九年级数学上册第二十三章 旋转单元培优训练（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

/2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）第二十三章旋转单元培优训练班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：第23章旋转，共23题；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·广东河源·八年级期中）下列运动形式属于旋转的是(

)A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪【答案】C【解析】【分析】根据旋转的定义逐一进行判断即可得到正确的结论.【详解】解：在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象.故选：C.【点睛】本题主要考查关于旋转的知识，题目比较简单，属于基础题目，大部分学生能够正确完成，熟练掌握旋转的定义是解决本题的关键.2．（2021·全国·九年级单元测试）已知点与点关于原点对称，则点的坐标（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．【详解】解：点与点关于原点对称，则点的坐标为，故选：B．【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．3．（2019·天津·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，∴选项A、C不一定正确，∴∠A=∠EBC，∴选项D正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，∴选项B不一定正确；故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．4．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（） B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．5．（2019·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.【详解】四边形OABC是正方形，且，，将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，，继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……，发现是8次一循环，所以…余3，点的坐标为，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.6．（2022·重庆第二外国语学校八年级期中）如图在中，，将绕点沿逆时针方向旋转后与重合，若，则的值为（

）A．32 B．48 C．42 D．58【答案】C【解析】【分析】只需要求出∠BOD的度数即可得到答案．【详解】解：由旋转的性质可得∠COD=∠AOB=90°，∵∠BOC=132°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=42°，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2021·云南昆明·八年级期末）将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若点E的坐标为，则点G的坐标为_____．【答案】或【解析】【分析】先利用正方形的性质，利用旋转画出正方形OEFG，从而得到G点的坐标．【详解】把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为G（或G´），如图，则G点的坐标为(2，-3)或G′的坐标为(﹣2，3)，【点睛】本题考查坐标与图形的变换，涉及旋转、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2020·广西·中考真题）以原点为中心，把逆时针旋转90°得到点，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．【详解】解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），故答案为：（-4，3）．【点睛】此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．9．（2021·全国·八年级课时练习）如图，将绕点O旋转得到，若，则__________，__________，__________．【答案】

1

【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转前、后的两个图形全等，旋转角相等，可得出答案．【详解】∵∠BAC+∠C=60°∴∠ABC=180°-60°=120°∵△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′∴△ABC≌△A′B′C′∴AC=A′C′，∠ABC=∠A′B′C′∵AC=1，∠ABC=120°∴A′C′=1，∠A′B′C′=120°∵△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′，∠AOA′=50°，∴∠AOA′=∠BOB′=50°′∵∠A′OB=30°∴∠A′OB′=50°-30°=20°故答案为：1，20°，120°【点睛】本题考察了旋转的性质．做题的关键是明白旋转前、后的两个图形全等，找到对应边和对应角；旋转角相等，找到旋转角即可．10．（2019·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________【答案】【解析】【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，显然△MOP为等边三角形，∴，OM＋OG＝OP＋PQ，∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∵MQ＝MG＝4，∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，∴NQ＝，故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.11．（2019·辽宁营口·中考真题）如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________．【答案】8【解析】【分析】过点A作于M，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．【详解】过点A作于M，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，，∴在中，；故答案为8．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由，即可求解．【详解】解：根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），，…，由此发现，旋转8次一个循环，∵，∴A2021的坐标是．故答案为：【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．【答案】∠CC'A=70°【解析】【分析】先根据平行线的性质，由得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°．【详解】∵，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠CC'A=70°，【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）已知，求的长．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；（2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长．【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：根据旋转：∵四边形是正方形∴∠DAB=90°∴∠FAE＝∠DAB=90°∴∴四边形是矩形，又∵∴矩形是正方形．（2）连接∵，在中，∵四边形是正方形∴在中，，又，∴．故答案是17．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．15．（2022·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC．将绕顶点B逆时针旋转到的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．【答案】(1)见解析(2)菱形，理由见详解【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，，根据全等三角的判定定理得到；（2）由旋转的定义得，因此，根据三角形的内角和定理得，因此，，证得四边形A1BCE为平行四边形，由于，证得四边形A1BCE为菱形．(1)证明：∵是等腰三角形，∴，，∵将绕顶点B逆时针旋转到的位置，∴，∴，，，在与中，，∴(ASA)；(2)解：四边形是菱形，理由如下：∵将绕顶点B逆时针旋转到的位置，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定定理等，熟悉掌握旋转的性质，全等三角形的判定定理，菱形的判定方法是本题的解题关键．16．（2022·江苏南京·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长．【答案】∠BAD=60°，AD的长为5．【解析】【分析】由旋转的性质可得出∠ADE=60°、DA=DE，进而可得出△ADE为等边三角形以及∠DAE=60°，由点A、C、E在一条直线上可得出∠BAD=∠BAC-∠DAE=60°；由点A、C、E在一条直线上可得出AE=AC+CE，根据旋转的性质可得出CE=AB，结合AB=3、AC=2可得出AE的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD的长度．【详解】解：∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE=60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE．∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5．∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5．【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE为等边三角形是解题的关键．17．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．(1)当点E恰好在AC上时，如图1，求的大小；(2)若时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形（请用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝AC，从而得出BF＝AB，然后证出△ACD和△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．(1)解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°．(2)证明：如图2，连接AD，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF=CF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF=CF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，在Rt△CFD和Rt△ABC中，∴Rt△CFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．数的增减性来解答．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是，，．（1）将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（2）将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积【答案】（1）见解析；（2）11【解析】【分析】（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的；（2）根据平移的规律求出，再连接点，得，将三角形分割乘两个三角形的面积之和，求出公共边的长即可求解．【详解】解：（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的，如下图所示：（2）由题意，，，平移后得到，其中，根据平移的规律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得：，再连接点，得，其中交轴于点,如上图所示：由得出直线的方程如下：直线：当时，，，,故．【点睛】本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键是：掌握图象旋转和平移的性质，求不规则三角形面积可以分割为两个规则的三角形面积之和．19．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18【解析】【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点在直线上；∵，，∴，∴，即．∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．（2）作于，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，即以、为邻边的正方形面积．【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．20．（2021·全国·八年级专题练习）如图，D是的边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60°恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数．【答案】42°【解析】【分析】根据旋转的性质得到，再根据计算解题即可．【详解】解：∵把绕点A顺时针旋转60°恰好得到，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查旋转、角的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析【解析】【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可；（2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可.【详解】解：（1）如图，线段即为所求作的线段，（2）如图，线段即为所求作的线段，【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.22．（2021·全国·八年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．【答案】（1）90°；（2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；（2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长．【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴，∵CD＝3AD，∴，，由旋转的性质可知：AD＝EC＝，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌