2020-2021学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）（附答案详解）

2020.2021学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高二（下）期中

数学试卷（理科）

1.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，

为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高

一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调

查应采用的抽样方法是（）

A.①用简单随机抽样法②用系统抽样法B.①用系统抽样法②用分层抽样法

C.①用分层抽样法②用简单随机抽样法D.①用分层抽样法②用系统抽样法

2.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩

进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为（）

A.24B.25C.26D.28

3.一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1,

中二等奖的概率为0.32,中鼓励奖的概率为0.42,则不中奖的概率为（）

A.0.16B,0.12C.0.18D.0.58

4.素数也称为质数，挛生素数也称为挛生质数，是指一对素数，它们之间相差2.例如3和5,

5和7,71和73都是李生素数.在小于20的正奇数中随机取两个数，则取到的两个数是挛生

素数的概率是（）

1224

c

A.9-D.

459545

15

/

5.已知随机变量X服从二项分布X〜B（n,p）,1-V

1134

--C-D-

A.4345

6.有5位同学排成一排照相，其中甲不能在首位，乙和丙必须相邻，则有种排队方法.（）

A.42B.48C.36D.28

7.某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6,根据分层抽样方法,

调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村

住户中无冰箱的总户数约为（）

城市农村

有冰箱356（户）440（户）

无冰箱44（户）160（户）

A.1.6万户B.4.4万户C.1.76万户D.0.24万户

8.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有。（）

A.36个B.48个C.66个D.72个

9.设随机变量X等可能地取值1,2,3,…，10,又设随机变量Y=2X-1,则P（Y<6）的

值为（）

A.0.3B.0.5C.0.1D,0.2

10.某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态

分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）

A.甲学科总体的方差最小

B.丙学科总体的均值最小

C.乙学科总体的方差及均值都居中

D.甲、乙、丙的总体的均值不相同

11.如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，

现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色,

相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（）

A.24种B.72种C.84种D.120种

12.某公园有尸，Q,R三只小船，尸船最多可乘3人，。船最多可乘2人，R船只能乘1人,

现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同

的乘船方法为（）

A.36种B.18种C.27种D.24种

13.把某校高三.5班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得

ffl7

分情况绘制成茎叶图（如图），由此判断甲的平均分_____乙的平均___|___一

分.（填：>,=或<）

50837

9419248

21()4

0

14.明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日

之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一

年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋

收冬藏，一年不过如此”.如图是来氏太极图，其大圆半径为

6,大圆内部的同心小圆半径为2,两圆之间的图案是对称的,

若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为

15.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是.

16.如图所示，在排成4x4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，.

其余12个点在圆外.从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至.

少有一个顶点在圆内的三角形共有个.

17.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合

格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.己知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平

均数都为10.

甲组乙组

870n9

m201012

(1)分别求出m,n的值；

(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S懦和S；,并由此分析两

组技工的加工水平；

(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若

两人加工的合格零件数之和大于17,则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概

率.

18.已知(2%+专产展开式中前三项的二项式系数和为16.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中含/的项的系数.

19.现有一堆颜色不同，形状一样的小球放入两个袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色

小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球.

(1)分别从甲乙两袋中各取一个小球(相互无影响)，求两个小球颜色不同的概率；

(2)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率；

(3)将两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X,求X的分布列.

20.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示

.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(回)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50

个的概率；

(国)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)

及方差D(X).

21.“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间，大量违

法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，y表示第x天主

动投案的人数，得到统计表格如下：

X1234567

y3455567

(1)若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性

回归方程y=bx+a：

(2)判定变量尤与y之间是正相关还是负相关.(写出正确答案，不用说明理由)

(3)预测第八天的主动投案的人数(按四舍五入取到整数).

卜=X仁1(2-或)仇-歹)_^Xjy-nxy

参考公式:=1a=y—bx.

一珞1(须-耳2—孤*_寂2，

22.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得

如图频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值［和样本方差52(同一组的数据用该组区间的中点

值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(〃,C2),其中“近似为样本平均

数，d近似为样本方差s2

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间

(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果，求EX

附：V6x2.44,若z〜n(ji,(r2'),则p(〃—a<Z<n+a)=0.6826,p(ji—2cr<Z<〃+2a)=

0.9544.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：对于①，•••社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差

别明显，;要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；

对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法

故选：C.

调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显；由于样本

容量不大，且抽取的人数较少，故可得结论.

本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多

时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样.

2.【答案】B

【解析】解：先从5008名学生中利用随机抽样的方法抽掉8人，

则每组的容量为瑞=25人，

故选：B.

先从5008名学生中利用随机抽样的方法抽掉8人，进而可以求解.

本题考查了系统抽样，考查了学生的理解能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率，考查运算求解能力，属于基础题.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

【解答】

解：一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，

其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32,中鼓励奖的概率为0.42,

则不中奖的概率为P=1-0.1-0.32-0.42=0.16.

故选：A.

4.【答案】D

【解析】解：小于20的正奇数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,共10个，从中任取2

个，有@0=45中取法,

其中属于挛生素数的组合为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4个，

所以所求的概率为P=2

故选：D.

小于20的正奇数共有10个，其中属于学生素数的组合为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4

个，再结合古典概型与组合数，即可得解.

本题考查古典概型与组合数的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：随机变量X服从二项分布X~B(n,p),E(X)="，D(X)=3

可得冲=pnp(l_p)=、,

41O

可得1一p=*

解得p=/

故选：A.

利用已知条件列出方程求解p即可.

本题考查二项分布的期望与方程的求法，是基础题.

6.【答案】C

【解析】解：乙和丙必须相邻，看作一个元素，有5位同学排成一排照相，看作有4位同学排成

一排照相，

甲不能在首位，乙和丙必须相邻，排队方法：Cl-Aj-Aj=36.

故选：C.

利用捆绑法，结合特殊位置优先考虑，求解即可.

本题考查排列组合的应用，捆绑法以及特殊位置优先安排的方法，是中档题.

7.【答案】A

【解析】解：••・在1000户住户中，农村住户无有冰箱的有160户，

・•・在所有居民中农村五冰箱的住户所占的比例是就

••・由分层抽样按比例抽取可得箫X100000=16000.

故选A

先做出在抽查的1000户住户中，农村住户且没有冰箱的住户所占的比例，用这个地区10万户居

民，乘以做出的农村没有冰箱的所占的比例，得到结果.

本题考查分层抽样，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，

每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是包含数字0的排数问题，要分类来解，末位是奇数，

并且。还不能排在首位，在分类时要做到不重不漏，本题是一个中档题.

数字0不能排在首位，末位是1、3,按照四位数与五位数分别求解.

【解答】

解：在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，不能在首位，

末位是奇数，有1、3两种情况，

如果组成一个四位奇数，则不含0的情况有6弟=12种，

含有0的情况有d或6膨=24种，

如果组成一个五位奇数，则有6废a=36种，

根据分类计数原理知共有12+24+36=72种结果，

故选：D.

9【答案】A

【解析】解：•••随机变量X等可能地取值1,2,3,…，10,又设随机变量y=2X-1,

•••P(X=i)=专,i=1,2,3,…，10,

•••P(Y<6)=P(Y=1)+P(Y=3)+P(Y=5)

=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

111

=io+io+To

=0.3.

故选：A.

由已知得p(x=。i=i,2,3,io,由此利用p(y<6)=p(y=i)+p(y=3)+p(y=

5)=P(X=1)+P(X=2)4-P(X=3)能求出结果.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列及概率计算

公式的合理运用.

10.【答案】A

【解析】解：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，

可知。越大，正态曲线越扁平，b越小，正态曲线越尖陡，

故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.

故选：A.

根据正态曲线的特征进行判断，从图中看出，正态曲线的对称轴相同，最大值不同，从而得出平

均数和标准差的大小关系，结合甲、乙、丙的总体即可选项.

本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的能力，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】解：设四个直角三角形顺次为4、B、C、D.按4-B-CtD顺序着色，下面分两种情

况：

(1)4、C不同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，所以。可以从剩余

的2中颜色中任意取一色)：有4x3x2x2=48种；

(2)4、C同色(注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，所以。可以从剩余的3

中颜色中任意取一色)：有4x3xlx3=36种.

共有84种

故选：C.

每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，用字母A、B、C、。等注明，然后分类研究，A、

C不同色；A、C同色两大类.

区域涂色、种植花草作物是一类题目.分类要全要细.

12.【答案】C

【解析】解：分4种情况讨论，

①，户船乘1个大人和2个小孩共3人，。船乘1个大人，R船乘1个大1人，有题=6种情况,

②,P船乘1个大人和1个小孩共2人,。船乘1个大人和1个小孩,R船乘1个大1人，有国x掰=12

种情况，

③，尸船乘2个大人和1个小孩共3人，。船乘1个大人和1个小孩，有废X2=6种情况，

④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有戏=3种情况，

则共有6+12+6+3=27种乘船方法，

故选C.

根据题意，分4种情况讨论，①，尸船乘1个大人和2个小孩共3人，。船乘1个大人，R船乘1

个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，。船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1

人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，。船乘1个大人和1个小孩，④，尸船乘1个大人和

2个小孩共3人，。船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可

得答案.

本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排

列、组合公式.

13.【答案】＜

【解析】解：由茎叶图可知，

:甲的成绩平均分是（79+85+80+99+94+91+102）+7=90,

乙的成绩平均分是（83+87+92+94+98+104+110）+7=94,

・••乙的平均成绩高，

故答案为：＜.

根据题目给出的茎叶图得到甲和乙的两组数据，利用平均数的做法，做出两组数据的平均数，得

到结果，本题也可以直接从茎叶图的数据排列上看出结果.

本题考查读茎叶图，平均数是初中和高中的交叉的知识点，是初中学过的，但高中学习的期望和

它关系非常密切，这种题目做起来不容易犯错误.

14.【答案

【解析】解：设大圆的面积为S1，小圆的面积为$2，

则Si=36兀，S2=4"，

「•黑色区域的面积为"（Si—52）=16TI,

二点落在白色区域的概率为1一罂

367r9

故答案为：

先求出大圆面积S1，小圆面积52,进而求出黑色区域的面积，再利用几何概型的概率公式，即可

求出概率.

本题主要考查了几何概型的概率的计算，考查了分析问题和解答问题的能力，是基础题.

15.【答案】；

【解析】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的情况有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、

反），共4种情况；

出现两个正面朝上即（正、正）有一种情况，

则出现两个正面朝上的概率是:；

故答案为"

根据题意，列举同时抛掷两枚质地均匀的硬币出现的情况，可得其情况数目以及出现两个正面朝

上数目，由等可能事件的概率，计算可得答案.

本题考查等可能事件的概率计算，是简单题，用列举法解答即可.

16.【答案】312

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，属于中档题.

根据题意，按圆内取出的点的数目分3种情况讨论：①、取出的3个点都在圆内的情况，②、在

圆内取2点，圆外点中取1点的情况，③、在圆内取1点，圆外点中取2点的情况，分别求出每

一种情况的取法数目，由分类加法计数原理计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，分3种情况讨论：

①、取出的3个点都在圆内，有废=4种取法，即有4种取法；

②、在圆内取2点，圆外12点中需先排除与圆内点成一条直线的2个点，再从剩余的10个点中

取1点，有盘盘0=60种，即有60种取法；

③、在圆内取1点，圆外12点中取2点(需排除圆外2个点与圆内点成一条直线的情况)，有CMC5-

4)=248种,即有248种取法，

则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，

故答案为:312.

17.【答案】解：(/)由题意可得。=*7+8+10+12+10+m)=10,解得m=3.

再由x乙=g(n+9+10+11+12)=10,解得n=8.

(回)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，

=1[(7-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2]=5.2,

S；=&[(8-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=2,

并由。=口，S^>S"可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些.

(团)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，

设两人加工的合格零件数分别为(a,b),

则所有的(a,b)有(7,8)、(7,9)、(7,10)、(7,11)、(7,12)、(8,8)、(8,9)、(8,10)、(8,11)、(8,12)、

(10,8)、(10,9)、(10,10)、(10,11)、(10,12)、

(12,8)、(12,9)、(12,10),(12,11)、(12,12)、(13,8)、(13,9)、(13,10)、(13,11)、(13,12),共计

25个，

而满足a+bW17的基本事件有(7,8)、(7,9)、(7,10)、(8,8)、(8,9),共计5个基本事件,

故满足a+b>17的基本事件个数为25-5=20,即该车间“待整改”的基本事件有20个，

故该车间“待整改”的概率为=*

【解析】（团）由题意根据平均数的计算公式分别求出相，〃的值.

（回）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差再根据它们的平均

值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些.

（团）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即

可求得该车间“待整改”的概率.

本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的

事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题.

18.【答案】解：（1）•••展开式中前三项的二项式系数和为16,

・・・第+&+鬃=16,

即1+九+吗立=16,

即2+2n+n2—n=32,即n?+n—30=0,得n=5或九=—6（舍）.

即n=5.

（2）展开式的通项公式底+1=窗2切5-气哥=。缪七5f奇

由5—k—2=2得竽=3,得k=2,

则/的项的系数为程23=8x10=80.

【解析】本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式是解决本题的关键，属于中档

题.

（1）根据条件建立方程求出n的值；

（2）求出展开式的通项公式，令x的次数为2进行计算即可.

19.【答案】解：（1）设事件A为“从甲袋中取出红球”，事件B为“从乙袋中红球”,事件C为

“两球颜色不同”，

则p（a）4P（B）=$

••・两个小球颜色不同的概率P（C）=p（a）p（5）+PQ）P（B）

（2）设事件。为“取出白球”，事件％为“取到甲袋”，事件E2为“取到乙袋”，

则P（E1）=P（E2）=；,P（D|E1）=S，P（D|F2）=1,

二取出为白球的概率为：

P(D)=P(E1)P(O|E1)+P(E2)P(D|&)

141355

=2X9+2X7=126-

(3)合为一袋后有9个红球和7个白球，则X的可能取值为0,1,2,3,

03

rr1P(X=1)=2_27

P(X==0)=竽=,=80T

C1616C16

9C9C73

P(X==2)=/=P(X=3)—_-_——~—.

C1620,一脸一20

X的分布歹U为:

X0123

12793

P

16802020

【解析】(1)设事件A为“从甲袋中取出红球”，事件B为“从乙袋中红球”，事件C为“两球

颜色不同"，求出PQ4),P(B),再根据相互独立事件的概率公式能求出两个小球颜色不同的概率；

(2)设事件。为“取出白球”，事件均为“取到甲袋”，事件E2为“取到乙袋”，根据条件概率及

相互独立事件的概率公式计算能求出取出为白球的概率；

(3)依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,求出所对应的概率，列出分布列即可.

本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、条件概率、全概率公式、超几何

分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(团)设&表示事件“日销售量不低于100个”，4表示事件“日销售量低于50

个”

8表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于

50个”，

因此P(&)=(0.006+0.004+0.002)x50=0.6,

P(Z12)=0.003x50=0.15,

P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108；

(团)X可能取的值为0,I,2,3,X〜B(3,0.6),

相应的概率为：

P(X=0)=C式1-0.6)3=0.064,

P(X=1)=废0.6(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=废0.62(1_06)=0.432,

P(X=3)=屐0.63=0.216,

随机变量X的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为X〜B(3,0.6),

所以期望E(X)=3x0.6=1.8,

方差。(X)=3x0.6x(1-0.6)=0.72.

【解析】本题考查频率分布直方图、离散型