励，仅有初始储能的电路称为零输入电路。由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的响应称为零输入响应。换路后，根据基尔霍夫电压定律，可得：icR+uc=０（t≥0）式中：代入上式，得：上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程，它的通解为：其中τ=RC称为时间常数第21页，课件共36页，创作于2023年2月于是零输入电路的微分方程的解为：此解是输入激励为零时所得，即为零输入响应，它表明电容器在放电时电压uc随时间变化的规律。

电阻电压和放电电流随时间变化的规律为：

uc、ic、uR同是RC一阶电路的零输入响应，它们都是随时间按指数规律衰减的，如上图

(b)所示。电压、电流衰减的快慢，取决于时间常数τ的大小。

RC电路中的时间常数τ正比于R和C的乘积。适当调节RC电路中的参数R或C，就可以控制RC放电过程的快慢。右图为具有不同时间常数τ时uc衰减曲线。

或：

第22页，课件共36页，创作于2023年2月【例】

在下图中，一个已充电的电容器经电阻R放电，已知C=100μF，R=5KΩ，电容的初始储能为5×103J。求：（1）零输入响应uc和ic；（2）电容电压衰减到3.68V时所需时间；（3）欲使在t=2s时电容器电压减到7.5V，放电电阻R应为多大？解：(1)由已知初始储能求出电容器的初始电压uc(0+)，则：零输入响应：（2）由于电容电压从初始值10V下降到3.68V，即衰减到初始值的36.8%，由前面分析可知，正好经过了一个时间常数τ，则t=τ=0.5s（3）由得：第23页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.4直流激励下RC串联电路的零状态响应

下图所示RC充电电路，开关S闭合前，如电容上电压为零，我们称储能元件没有初始储能的电路为零状态电路。开关S闭合后，电容开始充电，在充电过程中电压uc和电流i的变化显然仅仅是由外施激励引起的，这种仅由外施激励引起的响应称为零状态响应。开关S闭合后，由KVL可得：或：上式是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。

RC电路零状态uc响应的全解：RC零状态电流响应为：RC零状态电阻上的电压为：RC零状态电路中，uc、i、uR的变化曲线如右图所示。第24页，课件共36页，创作于2023年2月【例】在下图电路中，已知Ｕs=12V，Ｒ1=R2=10KΩ，Ｃ=1000pF，开关S闭合前电路处于零状态。t=0时，开关闭合，求开关闭合后的uc、ic、iR及i。解：（１）运用戴维南定理得t≥0时的电路就电容支路两端看进去的部分进行化简，得如图（b）所示。

（2）电阻R1支路与C并联，R1两端电压的响应，就是uc电压的响应，因此iR的响应可按欧姆定律求得，为：(3)由KCL，所以：作业：P114：10，11，12第25页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.5RL串联电路的动态分析

RL电路中因为储能元件L的存在，因此在换路后，电路要有一个暂态过程才能进入新的稳定状态。根据换路定则，线圈中的电流在换路瞬间是不能突变的。RL电路的暂态过程与RC电路的暂态过程的分析方法是相同的。1.RL串联电路的零输入响应右图为RL串联电路，S闭合前，电路已处于稳态，电感中的电流为：电感中储存的磁场能为：

t=0瞬间开关S闭合，将RL支路短接。由于电感电流不能跃变，这一电流在t=0瞬间仍在右边RL回路中继续流动，以后逐渐下降到零。因此S闭合后电路的响应为零输入响应。换路后，由KVL列出电路方程为：uR+uL=0或：第26页，课件共36页，创作于2023年2月上式是一个一阶常系数线性齐次微分方程。其解法与RC串联电路零输入响应相同。iL的零输入响应为：其中：τ为电路时间常数电阻R两端电压的零输入响应为：电感电压uL为：负号表示电感线圈两端电压的实际极性与参考方向相反。

iL、uR、uL同是RL电路的零输入响应，它们都按指数规律衰减，如上图所示，电压、电流衰减的快慢，同样是取决于时间常数τ的大小。第27页，课件共36页，创作于2023年2月

【例】如图（a）所示为一测量电路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,电压表的内阻RV=10kΩ,量程为50V。开关S原来闭合,电路已处于稳态。在t=0时,将开关打开,试求:（1）电流i(t)和电压表两端的电压uV(t);

（2）t=0时（S刚打开）电压表两端的电压。解：（1）t≥0电路如图（b）所示,为一RL电路。电路的时间常数为：电感中电流的初始值为：电感电流的表达式为：

电压表两端的电压为：第28页，课件共36页，创作于2023年2月2．RL串联电路的零状态响应在下图的电路中，开关S闭合前电路中电流为零。开关闭合后，由KVL得：

uR+uL=U，所以得：上式与RC零状态响应电路相似，因此可用相同的方法求出此微分方程的解，即：式中τ=L/RuR的响应为：uＬ的响应为：响应曲线如上图所示，由曲线可见，iL的按指数规律增长，经过（3~5）τ时间，暂态过程结束，iL达到稳态值U/R，而此时电感线圈两端电压已趋近为零（在直流电路中，线圈视为短路），则uR(∞)=U。第29页，课件共36页，创作于2023年2月

【例】如图所示电路，已知U=18V，R=1500Ω，L=15H。求：（1）时间常数；（2）uL和iL的表达式；（3）经过10ms后的uL和iL的数值。解

（1）时间常数

τ=L/R=15/1500=10-2s=10ms（2）

(3)当t=10ms，即t=τ时作业：P11413、14第30页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.6一阶动态电路的全响应在一阶动态电路中，当储能元件为非零初始状态（换路瞬间已具有初始储能），且有外施激励时，两者共同作用下，在电路中产生的响应，称为一阶动态电路的全响应。下面以在直流激励下非零状态的RC电路为例，说明全响应的分析方法，其电路如下图所示。开关S动作前，在“1”位置，且处于稳态，即uc(0-)=E0。t=0瞬间，S由“1”切换到“2”位置，此时根据基尔霍夫电压定律，可写出：非零状态uc的全响应为：式中τ=ＲC，为换路后的时间常数。由上式可见，RC一阶电路的全响应由两部分叠加而成，即稳态分量uc(∞)和按指数规律衰减的暂态分量[uc(0+)-uc(∞)]两部分组成。或由上式可见，全响应又是零输入响应和零状态响应叠加的结果，这体现了线性电路的叠加性。第31页，课件共36页，创作于2023年2月上图电路中uc的响应可分为三种情况：

1．E0=E，uc(t)=E，说明电路无暂态过程，因为uc的初始值等于uc的稳态值，相当于没有换路。

2．E0＜E，即uc的初始值小于稳态值。在暂态过程中，电容继续充电，uc将按指数规律增长到稳态值，见右图所示。

3．E0＞E，即uc初始值大于稳态值。电容器在换路后将处于放电状态，uc将按指数规律衰减到稳态值，见右图所示。第32页，课件共36页，创作于2023年2月6.3.7三要素法由前面分析可知，一阶动态电路的过渡过程通常是：电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减到达稳态值的，并且同一电路各支路电流和电压的时间常数都是相同的。由全响应式也可以发现，只要知道了电容电压的稳态值uc(∞)，初始值uc(0+)及RC电路的时间常数τ，就可以直接写出电容电压过渡过程的表达式。设f(t)代表电路中任意支路的电压或电流；f(∞)表示该支路电压或电流的稳态值；f(0+)表示换路后该支路的电压或电流的初始值，则有：