河南省洛阳市等三地部分名校2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题

河南省高三部分名校联考入学摸底考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.2i3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.在中，，，，分别为边，的中点，则（）A. B. C. D.5.有一组样本数据为33，66，99，101，134，167，其方差为.现准备再添加一个新数据，若，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为，若，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为，则（）A. B. C. D.6.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则下列命题错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7.已知函数在）上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知矩形的顶点都在椭圆上，若该矩形面积的最大值为，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知，，，则（）A. B.C. D.10.已知函数的定义域为，，则（）A. B.是奇函数C.为的极小值点 D.若，则11.已知函数下列结论正确的是（）A.在上单调递减 B.的图象关于点对称C.曲线与轴相切 D.的值域为12.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（）A.该半正多面体的表面积为B.该半正多面体的体积为C.该半正多面体外接球的表面积为D.若点，分别在线段，上，则的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知双曲线的离心率为3，则的虚轴长为________.14.从1，2，3，4，5，6中任取出两个奇数和两个偶数，则可以组成________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答）15.已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为________.16.已知数列的前项即为，且，若对任意，都有，则的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知的周长为，且.（1）求的长：（2）若的面积为.求.18.（12分）如图，在正方体中，.分别是棱，的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.19.（12分）已知数列满足，（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，，，，依此类推，求的通项公式20.（12分）已知抛物线.与抛物线；在第一象限交于点.（1）已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求.（2）设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.21.（12分）甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，猜对的概率为；甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；甲在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为.乙首次参与猜歌名，猜对的概率为；乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为甲、乙互不影响.（1）求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率；（2）记“梦想队”一共猜对了首歌名，求的分布列及期望.22.（12分）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的极大值点，求的取值范围.河南省高三名校联考入学摸底考试数学参考答案1.D因为，所以.2.A因为，所以，即.3.A，，故.4.D.5.C数据波动越大，方差越大.原样本数据的平均数为100，添加新数据后，新样本的数据更集中，.添加新数据后，新样本的数据波动更大，.6.C若，则，所以，C错误.7.B因为，所以.因为在上没有零点，所以，解得.又因为，所以.8.B设矩形在第一象限的顶点坐标为，根据对称性知该矩形的面积，当且仅当时，等号成立，即，所以，解得.9.ACD，A正确.，C正确.因为，所以，B错误.，所以，D正确.10.ABD令，则，所以，A正确.令，则，所以是奇函数，B正确.是奇函数，不可能是的极小值点，C错误.令，则，，D正确.11.BCD.令，解得或，令，解得或，所以在，上单调递减，在，上单调递增，A错误.，，曲线在处的切线方程为，即曲线与轴相切，C正确.，，的值域为，D正确.，所以的图象关于点对称，B正确.12.BCD该半正多面体的表面积为，A错误.该半正多面体所在的正四面体的高为，体积为.该半正多面体的体积为，B正确.该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，记球心为，则，故该半正多面体外接球的表面积为，C正确.该半正多面体的展开图如图所示，，，，，D正确.13.由题意得，则，，故虚轴长.14.108可以组成个没有重复数字的四位偶数.15.的周长为，，所以越小，越小.当时，最小.圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，.故的周长的最小值为.16.，，两式相减可得，所以.因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以.17.解：（1）设内角，，所对的边分别为，，.因为，所以.2分因为，所以4分（2）因为的面积为，且，所以.6分由（1）可得..7分由余弦定理可得.9分因为，所以.10分18.解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，，.2分，，.3分（1）证明：因为，，所以，.5分因为，所以平面.7分（2）结合（1）可得为平面的一个法向量..8分设平面的法向量为，则即取，得.10分.故二面角的余弦值为.12分注：第（1）问若不建系，证法如下：连接，，（图略）.在正方体中，平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以.2分因为平面，所以.在正方形，，分别是边，的中点，可得，所以，，所以.4分因为，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.5分19.解：（1）因为，所以，2分即，可得.5分（2）设数列的前项和为，数列的前项和为.为中的项之和，为中的前项和.7分，.10分当时，.也满足上式.故.12分20.解：（1），设，1分则3分解得.4分（2）联立解得或所以，6分.7分设直线的方程为.联立得，，即.8分若，则，不符合题意，所以，即①.9分联立得，，即②.10分由①②可得，所以.故为定值，该定值为0.12分21.解：（1）甲只参与一轮比赛的概率为.4分（2）；6分；8分.10分的分布列为012.12分22.解：（1），.1分，.3分曲线在点处的切线方程为，即.4分（2），.因为是的极大值点，所以存在，使得当时，，当时，.5分令函数，，.6分①若，即，则存在，使得当时，，即在上单调递增，从而当时，，在上单调递增，不符合题意