测量误差和数据处理

测量误差和数据处理第1页，课件共55页，创作于2023年2月难点重点正态分布的标准差、近似标准差（贝塞尔公式）直接测量的数学表达式误差的合成间接测量误差的传递第2页，课件共55页，创作于2023年2月第一节测量误差的来源1．仪器误差2．人员误差3．环境误差4．方法误差第3页，课件共55页，创作于2023年2月第二节随机误差分析就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为对称性、有界性、单峰性、抵偿性。f(

)

第4页，课件共55页，创作于2023年2月问题

测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？

例如，测量室温，6次测量结果分别为19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室温究竟是多少呢？

第5页，课件共55页，创作于2023年2月一．测量值的数学期望和标准差1．数学期望对被测量x进行等精度n次测量，得到n个测量值x1，x2，x3，…，xn。则n个测得值的算术平均值为：第6页，课件共55页，创作于2023年2月当测量次数时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。当测量次数时，测量值的数学期望等于被测量的真值。?数学期望第7页，课件共55页，创作于2023年2月根据随机误差的抵偿特性，当时即所以，当测量次数时，测量值的数学期望等于被测量的真值。分析：数学期望第8页，课件共55页，创作于2023年2月2．剩余误差（残差）当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。

数学表达式：对上式两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为0。第9页，课件共55页，创作于2023年2月4．标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方。σ反映了测量的精密度，σ小表示精密度高，测得值集中，σ大，表示精密度底，测得值分散。3.方差第10页，课件共55页，创作于2023年2月δf(δ)二．随机误差的正态分布分析1．正态分布高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。随机误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。第11页，课件共55页，创作于2023年2月例如：δf(δ)第12页，课件共55页，创作于2023年2月从正态分布曲线可看出：①δ绝对值越小，愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。②大小相等符号相反的误差出现的概率相等。δf(δ)第13页，课件共55页，创作于2023年2月③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映了测量的精密度。

σ=1σ=2第14页，课件共55页，创作于2023年2月2．极限误差Δ从上式可见，随机误差绝对值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。因此定义：第15页，课件共55页，创作于2023年2月随机误差的特点单峰性

误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小对称性

绝对值相同，符号相反的误差出现的概率相等抵偿性当测量次数n→∞时，误差总和为零有界性

误差落[-3

,3

]的概率为0.9973

3

也称为极限误差或者误差限第16页，课件共55页，创作于2023年2月3．贝塞尔公式采用残差代替随机误差（2）有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）（1）标准差（标准误差，均方根误差）：贝塞尔公式第17页，课件共55页，创作于2023年2月（3）算术平均值的标准差（4）平均值标准误差的最佳估计值（近似平均值标准误差）第18页，课件共55页，创作于2023年2月三．有限次测量下测量结果表达式步骤：1）列出测量数据表；2）计算算术平均值、、；3）计算和；置信概率0.9973

置信概率0.9545置信概率0.68274）给出最终测量结果表达式：第19页，课件共55页，创作于2023年2月例如，测量室温，6次测量结果分别为19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室温究竟是多少呢？解：参照例题2-4-1（p34）第20页，课件共55页，创作于2023年2月第三节系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差一、分类：恒定系统误差变化系统误差第21页，课件共55页，创作于2023年2月二、系统误差的判断1．理论分析，可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。2．校准和比对：测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值。3．改变测量条件：根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。4．剩余误差观察：根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。第22页，课件共55页，创作于2023年2月三．消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个方面。1．采用的测量方法及原理正确。2．选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。3．测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。4．条件许可，尽量采用数显仪器。5．提高操作人员的操作水平及技能。第23页，课件共55页，创作于2023年2月第四节

误差的合成、间接测量的误差传递与分配一．误差合成由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。1、随机误差合成

若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准误差分别为σ1、σ2、σ3、…、σk则随机误差合成的总标准差σ为：方和根合成法第24页，课件共55页，创作于2023年2月若以极限误差表示，则合成的极限误差为：当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。

1、随机误差合成第25页，课件共55页，创作于2023年2月2、系统误差的合成（1）已定系统误差的合成已定系统误差，是指测量误差的大小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定系统误差，都应当用代数方法计算其合成误差。表达式：由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直接在测量结果中修正，在一般情况下最后测量结果不应含有已定系统误差的内容。

第26页，课件共55页，创作于2023年2月（2）未定系统误差的合成未定系统误差，指测量误差既具有可知的一面，又具有不可预测的一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。①绝对值合成法：当m大于10时，合成误差估计值往往偏大。一般应用于m小于10。表达式：第27页，课件共55页，创作于2023年2月(2)方和根合成法一般应用于m大于10。表达式：例：0.5级，量程0~600kPa，分度值2kPa，h=0.05m，读数300kPa，指针来回摆动±1个格，环境温度30ºC（标准环境温度20ºC），每偏离1ºC的附加误差为基本误差的4%。第28页，课件共55页，创作于2023年2月

1）仪表精度等级引起的误差：2）读数误差（即分度误差)2kpa3)环境温度引起误差：4)安装位置引起的误差：前三项属于未定系统误差，最后一项属于已定系统误差。前三项按绝对值合成法：第29页，课件共55页，创作于2023年2月3．随机误差与系统误差的合成

其中ε为已定系统误差，e为未定系统误差（绝对值），l为随机误差的极限误差(绝对值)。第30页，课件共55页，创作于2023年2月二．间接测量的误差传递研究函数误差一般有以下三个内容：①．已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。②．已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。③．确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。

第31页，课件共55页，创作于2023年2月1．函数误差传递的基本公式假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开直接测量值间接测量值第32页，课件共55页，创作于2023年2月略去高阶项绝对误差：相对误差：1．函数误差传递的基本公式第33页，课件共55页，创作于2023年2月2．系统误差的函数传递当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统误差代入上式计算即可。当系统误差为未定系统误差，当各分项数小于10可采用绝对和法，当各分项数大于10可采用方和根法。绝对和法：方和根法：第34页，课件共55页，创作于2023年2月（1）和差函数的误差传递

设

，

则绝对误差若误差符号不确定：相对误差：第35页，课件共55页，创作于2023年2月（2）积函数误差传递

设，则绝对误差若误差符号不确定：相对误差：第36页，课件共55页，创作于2023年2月（3）商函数误差传递设，则绝对误差相对误差：若误差符号不确定：第37页，课件共55页，创作于2023年2月（4）幂函数的误差传递

设，则绝对误差相对误差：若误差符号不确定：第38页，课件共55页，创作于2023年2月例6：已知：R1=1kΩ，R2=2kΩ，求解：第39页，课件共55页，创作于2023年2月例7：温度表量程为100℃，精度等级1级，t1=65℃，t2=60℃，计算温差的相对误差。解1：℃第40页，课件共55页，创作于2023年2月已知，，，，求。解：例8：第41页，课件共55页，创作于2023年2月3．随机误差的函数传递已知各个直接测量的标准误差，…，，则

部分误差第42页，课件共55页，创作于2023年2月相对误差第43页，课件共55页，创作于2023年2月三．间接测量的误差分配解决误差分配问题。通常采取的方法为①等作用原则，②调整原则。所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=…Dn按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。第44页，课件共55页，创作于2023年2月例9：散热器装置：，设计工况L=50L/h，进出口温差℃。按照题意，误差应写成极限误差的形式。即分析：直接测量为流量L，散热器进出口温度t1、t2(或温差t1-t2)

。间接测量为热量Q。要求测量误差小于等于10%。第45页，课件共55页，创作于2023年2月按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为7.1%。再根据实际情况选择调整。第46页，课件共55页，创作于2023年2月第五节

测量数据的处理一．有效数字的处理1．有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止。2．舍入原则(4舍6入5凑偶)：小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则。12.5写作12；13.5写作143有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。

第47页，课件共55页，创作于2023年2月二．测量结果的处理

处理步骤：1）对测得值进行修正；将数据列成表格。3）列出残差：，并验证2）求算术平均值：4）计算标准偏差：第48页，课件共55页，创作于2023年2月5）按照原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到2从新计算，直到没有坏值为止。6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后重新测量。7）求算术平均值的标准偏差：8）写出最终结果表达式。二．测量结果的处理第49页，课件共55页，创作于2023年2月例题使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了16次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有0.05℃的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。第50页，课件共55页，创作于2023年2月例题解答（1）第51页，课件共55页，创作于2023年2月例题解答（2）判断是否存在粗大误差修正已定系统误差求出算术平均值，205.30℃计算残差，列于表中计算标准偏差（最佳估计值）判断有无坏值，剔除坏值。重新计算残差，列于表中。重新计算标准偏