2020-2021学年高二（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.（）分）

1.（2020.福建省.其他类型）若C塞=C$94,则x的值为（）

A.4B.7C.4或7D.不存在

2.（2021•江苏省镇江市・期中考试）已知函数y=f（x）满足/（%（））=10,当△x-0时，

△X-（）

A.20B.-20C./D.一表

3.（2020.安徽省合肥市・期中考试）下列求导运算正确的是（）

A.（3%）'=%•3"TB.（%3y=/m3

C.（xcosx）/=cosx+xsinxD.（等）'=:丁

4.（2020•宁夏回族自治区石嘴山市・期中考试）有10件产品，其中3件是次品，从中任

取2件，若X表示取得次品的个数，则P（XV2）=（）

A藤B.JC境D.1

5.（2021•江苏省镇江市•期中考试）（2x+&）4=ao+aix+a2x2+a3%3+a4x4，则

（do++a4）2~（01+。3）2的值为（）

A.16B.32C.64D.128

6.（2021•江苏省镇江市・期中考试）已知〃?，“表示两条不同直线，a,£表示两个不同平

面，下列说法正确的为（）

A.若m〃a,mln,则n1aB,若m〃a,a10,则m〃0

C.若m〃a,n1a,则nt1nD.若m//a,m〃。，则a〃6

7.（2021•江苏省镇江市・期中考试）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、

羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相

同”，事件8为“只有甲同学选羽毛球”，则PQ4|B）=（）

A.IB.IC.fD.I

9489

8.（2021•山东省枣庄市•模拟题）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为

内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超

细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料

层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产

经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率

x〜N（0.9372,0.01392）,若x〜N（“,（T2）9>。），

则P（〃—2o<x<+2CT）=0.954.5,P（〃—3a<x<n+3。）=0.9973,

O.9772550x0.3164.有如下命题:

甲：P（x<0.9）<0.5；

乙：P（x<0.4）>P[x>1.5）；

丙：P（x>0.9789）=0.00135；

T：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2。的

数量，贝V21）=06其中假命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.（2021•江苏省镇江市・期中考试）某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答

竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制

成如图所示的折线图,根据该折线图，下面结论正确的是（）

第

凯

Mm第X

三

五

二

R六

法

次

次

次

次

次

A.甲从第二次到第三次成绩的上升速率要小于乙从第六次到第七次的上升速率

B.乙的成绩的极差为8

C.甲的成绩的中位数为7

D.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差

10.（2021•江苏省镇江市•期中考试）下列叙述正确的是（）

A.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强

B.在回归直线方程;=_o,2x+O.8中，当变量%每增加1个单位时，预报变量y

平均减少0.2个单位

C.若;=bx+a的斜率b>°，则变量X与y正相关

D.某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教

师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应抽取12名

第2页，共20页

11.（2021.江苏省镇江市・期中考试）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,他连续射

击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的

是（）

A.他第3次击中目标的概率是0.9

B.他恰好击中目标3次的概率是0.93x0.1

C.他至少击中目标1次的概率是1-0.14

D.他恰好有连续2次击中目标的概率为3x0.93x0.1

12.（2021.江苏省镇江市・期中考试）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。为矩形，

侧面PCD1平面ABCD,BC=2百，CD=PC=PD=2n，若点M为PC的中点，

E为AB中点,则下列说法正确的是（）

A.BM，平面PCD

B.P4〃平面MBD

C.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为367r

D.过E点作四棱锥M-4BC0外接球的截面，截面面积最小值为67r

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（2020•江苏省无锡市•单元测试）从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，

放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率

为.

14.（2021•江苏省镇江市•期中考试）过原点作函数y=e2x的切线，则切线方程为

15.（2021•江苏省镇江市・期中考试）2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全

市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲

线p（x）=高e-与誓非常拟合.已知P（x）1nax=P（95）=岛，则方差为.据

此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设X表示10名同学中英语成绩超过95

分的人数，X的数学期望是.

16.（2021♦江苏省镇江市•期中考试）习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察

时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略,

为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家(4男2女)分成

两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4

人，则不同的选派方案共有种.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(2021•江苏省镇江市・期中考试)已知函数f(x)=x3-3x4-1.

(1)求曲线y=在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求f(x)在［-2,2］上的极值.

18.(202卜江苏省镇江市・期中考试)已知(2/一》气般G7*)的展开式中所有的二项式系

数和为128.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求(2x+2)(2合一展开式中的常数项.

19.(2021•江苏省镇江市•期中考试)山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功

效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，

因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现将某水果经销商近一周

内山竹的销售情况统计如表所示：

第4页，共20页

采购数量

%（单位：箱[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)[300,320]

）

采购人数1001005020050

（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图，并估计样本的中位数，众数，平均数；

（每组数据以区间的中点值为代表）

（2）从采购数量在［240,280）之间的采购者中，用分层抽样的方法随机抽取9人，再

从这9人中随机抽取3人，求这3人不都来自同一组的概率.

20.（2021•重庆市市辖区•期中考试）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪

场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过

1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两

人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为：，31

小时以上且不超过2小时离开的概率分别为点|；两人滑雪时间都不会超过3小时.

（I）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（口）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量《•求f的分布列与数学期望E（f）.

21.(2021•江苏省镇江市・期中考试)如图，在四棱锥P-HBC。

中，PA_L平面ABCD,AD1CD,AD//BC,BC=3,PA=

AD=CD=2,E为尸。的中点，点F在尸C上，且霁=：.

(1)求证：CD1平面PAD；

(2)求二面角F—4E-P的余弦值:

(3)设点G在P8上，且第=；.判断直线AG是否在平面4所内，说明理由.

rD3

22.(2020•江苏省南京市•月考试卷)携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改

变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27

日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营

系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的

满意率为高服务水平的满意率为|,对业务水平和服务水平都满意的客户有180

人.

(I)完成2x2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人数

合计

第6页，共20页

(n)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求

改进意见，用x表示对业务水平不满意的人数，求x的分布列与期望；

(川)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项

都满意的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为34%,对两项都

不满意的客户流失率为85%,从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终

止时至少有2名客户流失的概率为多少？

附:

p(K2>fc)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

nx(ad-bc')2

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

答案和解析

1.【答案】C

【知识点】组合与组合数公式

【解析】

【分析】

本题考查了组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用组合数的计算公式及其性质即可得出.

【解答】

解：音=C常4,.・.2x=x+4或2x+x+4=25,

解得尤=4或7,

经过验证满足条件.

故选：C.

2.【答案】A

【知识点】导数的基本概念、导数的运算

【解析】解：根据题意，△?二o曲超丝匚3=2XA（/CW.三曰包）=,

△X2AX7k07

又由r（%o）=io,

则当△XT0时，32丝小包2=20,

△X

故选:A.

根据题意，分析可得△0f（&+2Ax）-f（x。）=2X△；咚0fg+2Ax）-"x。）=2f,Oco），即

△X2AXykuy

可得答案.

本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【知识点】导数的运算

【解析】解：（3*）'=3*•ln3,（x3）;=3x2,（xcosx\=cosx—xsinx,（§/=

故选：D.

根据基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式对每个选项函数求导即可.

本题考查了基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基

第8页，共20页

础题.

4.【答案】A

【知识点】古典概型的计算与应用

【解析】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个

数，

则P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)

=里+强=乙

C10C1015，

故选：A.

利用互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式直接求解.

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型概率计算公式等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】A

【知识点】二项式定理

4234

【解析】解：v(2x+V2)=劭+arx+a2x+a3x+a4x>则令尤=1,可得劭+%+

+。3+。4=(2+V2)4>

4

再令x--1,可得斯-+a2-a3+a4=(V2-2)，

22444

两式相乘,可得(％+a2+a4)-(%+a3)=(V2+2)•(夜-2)=(-2)=16，

故选：A.

分别令x=l、x=-l,可得2个等式，再把这2个等式相乘，可得结论.

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项

式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.

6.【答案】C

【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系

【解析】解：对于A,若mln,则兀〃a或nua或〃与a相交，相交也不一定

垂直，故A错误；

对于8,若m〃a,al/?,则或mu3或朋与£相交，故B错误；

对于C,若？n〃a,n1a,则mJ.n,故C正确；

对于£>,若m〃a,m//P，则a〃夕或a与0相交，故。错误.

故选：c.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空

间想象能力与思维能力，是基础题.

7.【答案】D

【知识点】条件概率

【解析】

【分析】推导出P(B)=$急P(AB)=g=会再由P(加8)=第，能求出结果.

本题考查概率的求法，考查古典概型和、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

【解答】

解：甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一

项进行活动，

记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，

则「。)=捺=急。(43)=2=言

''P⑻急9

故选：D.

8.【答案】D

【知识点】命题及其关系

【解析】解：根据题意知n=0.9372,。=0.0139..•.由正态分布曲线得：P(x<0.9)<

PQ40.9372)=0.5,.•.甲正确；

由正态分布曲线知：P(x<0.4)=P(x>2X0.9372-0.4)=P(x>1.4744)>

P(x>1.5),二乙正确;

•••<%<M+3a)=P(0.8955<x<0,9787)=0.9973,.•.由正态分布曲线知：

P(x>0.9787)==0.00135,.•.丙正确；

vP(x>M+2(T)=|(1-0.9545)=0.2275,

P(x<〃+2。)=1-0.2275=0.9775,

P(x>1)=1-P(x=0)=1-O.9772550«1-0.3164=0.6836,•••丁错误；

第10页，共20页

故选：D.

结合正态分布曲线的特点进行分析计算即可解决此题.

本题考查正态分布曲线、数形结合思想、数据分析能力和计算能力，属于容易题.

9.【答案】BC

【知识点】总体密度曲线、方差与标准差

【解析】解：由折线图可知，甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到

第七次的上升速率，故选项4错误；

将乙十次的成绩从小到大排列可知，成绩的最大值为10,最小值为2,故极差为10-2=

8,故选项B正确；

甲的成绩从小到大排列为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7,故选项

C正确；

由折线图可知，乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方

差，故选项。错误.

故选：BC.

利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问

题的关键，属于基础题.

10.【答案】BCD

【知识点】回归直线方程、命题及其关系、分层随机抽样、利用散点图判断两个变量的

相关关系

【解析】解：A,线性相关系数『的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，

线性相关性越弱，所以A不正确；

B,在回归直线方程J=_O,2Y+O.8中，当变量x每增加1个单位时，预报变量y平均

减少0.2个单位，所以B正确；

C,若;=bx+a的斜率b>0,则变量x与y正相关，满足回归直线的性质，所以C正

确；

Q，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成，男教师60名、女教师40名，

为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中利用分层抽样抽取20名调查，则男教师应

抽取12名.所以。正确.

故选：BCD.

由统计中数字特征可判断下列所给命题的真假.

本题考查统计的数字特征，及命题真假的判断，基本知识的考查，属于基础题.

11.【答案】AC

【知识点】相互独立事件同时发生的概率、"次独立重复试验与二项分布

【解析】解：对于A,某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,

.••他第3次击中目标的概率是0.9,故4正确；

对于B,他恰好击中目标3次的概率是：C：x0.93x0.1,故B错误；

对于C,他至少击中目标1次的对立事件为：他一次都没有击中，

他至少击中目标1次的概率是1-0.13故C正确；

对于。，他恰好有连续2次击中目标的概率为2x0.92x0.1+0.92X0.M,故。错误.

故选：AC.

运用独立性事件发生的概率公式和对立事件的概率，运用排除法和分类讨论方法，可得

所求结论.

本题考查命题的真假判断，主要是独立性事件发生的概率求法，考查运算能力，属于基

础题.

12.【答案】BC

【知识点】球的表面积和体积、命题及其关系

【解析】解：如图所示：

AB

由题意知：侧面PC。1平面ABC。,

交线为CD,

底面48C。为矩形，所以BC1CD,

则BC，平面PCD,

第12页，共20页

过点B只能做一条直线与已知平面垂直，故4错误；

连接AC,交BD于点、0,

连接M0,

在APAC中，OM//PA,

MOu平面MBD中，PA，平面MBD中，

所以P4〃平面M8Z）；故B正确：

由题意知：四棱锥M-4BCD的体积为四棱锥体P-ABCD的体积的一半，

取C£）的中点N,连接PN,所以PNLCD,

则PN1平面ABCD,

所以UM-ABCD=|x|x2V3x2V6x3V2=12,故。错误；

在矩形A8CD中，易得AC=6,0C=3,ON=V3.

在APCD中，MN=|PC=V6,

在Rt△MN。中，MO=>JON24-MN2=3，

所以OM=0A=OB=OC=OD,

所以点。为四棱锥体M-ABC。的外接球的球心，

半径为3,故体积为36兀，故C正确；

故选：BC.

直接利用线面垂直的判定和性质的应用，锥体的体积公式的应用判断A、B、C、。的结

论.

本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，锥体的体积公式，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

13.【答案】|

【知识点】古典概型的计算与应用

【解析】

【分析】

本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题.

利用用分步计数原理可得全部情况个数16种；再根据古典概型可计算.

【解答】

解：抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数

考虑第一次抽到的数为4,则有3种情况满足题意；

第一次抽到的数为3,则有2种情况满足题意：

第一次抽到的数为2,则有1种情况满足题意；

满足题意的情况个数为：1+2+3=6；

全部情况个数：4X4=16种；

所以：2=2=：；

loO

故答案为P=］；

O

14.【答案】2ex-y=0

【知识点】导数的几何意义

【解析】解：y'=2e2x,原点不在曲线上，原点不是切点时，设切点为(m,e2m),

则切线的斜率为2e2m,

切线方程为y—e2m-2e2m(x—m),

而切线过(0,0),可得-e2m=2e2m(—m),

解得m=I，

;切点为G，e),斜率为2e,所求的切线方程为y-e=2e(x-},即2ex-y=0.

故答案为：2ex—y=0.

求出导函数，设切点为0n,e2g),求出切线方程与已知条件结合，推出结果即可.

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力.

15.【答案】645

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、正态曲线及其性质

【解析】解：由题意翕=高

由此得。=8,

二方差为d=64,

1名同学超过95分的概率为：，

在全市随机抽取10名高三同学，设X表示10名同学中英语成绩超过95分的人数,

则X〜B(10,；),

所以X的数学期望E(X)=10x1=5.

故答案为：64；5.

第14页，共20页

由题意急=忌，求出6即可得到方差；由题意X〜8(10,今,从而可求出X的数学

期望.

本题主要考查正态分布曲线的特点，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力,

属于中档题.

16.【答案】48

【知识点】排列、组合的综合应用

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①6人分为3,3的两组时，不会出现两名女专家单独成组情况，有:它种分组方法，

再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有的种情况，

此时共有1底x抬=20种安排方式，

②6人分为2,4的两组时，有盘x废=15种分组方法，其中有1种两名女专家单独成

组情况，则有14种符合条件的分组方法，

再对应到两个贫困县参加扶贫工作，有点种情况，

此时共有14x弱=28种安排方式，

共有20+28=48种安排方法；

故答案为：48.

根据题意，按6人的分组不同分2种情况讨论，①6人分为3,3的两组时，②6人分为

2,4的两组时，求出每种情况下首先分析符合条件的分组方法，再将两组对应到两个

贫困县参加扶贫工作，由分步计数原理计算可得每种情况的安排方法，进而由分类计数

原理计算可得答案.

本题考查排列组合的实际应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)根据题意，/(0)=1,

f'(x)=3*2—3,=>尸(0)=-3,

故可得，函数在点(0,1)处的切线方程即为：

y—1=-3(x-0)=>3x4-y-1=0.

(2)令,(%)=0=%=±1,

则有/(%)>0=>%>1,或％<—1；/'(%)<0^—1<x<l,

即得函数〃%)在(一8,-1),(1,+8)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，

故可得函数在％=-1处取得极大值为/(-1)=3；在％=1处取得极小值为/(I)=-1.

【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值

【解析】（1）根据函数导数的几何意义，即得切线方程；（2）使用函数导数判定函数的单

调性，进而确定函数的极值.

本题主要考查函数导数的几何意义，以及函数极值的判定，属于基础题

18.【答案】解：（1）••・（2/一；严5GN*）的展开式中所有的二项式系数和为2n=128,

・•・71=7,

故展开式的通项公式为4+1=C$-27~r-（-l）r-x14-3r,故第r+1项的二项式系数为6,

故当r=3或r=4时，二项式系数最大，

45532

故展开式中二项式系数最大的项为7；=-C/-2-x=-560x,Ts=C^-2-X=

280%4.

（2）3+$（2产-*（2%+或）1

・RM-）=

（2x+点）崎-27•%14-C>26.x11+C^-25-x8-C/-24-x5+C^-23-x2-C^-22-

x-1+-2-x-4-C；-x-7）

的展开式中的常数项为2x（-C>22）+6.23=-168+280=112.

【知识点】二项式定理

【解析】（1）由题意利用二项式系数的性质、通项公式，求得展开式中二项式系数最大

的项.

（2）把Q/―》按照二项式定理展开，可得（2》+昼）.Q/一37的常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中

档题.

19.【答案】解：⑴数据落在［280,300）的纵坐标为:益，=0.02,数据落在［300,320）

□UUXNU

的纵坐标为：其;=0005.完善频率分布直方图如下：

5UUXNU

第16页，共20页

0.020------------------

0.015

0.010.---Ir--------------

0.00u------------————1-

―^220240260280300320

•••(0.010+0.010+0,005)x20=0.5,.•.样本中位数为280.众数为：—2~-=290.

数为：(2304-250)x0.2+(270+310)x0.1+290x0.4=270；

(2)•••从采购数量在［240,280)之间的采购者中，用分层抽样的方法随机抽取9人，.•.从采

购数量在［240,260)上和在［260,280)上分别抽取6人和3人.

:从这9人中随机抽取3人，这3人不都来自同一组的概率P=空母茅0=2

【知识点】频率分布直方图、基本事件

【解析】(1)计算所要画直方图对应区间频率再完善直方图即可；

(2)按比例计算两层人数，再用古典概型计算即可.

本题考查概率分布直方图、概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运

算求解能力等数学核心素养，是基础题.

20.【答案】解：(I)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元.

都付0元的概率为％=；x：=或，

都付40元的概率为P2=：x|=号

都付80元的概率为P3=(1—^―|)(1—‘―|)=(，

故所付费用相同的概率为P=P1+「2+

(口)由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和下的可能取值为0,40,80,120,160,

PG=0)=：x：=热

Pa=40)=ix|+|xi=l,

P(e=80)=-x(l----)+(l----)x-+-x-=-,

P«=120)=ix(l-i-|)+|x(l-l-l)=i,

P«=160)=(l-i-|)(l-i-i)=^

f的分布列为：

04080120160

P1—1—511

24412424

数学期望E©=OX专+40X裔+80'3+120>^+160x圭=80.

【知识点】相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的期望与方差、离散型随机

变量及其分布列

【解析】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的

计算能力，属于中档题.

(I)甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概

率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(U)确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得f的分布列与数学期望.

21.【答案】证明：(1)•••P4，平面A8C。,

PA1CD,

AD1CD,PAC\AD=A,

CD，平面PAD.

解：(2)以A为原点，在平面ABC。内过A

作CO的平行线为x轴，

AO为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标X

系，

4(0,0,0),£(0,1,1),F(|,|)|),

P(0,(),2),B(2,-l,0),

荏=(0,1，1)，4F=(|,|》

平面A1的法向量元=(1,0,0),

设平面AEF的法向量访=(x,y,z),

m•~AE=y+z=0

则取y=l,得沆=(1/，—1),

沆.都=|x+|y+“=0'

设二面角产一4E-P的平面角为仇

则。”。=韶=+=f.

|m|-|n|V33

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二面角尸-AE-P的余弦值为立.