【解析】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

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重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

一、单选题

1．下列各数中，是无理数的是（）

A．B．C．0D．

【答案】D

【知识点】有理数及其分类；无理数的认识

【解析】【解答】无理数1个：

有理数3个：，-0.27，0

故答案是D

【分析】本题考查无理数的概念。无限不循环小数是无理数，如，，0.01001000100001······（每次多一个0）等，都是无理数。整数，分数统称为有理数。有理数按正负性可分为正有理数，0和负有理数。

2．如图图片是公能中学初一年级班徽设计比赛的四幅作品，其中是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形。

故答案为D。

【分析】本题考查轴对称图形的定义。沿某条直线折叠，折叠的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形。

3．下列运算正确的是()

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方

【解析】【解答】A：，A正确；

B：，B错误；

C：，C错误；

D：，D错误；

故答案为A.

【分析】本题考查同底数幂的乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则。（1）同底数幂的乘（除）法则：同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）。（2）积的乘方，等于各个因数分别乘方，再去求积。（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘。熟练掌握法则，可得出正确答案。

4．下列事件是必然事件的是（）

A．套圈活动中，小南套中一件奖品

B．南开篮球队员在罚球线上投篮一次命中

C．箱子里有两个形状大小质地完全相同的红球，从中摸出一个球是红球

D．随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为10

【答案】C

【知识点】可能性的大小；事件发生的可能性

【解析】【解答】A：套圈活动中，小南套中一件奖品属于可能事件。

B：南开篮球队员在罚球线上投篮一次命中属于可能事件。

C：箱子里有两个形状大小质地完全相同的红球，从中摸出一个球是红球是必然事件；

D：随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为10属于不可能事件。

【分析】必然事件，指的是在一场活动中，一定会发生的事件，事件的发生概率是100％。可能事件是指在一次活动中，某种结果可能出现，可能不出现。不可能事件，指出现某种结果的可能性是0.选项A和B，投中奖品和在罚线上投篮一次命中属于可能事件，可能投中，也可能投不中，C选项中，箱子里有两个完全相同的红球，那么摸出一个球，一定是红球，因为没有其他颜色的球，所以是必然事件，而D选项中，骰子的点数不可能有10，因此是不可能事件。

5．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【答案】B

【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】在

∴（SAS）

【分析】本题考查三角形全等的判定，题目中已知两边对应相等，要注意挖掘“对顶角相等”这个隐含条件，边角边可证明全等。根据题目现有条件，挖掘隐含条件，对不完整条件进行加工，可证明三角形全等。要熟悉三角形全等的五种判定方法，下面是证明三角形全等的五种判定：边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边直角边（HL）。

6．六一儿童节，爸爸妈妈带着潇潇从家出发匀速步行前往江北嘴大剧院户外广场欣赏“亲子户外江畔音乐会”，三人在途中的礼品店买了礼物后，发现音乐会即将开始．于是三人以更快的速度匀速跑步前往，最后准时到达．下面能反映潇潇离家的距离与时间的关系的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】用图象表示变量间的关系

【解析】【解答】A：s-t图象中，速度先小，后速度无变化，最后速度变大，符合题意，正确；

B：速度先大后小，不合题意，错误；

C：速度先小，后速度无变化，最后速度变大，但离开家的距离变为0，不符合题意，错误；

D：速度先小，后速度无变化，最后速度变小，不符合题意，错误；

故答案为A.

【分析】本题考查图象题。要理解题意，结合图象，注意题目中重要的词条，正确判断。

7．下列说法正确的是（）

A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等

B．等腰三角形的对称轴是它底边上的中线

C．全等三角形的对应边相等

D．两直线平行，同旁内角相等

【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质

【解析】【解答】A：三角形三条角平分线的交点，是三角形的内心，到三角形三条边的距离相等；故A错误；

B：等腰三角形的对称轴是它底边上的中线所在的直线，故B错误；

C：全等三角形的对应边相等，C正确；

D：两直线平行，同旁内角互补，故D错误；

故答案为C.

【分析】本题考查三角形的知识点。三角形三条边垂直平分线的交点，是三角形的外心，到三角形的三个顶点的距离相等。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一条直线，而中线是线段，所以，底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴。全等三角形的性质是，对应边相等，对应角相等。两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。熟练掌握三角形的相关知识，注意理解应用。

8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成，其中第①个图形一共有个实心圆点，第②个图形一共有个实心圆点，第③个图形一共有个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】横排按照3，5，7·······排列，则第n个图形横排的实心圆点的个数是2n+1，

竖列按照2，3，4······排列，则则第n个图形竖列的实心圆点的个数是n+1，

综上，第n个图形的实心圆点的个数是3n+2，

第10个图形的实心圆点个数是：3×10+2=32

故答案是B.

【分析】考查找规律问题，要注意发现横排数列的个数增加规律，找到与第几个图形的关联点。

9．按如图所示的运算程序：若输入x的值是29，则输出结果是（）

A．257B．261C．286D．293

【答案】A

【知识点】一元一次方程的解；列一元一次方程

【解析】【解答】输入29，计算，3×29-1=86＜251，进入循环，输入86，计算3×86-1=257＞251，选择是，输出结果257.

故答案为A.

【分析】本题考查运算程序的计算选择。按照要求计算，按结果是否符合，选择进入循环，还是输出即可。

10．如图，在中，为上一点，为上一点，，连接，交于点．若，，则的面积为()

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】三角形的面积

【解析】【解答】∵

∴

即

∵BE=2AE

∴(同高)

即

∵

∴

∴=6

故答案为B.

【分析】注意当两个三角形同高时，底边之比就是面积之比。在图形面积计算时，要灵活应用题目中条件，计算三角形面积，不只有“底×高”这个公式，也可以用占比来解决面积问题。

11．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于()

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】如图所示，折叠还原，四边形DAEF与DAE'F'全等，四边形CBHG与CBH'G'全等，

则有∠ADF=∠ADF'，∠GCB=∠G'CB，

∴∠G'CG=2∠GCB

∵∠DAB=2∠GCB

∴∠G'CG=∠DAB

∵AB∥CD

∴∠ADF'=∠DAB

∵DF∥CG

∴∠G'CG=∠CDF

∴∠ADF=∠CDF=∠ADF'=60°

故答案是C.

【分析】考查折叠性质，折叠前后的图形全等，根据全等性质，可得对应线段相等，对应角相等。利用平行线性质，得到内错角，同位角的数量关系，结合题目已知，求解。

12．我们用表示最接近的整数，其中n为非负整数．例如：∵，∴；∵，∴；∵，∴．则下列结论：

①；

③当时，n的值有6个；

③；

④若，则．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】平方根；算术平方根；探索数与式的规律

【解析】【解答】用表示最接近的整数，找到临界值，

平方数每组值每组值的个数

1个

2个

4个

6个

8个

10个

12个

以此类推，每组值的个数是2n个，从开始，每组的值是n。

A：，A正确；

B：当时，n的值应该有2×4=8个，B错误；

C：=0-1+1-2+2-2+2-3+3-3+3-3+3-4+4-4+4-4+4-4+4=0，每组值都是偶数个，从到每一组都可分成偶数组，每组运算后都是0.C正确

D：1+1+4×+6×++···+2n×=98

每组值都是2，则和为98时，共有49组，按照表格规律，从开始，第49组是，，则n=2450，D正确

综上所述，A、C、D正确，B错误。

故答案为C，

【分析】本题考查算术平方根和平方数的运用。找到临界值很重要。

二、填空题

13．2023年5月，推动成渝地区双城经济圈建设联合办公室印发的文件中，规划了成渝地区双城经济圈总面积185000平方公里．请将185000用科学记数法表示为．

【答案】

【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数

【解析】【解答】185000=1.85×

【分析】对于极大或极小的数，我们用科学记数法来表示。把一个数，写成a×的形式，其中，1≤|a|＜10，n为整数，这种记数的方法叫科学记数法。

14．已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则．

【答案】16

【知识点】算术平方根；立方根及开立方；有理数的乘方

【解析】【解答】x是64的立方根，x=4；y是4的算术平方根，y=2；==16

【分析】考查立方根和算术平方根的应用。熟记立方数，理解算术平方是正的平方根就可。

15．为了庆祝六一儿童节，培养孩子社会实践能力，公能中学举行“劳动创意集市”活动．初一某班售卖自制冰粉，获得总利润元与售出份数份的变化关系如表所示：

份

元

观察表中数据可知，至少售出份时，该班这次售卖活动不亏损．

【答案】

【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设售卖的冰粉的份数与总利润的变化关系是：y=kx+b（k≠0)

带入表格中两点坐标（10，-80）（40，+40），可得：

②-①得：30k=120

解得：k=4，

把k=4代入①，得：b=-120

则y=4x-120

要使该次售卖活动不亏损，则y≥0.即4x-120≥0，得x≥30

则至少售出30份时，该次售卖活动不亏损。

【分析】本题考查一次函数应用题，待定系数法求函数解析式。或者可以观察表格数据，当x≥30时，y≥0，因此，至少售出30份时，活动不亏损。

16．如图，一个均匀的小球在方格纸上滚动并随机停留在某个方格上，每一个方格除颜色外完全相同，小球最终停留在阴影区域的概率是．

【答案】

【知识点】简单事件概率的计算

【解析】【解答】网格个数：5×4=20个

阴影区域个数：8个

阴影区域占整个方格的概率是8÷20=

【分析】本题考查概率问题。阴影区域中，2个半网格可以拼接成1个完整的格子，求出阴影区域格子个数，即可求得概率。

17．若、、为三角形的三边，且，，若为奇数，则．

【答案】

【知识点】三角形三边关系

【解析】【解答】∵a，b，c为三角形的三边，且a=9，b=2

则9-2＜c＜9+2

即7＜c＜11

∵c为奇数

则c=9

【分析】本题考查三角形的三边关系。三角形的第三边大于两边之和，小于两边之差，求出c的范围，结合题目的要求，求得答案。

18．如图，，平分，连接，交于点P．若，，则．

【答案】

【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质

【解析】【解答】如图所示：

过点Q作QH∥AB，

∴∠BAQ=∠AQH=23°

∵∠AQC=51°

∠AQC=∠AQH+∠HQC

∴∠HQC=28°

∵AB∥CD

∴QH∥CD

∴∠QCD=∠HQC=28°

∵CQ平分∠BCD

∴∠QCP=∠QCD=28°

∴∠APC=∠AQC+∠QCP=51°+28°=79°

【分析】本题考查平行公理的推论和和平行的“铅笔”模型。同一平面内，平行于同一直线的两直线平行。平行的铅笔模型中，过拐点作平行线，是常见的方法。运用三角形的外角定理，更容易计算角度。

19．等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为

【答案】或

【知识点】等腰三角形的性质；数学思想

【解析】【解答】等腰三角形的两个内角度数之比是1：2，需要分情况讨论，如下：

（1）当顶角为1份时，则三个内角之比是1：2：2，则这个等腰三角形底角度数为：180°×=72°

（2）当顶角为2份时，则三个内角之比是2：1：1，则这个等腰三角形底角度数为：180°×=45°

故这个等腰三角形底角的度数为45°或72°.

【分析】本题考查等腰三角形角度的分类讨论问题。当题目中没有明确指出底角和顶角时，需要分情况讨论。

20．如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为．

【答案】或

【知识点】三角形全等及其性质；数学思想

【解析】【解答】

（1）如图1所示，设点M表示的数是m，

当时，

∴OB=AM

∴=4-m

∴m=

（2）如图2所示，设点M表示的数是m，

设点M表示的数是m，

当时，

∴OM=AM

∴m=4-m

∴m=2

综上所述，点M表示的数为2或.

【分析】本题考查全等三角形的性质和分类讨论的思想。当题目中没有给定明确的结论时，需要分类讨论，才能考虑全面。

21．如图，在中，，F为外一点，连接，连接交于点L，过点F作的垂直平分线交于点D，交于点E，过点F分别作于点H，交于点G，交的延长线于点K，且．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（请填入正确选项的序号）．

【答案】①③④

【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的稳定性；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；三角形的综合

【解析】【解答】证明：

∵FK⊥BC，FH⊥AB

∴∠K=∠BHF=90°即

∵KF=HF，BF=BF

∴（HL）

∴∠KBF=∠HBF

即∠CBF=∠FBA

故①正确；

∵FD垂直平分AC，AC⊥BC

∴BC∥FD

∴∠CBF=∠BFD

由①知：∠CBF=∠FBA

∴∠BFD=∠FBA

∴BD=FD

∵BH＞BD

∴BH≠FD

故②错误；

如图所示，连接CF，在HB上截取HM=HA

∵FH⊥AB

∴∠FHM=FHA=90°

∵FH=FH

∴（SAS）

∴MF=AF

HM=HA即AM=2AH

∵FD垂直平分AC

∴AF=CF

∴CF=MF

由①知：∠KBF=∠HBF

又∵BF为公共边

∴

∴BC=BM

∴AB-BC=AB-BM=AM=2AH

故③正确；

∵FD垂直平分AC

AC⊥BC

∴D为AB中点

∴FD=AD

∴∠DFA=∠DAF

∵∠FEG=∠GHA=90°，∠FGE=∠AGH

∴∠EFG=∠HAG

∴∠GFA=∠GAF

∴FG=AG

由②证明过程知：BD=FD

∴FD=BD=AD

∴BFA=90°

∴∠LFG+GFA=90°

∠FLG+∠GAF=90°

∴∠LFG=∠FLG

∴FG=LG

∴AG=LG

∴

故④正确；

综上所述，正确的是①③④

【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定以及平行线的性质和三角形相关的线段中线平分面积的性质。在证明三角形全等时，截长补短可以用来证明线段之间的数量关系。

22．定义：对于任意一个三位自然数m，若m满足十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数n，若n满足十位数字比百位数字小1，个位数字比十位数字小1，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”m的7倍记为，“向下数”n的8倍记为，若是整数，则称每对m，n为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，的最大值是．

【答案】801

【知识点】代数式求值；定义新运算

【解析】【解答】

设向上数m的百位数字是a，则十位数字是a+1，个位数字是a+2

则这个数m可表示为：100a+10（a+1）+a+2=111a+12

设向下数n的百位数字是b，则十位数字是b-1，个位数字是b-2

则这个数可表示为：100b+10（b-1）+b-2=111b-12

∴F（m）=7m=7（111a+12），G（n）=8n=8（111b-12）

∴==是整数

∴设=k

∴259a+296b-4=6k，

∴259a+296b=2（3k+2）

∴259a+296b是偶数

∵296b一定是偶数，不可能是奇数，

∴259a也一定是偶数

∴a一定是偶数

∵a，b均为数位上的数字，

∴1≤a≤9，2≤b≤9

∴|m-n|=|111a+12-（111b-12）|=|111（a-b）+24|

∴当|a-b|最大时，|m-n|最大.

∴a的值可以取8，6，4，2

∴，a取最大值8，b取最小值1，|a-b|此时最大

当a=8，b=1时，|a-b|=7，k=394，|m-n|=801。

【分析】此题考查新定义运算下整式加减的应用。结合“向上数”“向下数”的定义，列出代数式，根据结果是整数的要求，得到字母的取值范围是关键。

三、解答题

23．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方

【解析】【分析】考查实数的运算、多项式相乘法则和整式乘法法则。其中，要注意负指数的计算，

24．先化简，再求值：，其中．

【答案】解：

，

∵，

∴，，

∴，，

∴原式．

【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；利用整式的混合运算化简求值

【解析】【分析】本题考查整式的化简求值和平方、算术平方根的非负性。解题过程中，要注意去括号原则，括号前是负号，括号里的每一项出来要变号。

25．如图，在中，，，

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)；

（2）在(1)问的条件下，连接，求证：．

请将下列证明过程补充完整．

证明：∵，▲，

等腰三角形三线合一．

是的垂直平分线，

▲线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

垂直平分线的定义，

垂直的定义．

在和中，

，直角三角形的两个锐角互余，

▲等角的余角相等，

（），

等量代换．

【答案】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，；

（2）解：连接，

∵，，等腰三角形三线合一．

是的垂直平分线，

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

垂直平分线的定义，

垂直的定义．

在和中，

，直角三角形的两个锐角互余，

等角的余角相等，

等角对等边，

等量代换．

【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线

【解析】【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图和等腰三角形的性质。

26．为了“弘扬经典，传播文化自信”，公能中学初一年级举行了“中华诗词大会”比赛．现随机抽取了部分参赛学生的比赛成绩，并对数据进行整理、描述和分析(比赛成绩用表示，共分为五组：：，：，：，：，：，绘制成如图所示的两个不完整的统计图：

（1）随机抽取学生的人数为，，扇形的圆心角度数是；

（2）请补全条形统计图；

（3）如果初一年级有名学生参加此次比赛，分及以上为优秀，请估计本次比赛优秀的学生大约有多少人？

【答案】（1）80；30；36

（2）解：组的人数为，补全统计图如图所示，

（3）解：估计本次比赛优秀的学生大约有人

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图

【解析】【解答】（1）由扇形统计图可得：E：90≤x≤100，占整体的25％，

由条形统计图可得：E：90≤x≤100的学生人数是20人：

∴随机抽取的学生人数是：2025％=80人，

D：80≤x≤90的学生人数是24人，占比是2480×100％=30％

∴m=30

A：50≤x≤60的学生人数是8人，占比是880×100％=10％，扇形A的圆心角度数=360°×10％=36°

80；30；36°

【分析】本题考查统计调查中，条形统计图和扇形统计图中数量和占比的关系。利用同一个量的数值和所占百分数，可以求得参与调查的总人数，其余的占比和数值都可求得。

27．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．

（1）求证：；

（2）连接，若，求的度数．

【答案】（1）证明：∵，

∴，即，

∵，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等性质关于角度的计算。

（1）结合题目中已知条件，找出题目中的隐含条件，对题目中的相关条件进行加工准备，则构成全等的条件。

（2）运用全等的性质，得到对应角相等，求得平行，运用平行线性质，可得答案。在求解线段相等或者求角度时，一般要证明三角形全等。

28．整体思想是一种重要的数学思想，即在考虑数学问题时不局限于它的局部特征，而是着眼于整体结构．阅读材料：

若，

a求代数式的值；

b求代数式的值．

小南的做法是：

解：a∵，∴，∴，∴，∴，∴，．b由a得，∵，又∵，，，即，==．

仿照阅读材料的方法解决问题：

（1）若，则代数式的值为；

（2）若，求代数式的值；

（3）若，求代数式的值．

【答案】（1）

（2）解：∵，∴

∴，

∴，

∴

∴

∴

（3）解：∵，∴

∴

∴

∴

又∵

∴，即

∴

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；数学思想

【解析】【解答】（1）解：

∵

∴

∴

∴

=7+1

=8

故答案为8

【分析】本题考查数学中的整体思想，就是要把数学题中的某个条件，通过变形，或者不变形，当成“整体”来用，从而达到“化难为易”的目的。整体思想有很多类型，常见的有整体代入法、整体转化法、整体合并法、整体加减法、整体设元、整体补形、整体改造等，结合所给例题，找到解题方法，整体代入，应用移项，平方，配方的思路，代入求解即可。

29．如图，已知六边形相邻的两边互相垂直，动点从六边形的其中一个顶点出发，沿着六边形的边以每秒的速度运动，到达点后以每秒的速度运动，当继续运动到另一个顶点时，以每秒的速度反向运动到点处停止运动．运动过程中点与，两点形成的三角形面积为，运动时间为秒．与图象如图2所示，请回答以下问题：

（1），当点运动到顶点时开始反向运动；

（2）当点在上运动时，求与的关系式；

（3）当时，直接写出的值．

【答案】（1）6；D

（2）解：根据函数图象可得点的运动路程为，

∴，

其中时，

设从运动到的时间为，则

解得：

∴，

∴，

∴，

∴当点返回经过点时，，

∴，

∵在运动的时间为，则；

∴

∴；

（3）或或

【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题

【解析】【解答】（1）由图2可知，s内，有2段面积不变，可知，0＜t＜3和7＜t＜10，点P在AF、DE上运动，

∵AF到BC的距离大于DE到BC的距离

∴点P的起点是A，

∴AF=3×2=6，

当t＞10s，函数图象上面积变化先增大，然后不变，后又变小，则点P运动到D开始返回。

故答案为6，D

（3）如图所示，根据题意可得，当s=25cm时，符合条件的t有3个值。

当3＜t＜7，10＜t＜14时，点在FE上，当17＜t＜23，P在AB上N处。

设点P运动到M时，M到BC的距离为x，则x·10=25，x=5，则FM=12-5=7，ME=EF-EM=8-7=1

当3＜t＜7时，t==6.5

当10＜t＜14时，点P从D返回到达M时，t=10+=10.5

当17＜t＜23，P在AB上N处，25=-10t+230，t=20.5

综上，s=25cm，t的值是6.5或10.5或20.5.

【分析】本题考查动点问题的函数图象。结合函数图象，分析图中点的位置很重要。函数图象中，有两段面积不变，利用面积的变化趋势可分析出点P的运动轨迹，用速度和面积变化，计算出线段长。

30．在中，．

（1）如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度；

（2）如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：；

（3）如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值．

【答案】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，，

∴，

在和中

∴

∴；

（2）解：如图所示，延长到G，使，连，

∵D为的中点，

∴，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，，

由旋转知：，

∴在和中，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）

【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的应用；旋转的性质

【解析】【解答】（3）如图所示，

由（2）得：

∴DC=FD即FC=2DC

∵FC=2AE

∴AE=DC

由（2）得：是等腰直角三角形

∴∠AED=45°

∵∠AED+∠CDE=90°

∴∠CDE=45°

∴AE∥DC

∴四边形AECD为平行四边形

∴AR=

以AR为边，在AR左侧作等边三角形AMR，点P在AB上，连接PR，顺时针旋转60°，得到RQ，连接PM，AQ

∴PR=RQ，∠PRM=∠QRA=60°-∠PRA

∴（SAS）

∴PM=QA

∴AQ长度最小时，即PM最小。

∴PM⊥AB，此时PM最小

∵∠MAR=60°

∴在中，∠PAM=30°，则PM=AM=AR=AC，AP===

∴在中，PR====

∴PR：AQ=（）：（AR）=：1

∴PR：AQ的值是.

【分析】本题主要考查等边三角形旋转的性质，垂线段最短、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，构造全等三角形是关键。

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重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

一、单选题

1．下列各数中，是无理数的是（）

A．B．C．0D．

2．如图图片是公能中学初一年级班徽设计比赛的四幅作品，其中是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．下列运算正确的是()

A．B．

C．D．

4．下列事件是必然事件的是（）

A．套圈活动中，小南套中一件奖品

B．南开篮球队员在罚球线上投篮一次命中

C．箱子里有两个形状大小质地完全相同的红球，从中摸出一个球是红球

D．随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为10

5．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

6．六一儿童节，爸爸妈妈带着潇潇从家出发匀速步行前往江北嘴大剧院户外广场欣赏“亲子户外江畔音乐会”，三人在途中的礼品店买了礼物后，发现音乐会即将开始．于是三人以更快的速度匀速跑步前往，最后准时到达．下面能反映潇潇离家的距离与时间的关系的大致图象是（）

A．B．

C．D．

7．下列说法正确的是（）

A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等

B．等腰三角形的对称轴是它底边上的中线

C．全等三角形的对应边相等

D．两直线平行，同旁内角相等

8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成，其中第①个图形一共有个实心圆点，第②个图形一共有个实心圆点，第③个图形一共有个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为（）

A．B．C．D．

9．按如图所示的运算程序：若输入x的值是29，则输出结果是（）

A．257B．261C．286D．293

10．如图，在中，为上一点，为上一点，，连接，交于点．若，，则的面积为()

A．B．C．D．

11．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于()

A．B．C．D．

12．我们用表示最接近的整数，其中n为非负整数．例如：∵，∴；∵，∴；∵，∴．则下列结论：

①；

③当时，n的值有6个；

③；

④若，则．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

13．2023年5月，推动成渝地区双城经济圈建设联合办公室印发的文件中，规划了成渝地区双城经济圈总面积185000平方公里．请将185000用科学记数法表示为．

14．已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则．

15．为了庆祝六一儿童节，培养孩子社会实践能力，公能中学举行“劳动创意集市”活动．初一某班售卖自制冰粉，获得总利润元与售出份数份的变化关系如表所示：

份

元

观察表中数据可知，至少售出份时，该班这次售卖活动不亏损．

16．如图，一个均匀的小球在方格纸上滚动并随机停留在某个方格上，每一个方格除颜色外完全相同，小球最终停留在阴影区域的概率是．

17．若、、为三角形的三边，且，，若为奇数，则．

18．如图，，平分，连接，交于点P．若，，则．

19．等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为

20．如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为．

21．如图，在中，，F为外一点，连接，连接交于点L，过点F作的垂直平分线交于点D，交于点E，过点F分别作于点H，交于点G，交的延长线于点K，且．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（请填入正确选项的序号）．

22．定义：对于任意一个三位自然数m，若m满足十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1，那么称这个三位数为“向上数”；对于任意一个三位自然数n，若n满足十位数字比百位数字小1，个位数字比十位数字小1，那么称这个三位数为“向下数”．将“向上数”m的7倍记为，“向下数”n的8倍记为，若是整数，则称每对m，n为“七上八下数对”．在所有“七上八下数对”中，的最大值是．

三、解答题

23．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

24．先化简，再求值：，其中．

25．如图，在中，，，

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)；

（2）在(1)问的条件下，连接，求证：．

请将下列证明过程补充完整．

证明：∵，▲，

等腰三角形三线合一．

是的垂直平分线，

▲线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

垂直平分线的定义，

垂直的定义．

在和中，

，直角三角形的两个锐角互余，

▲等角的余角相等，

（），

等量代换．

26．为了“弘扬经典，传播文化自信”，公能中学初一年级举行了“中华诗词大会”比赛．现随机抽取了部分参赛学生的比赛成绩，并对数据进行整理、描述和分析(比赛成绩用表示，共分为五组：：，：，：，：，：，绘制成如图所示的两个不完整的统计图：

（1）随机抽取学生的人数为，，扇形的圆心角度数是；

（2）请补全条形统计图；

（3）如果初一年级有名学生参加此次比赛，分及以上为优秀，请估计本次比赛优秀的学生大约有多少人？

27．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．

（1）求证：；

（2）连接，若，求的度数．

28．整体思想是一种重要的数学思想，即在考虑数学问题时不局限于它的局部特征，而是着眼于整体结构．阅读材料：

若，

a求代数式的值；

b求代数式的值．

小南的做法是：

解：a∵，∴，∴，∴，∴，∴，．b由a得，∵，又∵，，，即，==．

仿照阅读材料的方法解决问题：

（1）若，则代数式的值为；

（2）若，求代数式的值；

（3）若，求代数式的值．

29．如图，已知六边形相邻的两边互相垂直，动点从六边形的其中一个顶点出发，沿着六边形的边以每秒的速度运动，到达点后以每秒的速度运动，当继续运动到另一个顶点时，以每秒的速度反向运动到点处停止运动．运动过程中点与，两点形成的三角形面积为，运动时间为秒．与图象如图2所示，请回答以下问题：

（1），当点运动到顶点时开始反向运动；

（2）当点在上运动时，求与的关系式；

（3）当时，直接写出的值．

30．在中，．

（1）如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度；

（2）如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：；

（3）如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】有理数及其分类；无理数的认识

【解析】【解答】无理数1个：

有理数3个：，-0.27，0

故答案是D

【分析】本题考查无理数的概念。无限不循环小数是无理数，如，，0.01001000100001······（每次多一个0）等，都是无理数。整数，分数统称为有理数。有理数按正负性可分为正有理数，0和负有理数。

2．【答案】D

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形。

故答案为D。

【分析】本题考查轴对称图形的定义。沿某条直线折叠，折叠的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形。

3．【答案】A

【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方

【解析】【解答】A：，A正确；

B：，B错误；

C：，C错误；

D：，D错误；

故答案为A.

【分析】本题考查同底数幂的乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则。（1）同底数幂的乘（除）法则：同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）。（2）积的乘方，等于各个因数分别乘方，再去求积。（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘。熟练掌握法则，可得出正确答案。

4．【答案】C

【知识点】可能性的大小；事件发生的可能性

【解析】【解答】A：套圈活动中，小南套中一件奖品属于可能事件。

B：南开篮球队员在罚球线上投篮一次命中属于可能事件。

C：箱子里有两个形状大小质地完全相同的红球，从中摸出一个球是红球是必然事件；

D：随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为10属于不可能事件。

【分析】必然事件，指的是在一场活动中，一定会发生的事件，事件的发生概率是100％。可能事件是指在一次活动中，某种结果可能出现，可能不出现。不可能事件，指出现某种结果的可能性是0.选项A和B，投中奖品和在罚线上投篮一次命中属于可能事件，可能投中，也可能投不中，C选项中，箱子里有两个完全相同的红球，那么摸出一个球，一定是红球，因为没有其他颜色的球，所以是必然事件，而D选项中，骰子的点数不可能有10，因此是不可能事件。

5．【答案】B

【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】在

∴（SAS）

【分析】本题考查三角形全等的判定，题目中已知两边对应相等，要注意挖掘“对顶角相等”这个隐含条件，边角边可证明全等。根据题目现有条件，挖掘隐含条件，对不完整条件进行加工，可证明三角形全等。要熟悉三角形全等的五种判定方法，下面是证明三角形全等的五种判定：边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边直角边（HL）。

6．【答案】A

【知识点】用图象表示变量间的关系

【解析】【解答】A：s-t图象中，速度先小，后速度无变化，最后速度变大，符合题意，正确；

B：速度先大后小，不合题意，错误；

C：速度先小，后速度无变化，最后速度变大，但离开家的距离变为0，不符合题意，错误；

D：速度先小，后速度无变化，最后速度变小，不符合题意，错误；

故答案为A.

【分析】本题考查图象题。要理解题意，结合图象，注意题目中重要的词条，正确判断。

7．【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质

【解析】【解答】A：三角形三条角平分线的交点，是三角形的内心，到三角形三条边的距离相等；故A错误；

B：等腰三角形的对称轴是它底边上的中线所在的直线，故B错误；

C：全等三角形的对应边相等，C正确；

D：两直线平行，同旁内角互补，故D错误；

故答案为C.

【分析】本题考查三角形的知识点。三角形三条边垂直平分线的交点，是三角形的外心，到三角形的三个顶点的距离相等。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一条直线，而中线是线段，所以，底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴。全等三角形的性质是，对应边相等，对应角相等。两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。熟练掌握三角形的相关知识，注意理解应用。

8．【答案】B

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】横排按照3，5，7·······排列，则第n个图形横排的实心圆点的个数是2n+1，

竖列按照2，3，4······排列，则则第n个图形竖列的实心圆点的个数是n+1，

综上，第n个图形的实心圆点的个数是3n+2，

第10个图形的实心圆点个数是：3×10+2=32

故答案是B.

【分析】考查找规律问题，要注意发现横排数列的个数增加规律，找到与第几个图形的关联点。

9．【答案】A

【知识点】一元一次方程的解；列一元一次方程

【解析】【解答】输入29，计算，3×29-1=86＜251，进入循环，输入86，计算3×86-1=257＞251，选择是，输出结果257.

故答案为A.

【分析】本题考查运算程序的计算选择。按照要求计算，按结果是否符合，选择进入循环，还是输出即可。

10．【答案】B

【知识点】三角形的面积

【解析】【解答】∵

∴

即

∵BE=2AE

∴(同高)

即

∵

∴

∴=6

故答案为B.

【分析】注意当两个三角形同高时，底边之比就是面积之比。在图形面积计算时，要灵活应用题目中条件，计算三角形面积，不只有“底×高”这个公式，也可以用占比来解决面积问题。

11．【答案】C

【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】如图所示，折叠还原，四边形DAEF与DAE'F'全等，四边形CBHG与CBH'G'全等，

则有∠ADF=∠ADF'，∠GCB=∠G'CB，

∴∠G'CG=2∠GCB

∵∠DAB=2∠GCB

∴∠G'CG=∠DAB

∵AB∥CD

∴∠ADF'=∠DAB

∵DF∥CG

∴∠G'CG=∠CDF

∴∠ADF=∠CDF=∠ADF'=60°

故答案是C.

【分析】考查折叠性质，折叠前后的图形全等，根据全等性质，可得对应线段相等，对应角相等。利用平行线性质，得到内错角，同位角的数量关系，结合题目已知，求解。

12．【答案】C

【知识点】平方根；算术平方根；探索数与式的规律

【解析】【解答】用表示最接近的整数，找到临界值，

平方数每组值每组值的个数

1个

2个

4个

6个

8个

10个

12个

以此类推，每组值的个数是2n个，从开始，每组的值是n。

A：，A正确；

B：当时，n的值应该有2×4=8个，B错误；

C：=0-1+1-2+2-2+2-3+3-3+3-3+3-4+4-4+4-4+4-4+4=0，每组值都是偶数个，从到每一组都可分成偶数组，每组运算后都是0.C正确

D：1+1+4×+6×++···+2n×=98

每组值都是2，则和为98时，共有49组，按照表格规律，从开始，第49组是，，则n=2450，D正确

综上所述，A、C、D正确，B错误。

故答案为C，

【分析】本题考查算术平方根和平方数的运用。找到临界值很重要。

13．【答案】

【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数

【解析】【解答】185000=1.85×

【分析】对于极大或极小的数，我们用科学记数法来表示。把一个数，写成a×的形式，其中，1≤|a|＜10，n为整数，这种记数的方法叫科学记数法。

14．【答案】16

【知识点】算术平方根；立方根及开立方；有理数的乘方

【解析】【解答】x是64的立方根，x=4；y是4的算术平方根，y=2；==16

【分析】考查立方根和算术平方根的应用。熟记立方数，理解算术平方是正的平方根就可。

15．【答案】

【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设售卖的冰粉的份数与总利润的变化关系是：y=kx+b（k≠0)

带入表格中两点坐标（10，-80）（40，+40），可得：

②-①得：30k=120

解得：k=4，

把k=4代入①，得：b=-120

则y=4x-120

要使该次售卖活动不亏损，则y≥0.即4x-120≥0，得x≥30

则至少售出30份时，该次售卖活动不亏损。

【分析】本题考查一次函数应用题，待定系数法求函数解析式。或者可以观察表格数据，当x≥30时，y≥0，因此，至少售出30份时，活动不亏损。

16．【答案】

【知识点】简单事件概率的计算

【解析】【解答】网格个数：5×4=20个

阴影区域个数：8个

阴影区域占整个方格的概率是8÷20=

【分析】本题考查概率问题。阴影区域中，2个半网格可以拼接成1个完整的格子，求出阴影区域格子个数，即可求得概率。

17．【答案】

【知识点】三角形三边关系

【解析】【解答】∵a，b，c为三角形的三边，且a=9，b=2

则9-2＜c＜9+2

即7＜c＜11

∵c为奇数

则c=9

【分析】本题考查三角形的三边关系。三角形的第三边大于两边之和，小于两边之差，求出c的范围，结合题目的要求，求得答案。

18．【答案】

【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质

【解析】【解答】如图所示：

过点Q作QH∥AB，

∴∠BAQ=∠AQH=23°

∵∠AQC=51°

∠AQC=∠AQH+∠HQC

∴∠HQC=28°

∵AB∥CD

∴QH∥CD

∴∠QCD=∠HQC=28°

∵CQ平分∠BCD

∴∠QCP=∠QCD=28°

∴∠APC=∠AQC+∠QCP=51°+28°=79°

【分析】本题考查平行公理的推论和和平行的“铅笔”模型。同一平面内，平行于同一直线的两直线平行。平行的铅笔模型中，过拐点作平行线，是常见的方法。运用三角形的外角定理，更容易计算角度。

19．【答案】或

【知识点】等腰三角形的性质；数学思想

【解析】【解答】等腰三角形的两个内角度数之比是1：2，需要分情况讨论，如下：

（1）当顶角为1份时，则三个内角之比是1：2：2，则这个等腰三角形底角度数为：180°×=72°

（2）当顶角为2份时，则三个内角之比是2：1：1，则这个等腰三角形底角度数为：180°×=45°

故这个等腰三角形底角的度数为45°或72°.

【分析】本题考查等腰三角形角度的分类讨论问题。当题目中没有明确指出底角和顶角时，需要分情况讨论。

20．【答案】或

【知识点】三角形全等及其性质；数学思想

【解析】【解答】

（1）如图1所示，设点M表示的数是m，

当时，

∴OB=AM

∴=4-m

∴m=

（2）如图2所示，设点M表示的数是m，

设点M表示的数是m，

当时，

∴OM=AM

∴m=4-m

∴m=2

综上所述，点M表示的数为2或.

【分析】本题考查全等三角形的性质和分类讨论的思想。当题目中没有给定明确的结论时，需要分类讨论，才能考虑全面。

21．【答案】①③④

【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的稳定性；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；三角形的综合

【解析】【解答】证明：

∵FK⊥BC，FH⊥AB

∴∠K=∠BHF=90°即

∵KF=HF，BF=BF

∴（HL）

∴∠KBF=∠HBF

即∠CBF=∠FBA

故①正确；

∵FD垂直平分AC，AC⊥BC

∴BC∥FD

∴∠CBF=∠BFD

由①知：∠CBF=∠FBA

∴∠BFD=∠FBA

∴BD=FD

∵BH＞BD

∴BH≠FD

故②错误；

如图所示，连接CF，在HB上截取HM=HA

∵FH⊥AB

∴∠FHM=FHA=90°

∵FH=FH

∴（SAS）

∴MF=AF

HM=HA即AM=2AH

∵FD垂直平分AC

∴AF=CF

∴CF=MF

由①知：∠KBF=∠HBF

又∵BF为公共边

∴

∴BC=BM

∴AB-BC=AB-BM=AM=2AH

故③正确；

∵FD垂直平分AC

AC⊥BC

∴D为AB中点

∴FD=AD

∴∠DFA=∠DAF

∵∠FEG=∠GHA=90°，∠FGE=∠AGH

∴∠EFG=∠HAG

∴∠GFA=∠GAF

∴FG=AG

由②证明过程知：BD=FD

∴FD=BD=AD

∴BFA=90°

∴∠LFG+GFA=90°

∠FLG+∠GAF=90°

∴∠LFG=∠FLG

∴FG=LG

∴AG=LG

∴

故④正确；

综上所述，正确的是①③④

【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定以及平行线的性质和三角形相关的线段中线平分面积的性质。在证明三角形全等时，截长补短可以用来证明线段之间的数量关系。

22．【答案】801

【知识点】代数式求值；定义新运算

【解析】【解答】

设向上数m的百位数字是a，则十位数字是a+1，个位数字是a+2

则这个数m可表示为：100a+10（a+1）+a+2=111a+12

设向下数n的百位数字是b，则十位数字是b-1，个位数字是b-2

则这个数可表示为：100b+10（b-1）+b-2=111b-12

∴F（m）=7m=7（111a+12），G（n）=8n=8（111b-12）

∴==是整数

∴设=k

∴259a+296b-4=6k，

∴259a+296b=2（3k+2）

∴259a+296b是偶数

∵296b一定是偶数，不可能是奇数，

∴259a也一定是偶数

∴a一定是偶数

∵a，b均为数位上的数字，

∴1≤a≤9，2≤b≤9

∴|m-n|=|111a+12-（111b-12）|=|111（a-b）+24|

∴当|a-b|最大时，|m-n|最大.

∴a的值可以取8，6，4，2

∴，a取最大值8，b取最小值1，|a-b|此时最大

当a=8，b=1时，|a-b|=7，k=394，|m-n|=801。

【分析】此题考查新定义运算下整式加减的应用。结合“向上数”“向下数”的定义，列出代数式，根据结果是整数的要求，得到字母的取值范围是关键。

23．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方

【解析】【分析】考查实数的运算、多项式相乘法则和整式乘法法则。其中，要注意负指数的计算，

24．【答案】解：

，

∵，

∴，，

∴，，

∴原式．

【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；利用整式的混合运算化简求值

【解析】【分析】本题考查整式的化简求值和平方、算术平方根的非负性。解题过程中，要注意去括号原则，括号前是负号，括号里的每一项出来要变号。

25．【答案】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，；

（2）解：连接，

∵，，等腰三角形三线合一．

是的垂直平分线，

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

垂直平分线的