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精品文档-下载后可编辑一题多变创意无限对课本典型习题认真研究，加以适当的变式引申，则不仅能固本拓新提高效率，而且还能思维创新提升能力。现以教材第二册（下B）习题9。4第3题为例进行变式探究如下。

原题：已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，求证：BCAD

本题旨在练习线面垂直的判定定理和性质运用，以及线线垂直与线面垂直的相互转化。如图1，取BC的中点E，构造辅助平面AED是解决问题的关键。

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变式一：如图1，空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，若将ABC绕BC转动时，BC是否仍然与AD垂直呢？

解：BC仍然与AD垂直。证明如下：

当A不在平面DBC内时，同原题一样，取BC的中点E，可证得BC平面ADE，再得BCAD；当A在平面DBC内时，AB=AC，DB=DC，点A与点D都在线段BC的垂直平分线上，故BCAD。因此将ABC绕BC转动时，BC一定与AD垂直。

点评：通过本题的进一步思考，动静结合，使我们更能体会到立体几何与平面几何的联系，变与不变的统一。

变式二：空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：BCAD

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证明：如图2，作AO平面BCD于O，则BO为AB在平面BCD内得射影，因为ABCD，所以BOCD。同理COBD（三垂线定理的逆定理）。所以O为BCD的垂心。连结DO，则DOBC。又因为DO为AD在平面BCD内得射影，所以BCAD。

点评：改变原题的题设条件后，将知识迁移到考查三垂线定理及逆定理的运用，通过本题的证明还可得出两个结论：四面体中，若两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直；顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

变式三如图3，在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，E为BC的中点，作AOED于O，求证：AO平面BCD

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证明：连结AE，同原题可先证得BC平面AED，AO？奂平面AED，BCAO，又AOED，ED∩BC=E，AO平面BCD。

点评：直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式，本题在证明中多次运用了“线线垂直与线面垂直”之间的转化，通过习题的变式进一步巩固了线面垂直的判定与性质的灵活运用。

变式四：如图4，在空间四边形ABCD中，AB=AC，DA=DB=DC，E为直角ABC斜边BC的中点，求证：AE平面DBC

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证明：因为DB=DC，E为BC的中点，所以DEBC。连结DE，在RtABC中，AE=BE=CE，又DA=DB=DC，所以ADE≌BDE，则AEDE。又AB=AC，E为BC的中点，则AEBC，所以AE垂直于平面DBC内两条相交直线，所以AE平面DBC。

点评：在论证中利用题设的已知条件来寻找线面垂直判定定理的充分条件是证明过程的基本思路，而找线线垂直通常要利用平面几何知识，如直角三角形的性质，三角形全等。

以上通过对课本一道简单习题的变式、

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