江苏省无锡市南长实验中学高二数学文联考试题含解析

江苏省无锡市南长实验中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（

）．A.0

B.2

C.4

D.1参考答案：A2.已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第70个数对是（）A．（5，8） B．（4，10） C．（8，4） D．（4，9）参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第70对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个…（1，n），（2，n﹣1），（3，n﹣2），…（n，1），两数的和为n+1，共n个∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，∴第70对数是两个数的和为13的数对中，对应的数对为（1，12），（2，11），（3，10），（4，9）…（12，1），则第70对数为（4，9），故选：D3.以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．4.是虚数单位，=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.函数定义域是（

）A. B.且C. D.参考答案：B【分析】根据定义域的基本要求得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：

且函数的定义域为：且本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，属于基础题.6.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为A．或5

B.

或5

C.

D.参考答案：C8.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的值为（

）A．

B．

C．2

D．4参考答案：D9.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则

的值为（

）

A

B

C

D参考答案：A10.如图是导函数的图象，则下列命题错误的是（）A.导函数在处有极小值

B.导函数在处有极大值C.函数在处有极小值D.函数在处有极小值参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知菱形的边长4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为

。参考答案：12.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，若在四棱锥P-ABCD的内部有一个半径为R的球，则R的最大值为______参考答案：【分析】求出棱锥的表面积与体积，根据，即可求出内切球的半径，得到答案．【详解】由题意可知，，且平面，平面，所以四棱锥四个侧面均为直角三角形，所以四棱锥的表面积，四棱锥的体积为，当最大时，球与棱锥的5个面均相切，球心到每个面的距离均为，于是，即，解得．【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征，以及棱锥的表面积公式和体积公式的应用，其中解答熟练应用几何体的结构特征，合理利用棱锥的表面积公式和体积公式，列出方程是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．13.已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线.给出以下四个论断：（1）；（2）；（3）；（4）.以以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________.参考答案：略14.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：1215.一个工厂有若干车间，现采用分层抽样的方法从全厂某天的2000件产品中抽取一个容量为200的样本进行质量检查．已知某车间这一天生产250件产品，则从该车间抽取的产品件数为

▲

．参考答案：25略16.已知定义在R上的函数满足：且,,则方程在区间上的所有实根之和为________参考答案：略17.在平面直角坐标系中,二元一次方程(不同时为)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系中,三元一次方程(不同时为)表示

.参考答案：过原点的平面；略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某公司的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需要另外投入1.9万元，设R(x)（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，知R(x)＝，其中x是年产量（单位：千件）.

（1）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？参考答案：解：（1）W＝.（2）当0<x<10时，＝8.1－0.1x2，令＝0，解得：x＝9或x＝－9（舍去），比较W（0），W（9），W（10）得W（9）最大；当x>10时，函数是减函数，∴当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大，最大利润为38.6万元.

略19.参考答案：解：当p为真命题时，∵函数是R上的减函数略20.某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示年份2007+x（年）01234人口数y（十万）5781119

（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：．参考答案：（1）；（1）约为196万【分析】（1）先求出年份2007+x和人口数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，得到线性回归方程；（2）当代入回归直线方程，即可求得．【详解】解：（1），，，，故y关于x的线性回归方程为；（2）当时，，即据此估计2012年该城市人口总数约为196万【点睛】本题考查采用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．21.（2015?安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．参考答案：解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分专题;解三角形．分析;由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．解答;解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分点评;本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查22.（本小题满分12分）在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，⑴求证：平面ADE；⑵