2021-2022学年度高二开学分班考试（四）【考试卷+全解全析】

2021—2022学年度高二开学分班考试（四）

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知复数Z1=l-i，Z・Z2=1,则复数Z2的虚部为（）

A.——B.----C.1D.-1

22

tan15°„/、

2.--------；一的值是()

1-tan215°

「V3

A.----D.---D.V3

623

3.2sinl50cosl5°的值是()

1

A.-2B.一一C.—D.2

22

4.已知AABC中，A:3:C=1:1:4,则a:b:c等于().

A.1:1:3B.1:1:2

C.1:1:6D.2:2:73

5.在AABC中，|AB|=3,|AC|=2,AD=^AB+^AC,则直线AO通过AABC

的（）

A.垂心B.外心C.重心D.内心

6.下列说法正确的是（）

rr

A.若a=b,则£、B的长度相等且方向相同或相反

B.若向量而、C方满足|通|>|西，且福与仁方同向，则A月〉。方

C.若£*万，则7与坂可能是共线向量

D.若非零向量而与丽平行，则A、B、C、。四点共线

7.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COV7Q-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，

传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有

特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，

武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患

者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化

网格化管理，不落一户、不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者

的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若

出现阳性，则该家庭为“感染高危户”,设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为0（O<P<1）

且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为了（。），当

P=Po时，/（P）最大，则Po=（）

A.叵B.1一也C.旦D.1一迈

2233

8.在正三棱柱ABC—44G中，4c=44,=2,点M是线段BQ的中点，点N是线

段AB的中点，记直线AM与CN所成角为a,二面角A—BC-A的平面角为£,则

（）

A.a=BB.a>/3C.a</3D.a-2/3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.下列命题中不正确的是（）

A.两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同

B.若非零向量而与前共线，则A、B、C、。四点共线

C.若非零向量万与日共线，则彳=日

D.四边形ABC。是平行四边形，则必有|丽卜|包|

10.先将曲线y=sin2x-^/isin（1一x）sin（x+m%）上每个点的横坐标伸长为原来的

2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移g个单位，得到g（x）的图象，则下列说法正

确的是（）

B.g（x）在［0,句上的值域为-J，；

C.g（x）的图象关于点（看可对称

1O万

D.g（X）的图象可由y=COSX+-的图象向右平移y个单位长度得到

11.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（)

试卷第2页，总6页

O12345678910U12月

注：收入----------支出..........

利润=收入-支出

A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同;

B.支出最高值与支出最低值的比是6：1；

C.第三季度平均收入为50万元；

D.利润最高的月份是2月份

12.在正方体ABCO-AgGA中，点Q为线段AQ上一动点，则()

A.对任意的点。，都有

B.三棱锥B-4。。的体积为定值

C.当。为AA中点时，异面直线々Q与BC所成的角最小

D.当。为中点时，直线4Q与平面所成的角最大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.sin20cos100-cos160sin10=.

14.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，

在塔底。和A,3(与塔底。同一水平面)处进行测量，在点A,3处测得塔顶C的

仰角分别为45。，30°,且A,3两点相距91m,由点。看A,3的张角为150。，则瑞

云塔的高度CD=m

c

15.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体

重的平均数为70kg,方差300,又已知甲、乙的队员人数之比为1：4,那么甲、乙两队

全部队员的方差为.

16.如图，在四面体A8CD中，E、F分别是A3、CO的中点，G、H分别是BC

和AO上的动点，且E”与GF相交于点K.下列判断中：

①直线经过点K；②S.EFC=S.EFH；③E、F、G、H四点共面，且该平面把

四面体ABCD的体积分为相等的两部分.所有正确的序号为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，已知复平面内平行四边形ABC。中，点A对应的复数为一1,而对应的复

数为2+2/,BC对应的复数为4-4/.

D

试卷第4页，总6页

（1）求。点对应的复数；

（2）求平行四边形ABCQ的面积.

18.已知函数/(x)=(2cos2x-lain2x+gcos4x.

⑴求了0；

（2）求“X）的最小正周期:

（3）求/（x）在区间0,?上的最大值.

\4）

19.己知A为AMC的内角，。为坐标原点，复数z=cosA+isinA（i为虚数单位）,

且满足|z-l|=l.

⑴求1一z+z?；

7[

（2）复数z对应的向量02绕。逆时针旋转不得到而，。才对应的复数为z'，求

z,z'.

20.已知点O,A,B,C的坐标分别为（0,0）,（1,-2）,（-3,4）,（2,1）.

（1）若（砺+f砺）"!■/,求实数f的值；

（2）是否存在实数r,使得丽+/丽=能成立?解释你所得结论的几何意义.

21.为了回馈消费者，某商场准备在假期举行优惠活动，据统计，消费者在该商场的消

费金额都不超过800元，活动策划人员准备了两种优惠方案.

方案一：消费金额满300元减50元，满600元减120元，只取最高优惠，不重复减免；

方案二：消费金额满400元享受8折优惠.

活动策划人员从电脑中存储的最近的消费记录中随机抽取了100位消费者的消费金额

（单位：元），整理得到如下频数分布表：

消费金

(0,100)[100,200)[2(X),300)[3(X),400)[400,500)[500,6(X))[600,700)[70

额（元）

频数814222012108

（1）分别估计两种方案下消费者参与优惠活动的概率：

（2）在消费金额的频数分布表中取每组中间值作为代表，从全部消费者享受的优惠平

均值角度分析哪种方案的优惠力度更大.

22.棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视

为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章

算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥(阳马)、直三角锥(鳖腌)的体

积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运

用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，

正三棱锥S-ABC中，三条侧棱“，SB,SC两两垂直，侧棱长是3,底面ABC内一

点P到侧面的距离分别为x,y,z.

(1)求证：x+y+z=3；

111c

(2)若一+—+—=3,试确定点P在底面ABC内的位置。

xyz

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2021—2022学年度高二开学分班考试（四）

数学.全解全析

1.B

【详解】

--11-i1-i1

因为Z1=l+i,Z],Z2=1，所以Z2=：；~~~=~7i~忑；一~=>所以其虚部为—.

15I21+1(1+1)(1-1)22

故选：B.

2.A

【详解】

原式=」>2tan「=_Ltan30=—

21-tan215026

故选：A.

3.C

【详解】

由题意知,

2sin150cos150=sin30°.

2

故选：c

4.C

【详解】

因为A:3:C=1:1:4,故A=3=2,。=也，

由正弦定理可得a/：c=sinA:sin8:sinC=LL虫•=1:1:G.

222

故选：C.

5.D

【详解】

因为网==3,国=|AC|=2,3网=1|Xc|3

2

设福;=g而，藕=［正，则|函卜|福（

__I__3______.___

又4方=5A与+jxe=AB；+AC；,

4。在NB4C的角平分线上，

由于三角形中|A3|H|AC|,

故三角形的BC边上的中线，高线，中垂线都不与NB4C的角平分线重合，

故AO经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，

故选D.

6.C

【详解】

对于A：若=可得I、5的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；

对于B：若向量而、cb满足I丽|>|c/51,且而与c力同向，由于两个向量不能比

较大小，故B错误；

对于C：若3工5,则万与5可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；

对于D：若非零向量而与丽平行，则A、B、C、。四点共线或平行四边形的四个顶点，

故D错误.

故选：C.

7.B

【详解】

设事件A为：检测了3个人确定为"感染高危户"；事件B为：检测了4个人确定为"感染高

危户”；

.•.P(A)=P(1-p)2,P(8)=p(l-p)3

即/(〃)=〃(1-〃)2+〃(1-〃)3=〃(1-〃)2(2-〃)，

设尤=1-。>0,则g(x)=(l-x)(l+x)f,

g(x)=(l—x)(l+x)f=(-2.2=；

当且仅当1一犬=/，即x时取等号，

2

试卷第8页，总13页

即P=Po=1一曰

故选：B

8.B

【详解】

解：过点A作A\N*CN且AM=CN,连接MN-则NK4,M为直线4M与直线CN所

成角，即过点用作垂足为点则由题意易知为的

NM41M=a.MG_LgG，G,G8cl

中点，连接AM,GNi，因为AC=M=2,所以4乂=6，%G=6易知

NG4,M=60。，所以GN|=g,又正三棱柱-中，MG工GN「所以

、2阴2于是

MN=y/MG+GN^=J%2=2,AtM=+GM=2，

22+(V3)2-22&a

cosacosAMA.N.=——~4=—=—'故tana'-7-.

''2x2x7343

取5c的中点。，连接A。，4Q,因为三棱柱ABC-A4G是正三棱柱，且AC=A4,,

所以易知N4QA即为二面角4一8。一4的平面角，即N4QA=p.在正AABC中,

AQ=G，则tan4=tanNA,Q4=*=2f.因为12110=率〉竿=1211/7，且正

切函数在上单调递增，所以£〉夕，且tanawtan24,

B

9.ABC

【详解】

A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；

B中，向量而与丽共线，只能说明而、前所在直线平行或在同一条直线上，所以B

中命题不正确；

C中，向量行与5共线，说明日与5方向相同或相反，a与5不一定相等，所以C中命

题不正确；

。中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以而与丽是相反向量，所以|而|■诟

所以。中命题正确.

故选:ABC

10.AC

【详解】

23

解：y=sinx-V3sin(^--x)sinX+—7T

2

l-cos2x/r.

------------FV3sinxcosx

2

1-cos2xV3.3

------------1-----sinLX

22

=sin12X一看1

+2f

二将曲线y上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向下平移3个单

71

位，得到g(x)=sinX------

2万2zr7i

则=sin故正确;

g~~~61,A

n”5万一团.71-11

由xe[0,4],得x-—，可得sinx---e故B不正确;

666k6;2'，

由g(。0)对称，故c正确;

=0,可得g(x)的图象关于点

试卷第10页，总13页

对于0,由y=cosx+!=sin[x+]的图象向右平移V个单位长度，

212)23

得到y=sin(x+£—V|+!=sin[的图象，故D不正确.

\23y2I672

故选：AC.

11.ABC

【详解】

对选项A,2至3月份的收入的变化率处型=一20

3-2

与口至12月份的收入的变化率竺二四=一20,故A正确;

12-11

对选项B,支出最高为2月支出60万元，支出最低为5月支出10万元,

比值为6:1,故B正确.

对选项C,第三季度平均收入为40+：+6°=50万元,故c正确；

对选项D,由图知：利润最高为3月份和10月份，利润为30万元.

故选:ABC

12.ABD

【详解】

连接AC,3。，正方形A8CO中，ACA.BD,

又8片，平面ABC。，ACu平面ABC。，所以(下面要用到正方体的棱与

相应面上的直线垂直就不再证明了，方法相同).

BBqBD=B,8g,3。匚平面84。£>,所以4。，平面8月2。，gOu平面88a£),

所以AC_Lg。，同理

ACr\CD,=C,4C,C。u平面C2A,所以40_L平面COM，CQu平面CRA,所

以gDLCQ,A正确；

正方体中A。"/平面BCGg,因此。到平面BCGg的距离不变，即三棱锥Q—8旦。的

高不变，又面积不变，所以三棱锥。一8gC即三棱锥B—gCQ的体积不变，B正

确.

连接AQ，GQ，因为8c〃4G，所以NQgC1(或其补角)是异面直线4Q与6c的所成

的角.

设正方体ABC。—AAG。的棱长为。，设DiQ=kD[A=®a,

则在4弓AQ中，AQ=收+(y/2ka)2-2ax®acos(=d2kFk+la,

由A4_LA。,CR1D,Q,得gQ=加+(2公一2女+向=^2k2-2k+2a，

£Q=7«2+(V2A«)2=yl2k2+la,

人D”＞一.(2公一2%+2)。2+。2一(2/+1)/1-k

△4QG中，cosZQB[C,=---------,—---------=/——•一,

2ayJ2k2-2k+2xayl2k2-2k+2

%=1时，cosNQ51G=0，

人[0,1)时,设f=l-左w(0,l],

cosZ.QB.C,=-7t_,=]t-------=.；---=一,1

-=1,即％=0时，cosNQ31G取得最大值立，

t2

TT

所以。与4重合时，NQ4£取得最小值一，c错误；

4

因为平面BCC4//平面AORA,所以直线B.Q与平面BCC,B,所成的角等于直线与。

与平面AORA所成的角，由上讨论知NB|Q4就是直线B,Q与平面ADD^所成的角，

tanZ.AQB.=,。=/1=—,1

△AQQ中，sjlk2-2k+\aJ2k2-2k+lL,k1，

0k-52)+2

所以A:=g时，tan/AQg取得最大值，而N^Q片为锐角，/4。片最大，此时。是A2

中点.D正确.

试卷第12页，总13页

故选：ABD.

1

13.一

2

【详解】

sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin300=-.

2

故答案为：—.

2

14.13V7

【详解】

设CD=/l米，•••在点A8处测得塔顶C的仰角分别为45。，30。，

BD=AD—h,

在△ABO中，由余弦定理，得

AB2=5£>2+A£)2-2j8r>A£>cosl50o=>912=7/z2=>/i=13>/7.

故答案为：13近

15.296

【详解】

解：甲、乙两队全部队员体重的平均数为

—14

=-x60+-x70=68,

%55

所以甲、乙两队全部队员的方差为

9124,n2,

=_X[2OO+(60-68)]+-x[300+(70-68)]=296,

故答案为：296

16.①③

【详解】

①项，因为EHcFG=K,所以KGEH，且平面回，

.•.Ke平面ABD

同理可得，Ke平面88；

又因为平面ABDc平面BC0=8D,所以KGBD,

所以E”，BD，EG三条直线相交于同一点.故①正确.

②项，Sv*%为定值，H为A。上的动点，又因为A。与E尸为异面直线,

所以H到EF的距离是变化的，所以S.EFH是变化的，故②不正确.

③项，当K与。重合时，，与D重合，G与C重合，如图(1)所示

此时平面EGFH即为平面ECD,

因为E为A8中点，所以平面ECD把四面体分成体积相等的两部分.

图(1)

当K远离D时，平面EGFH使两部分体积发生了变化,

一部分在三棱锥A-ECD的基础上，

多出了一个三棱锥E-GCF的体积，如图2所示，

少了一个三棱锥E-FDH的体积，如图3所示，

试卷第14页，总13页

A

过点。做。M//A&ON//BC,分别交EK,GK于点M,N,

连接MN,如图4所示

CGDNDK

DN!IBC,~BG~~BG~~BK

DHCGDHCG

-h

~AD"BC'

^E-GCF，-I'VE-HDF=VH-EFD=W8c0

-V=v

…vE-GCFVE-HDF

所以无论E、F、GH如何变化，平面把四面体ABC。的体积分为相等的两部分，(3)

正确.

故答案为：①③

17.(1)3-4/；(2)16.

【详解】

解：(1)依题点A对应的复数为-1，通对应的复数为2+2/,

得4-1，0),AB=(2,2),可得8(1,2).

又就对应的复数为4-4，，得就=(4,-4),可得C(5,-2).

设。点对应的复数为x+yj,x,y&R.

得前=(x-5,y+2),丽=(-2,-2).

：A8CD为平行四边形，，丽=函，解得x=3,y=-4,

故。点对应的复数为3-4i.

⑵AB=(2,2),而=(4,-4),

可得：ABBC=O>•••AB±BC

画=2&,用=40

故平行四边形A8CD的面积为2>/^4也=16

18.(1)--；(2)—；(3)—.

222

【详解】

/(x)=(2cos?x-1)sin2x+gcos4x

(1)

=cos2xsin2x+—cos4x=—sin4x+—cos4x

222

(2)/(x)的最小正周期T=子=3

nH5TT

(3)0c<X<—n:.—<4x+—<—

4444

当41+工=工时，即x=2时，sin(4x+f］的最大值是1,

4216I4)

19.(1)0；(2)-1.

试卷第16页，总13页

【详解】

(1)z=cosA+isinA,|z-11=^/(cosA-l)24-sin2A=\/2-2cosA，因为|z-l|=l,

所以，2-2cosA=1,所以cosA=g,又因为角A为ziABC的一个内角，所以A=g"，

..61>/3.i21(1G[f1n

sinA=—，所以z=—i-----i•所以1+z+z=1——i------+—I-------i=0・

222(22j(22j

(2)因为z='+且i，由复数的几何意义，求复数z对应的向量02逆时针旋转工得到

223

0Z=一岁)，则。N对应的复数为z'=-；+咚4，

E.flV3,V16],

则z-z=g+旬[-万+旬=-1.

20.(1)I；(2)不存在，向量急与而不平行.

【详解】

(1)因为砺+f丽=(1,-2)+f(-3,4)=(1-3f,-2+4r),

Xc=(2,1)-(1-2)=(1,3),[OA+tOB]VAC,

所以(砺+f砺)•/=(l-3/)+(—2+4r)x3=0,所以r=g.

(2)设存在实数3使得况+/砺=反，则(1,-2)+1-3,4)=(2,1),

所以(一3/,旬=(2,1)-(1,-2)=(1,3),

f-3r=1

从而V,c,此方程组无解，

故不存在这样的实数t