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文档简介
PAGE双基限时练(二十三)向量应用举例一、选择题1.已知三个力eq\o(F1,\s\up16(→))=(-2,-1),eq\o(F2,\s\up16(→))=(-3,2),eq\o(F3,\s\up16(→))=(4,-3),同时作用于某物体上同一点,为使物体保持平衡,现加上一个力eq\o(F4,\s\up16(→)),则eq\o(F4,\s\up16(→))等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)解析∵eq\o(F1,\s\up16(→))+eq\o(F2,\s\up16(→))+eq\o(F3,\s\up16(→))=(-2-3+4,-1+2-3)=(-1,-2),又eq\o(F1,\s\up16(→))+eq\o(F2,\s\up16(→))+eq\o(F3,\s\up16(→))+eq\o(F4,\s\up16(→))=0,∴eq\o(F4,\s\up16(→))=(1,2).答案D2.过点P(2,1),且垂直于向量a=(-1,2)的直线方程为()A.x-2y=0 B.x-2y-4=0C.2x-y=0 D.2x-y-4=0解析设Q(x,y)为直线上异于P的任意一点,由题意得eq\o(PQ,\s\up16(→))·a=0,得x-2y=0,又P(2,1)在直线x-2y=0上,故选A.答案A3.若向量eq\o(OF1,\s\up16(→))=(2,2),eq\o(OF2,\s\up16(→))=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为()A.(0,5) B.(4,-1)C.2eq\r(2) D.5解析eq\o(OF1,\s\up16(→))+eq\o(OF2,\s\up16(→))=(0,5),∴|F1+F2|=5.答案D4.设O为△ABC所在平面内一点,且满足eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))=eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))=eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→)),则O是△ABC的()A.内心 B.外心C.垂心 D.重心解析由eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))=eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))得eq\o(OB,\s\up16(→))·(eq\o(OA,\s\up16(→))-eq\o(OC,\s\up16(→)))=0,即eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))=0,∴OB⊥AC,同理,OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为△ABC的垂心.答案C5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成120°角,且F1,F2的大小分别为1和2,则有()A.F1,F3成90°角B.F1,F3成150°角C.F2,F3成90°角D.F2,F3成60°角解析由F1+F2+F3=0⇒F3=-(F1+F2)⇒Feq\o\al(2,3)=(F1+F2)2=Feq\o\al(2,1)+Feq\o\al(2,2)+2|F1||F2|cos120°=1+4+4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=3⇒|F3|=eq\r(3),由|F1|=1,|F2|=2,|F3|=eq\r(3)知,F1,F3成90°角,故选A.答案A6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同),且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4) B.(-30,25)C.(10,-5) D.(5,-10)解析设所求点P的坐标为(x,y),则(x+10,y-10)=(20,-15).∴x=10,y=-5.∴点P的坐标为(10,-5).答案C二、填空题7.在△ABC中,|eq\o(AB,\s\up16(→))|=|eq\o(AC,\s\up16(→))|=2,且eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))=2,则△ABC的形状是________.解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))=|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(AC,\s\up16(→))|cosA=4cosA=2,∴cosA=eq\f(1,2),又∠A为△ABC的内角.∴∠A=60°.又|eq\o(AB,\s\up16(→))|=|eq\o(AC,\s\up16(→))|,∴△ABC为等边三角形.答案等边三角形8.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10N,方向与水平面成60°,当小车向前运动10m,则力eq\o(F,\s\up16(→))做的功是__________.解析W=F·cos60°·s=5×10=50(J).答案50J9.已知平面上三点A,B,C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|=2,|eq\o(BC,\s\up16(→))|=1,|eq\o(CA,\s\up16(→))|=eq\r(3),则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))+eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))=__________.解析由题可知,△ABC为直角三角形,∠C为直角,故eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))+eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))=eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))=eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(BC,\s\up16(→))+eq\o(CA,\s\up16(→)))=eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))=-|eq\o(AB,\s\up16(→))|2=-4.答案-410.在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up16(→))=eq\o(DC,\s\up16(→))=(1,1),eq\f(1,|\o(BA,\s\up16(→))|)eq\o(BA,\s\up16(→))+eq\f(1,|\o(BC,\s\up16(→))|)eq\o(BC,\s\up16(→))=eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up16(→))|)eq\o(BD,\s\up16(→)),则四边形ABCD的面积为________.解析由题意知四边形ABCD为平行四边形,且有|eq\o(AB,\s\up16(→))|=|eq\o(DC,\s\up16(→))|=eq\r(2),eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)+\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)\o(BD,\s\up16(→)),|\o(BD,\s\up16(→))|))),即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)+\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))=eq\r(3),两边平方,得1+2eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)+1=3,∴eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)=eq\f(1,2),则coseq\o(BA,\s\up16(→)),eq\o(BC,\s\up16(→))=eq\f(1,2),即∠B=60°,∴S=|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(BC,\s\up16(→))|sin60°=eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3).答案eq\r(3)三、解答题11.已知A(eq\r(3),-2)与B(-eq\r(3),4),若PA=PB,求动点P的轨迹方程.解设AB的中点为M,则M(0,1),设P(x,y),则eq\o(PM,\s\up16(→))=(-x,1-y),eq\o(AB,\s\up16(→))=(-2eq\r(3),6).∵PA=PB,∴PM⊥AB.∴eq\o(PM,\s\up16(→))⊥eq\o(AB,\s\up16(→)).∴2eq\r(3)x+6-6y=0,即所求轨迹方程为eq\r(3)x-3y+3=0.12.一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,风速为4m/s,这时气象台报告的实际风速为2m/s,试求风的实际方向和汽车速度的大小.解依据物理知识,有三对相对速度,车对地的速度为v车地,风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地,风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即v风地=v风车+v车地,如图所示.根据向量求和的平行四边形法则,可知表示向量v风地的有向线段eq\o(AD,\s\up16(→))对应▱ABDC的对角线,因为|eq\o(AC,\s\up16(→))|=4,∠ACD=30°,|eq\o(AD,\s\up16(→))|=2,所以∠ADC=90°,在Rt△ADC中,|eq\o(DC,\s\up16(→))|=|eq\o(AC,\s\up16(→))|cos30°=2eq\r(3),所以风的实际方向是正南方向,汽车速度的大小为2eq\r(3)m/s.13.如图,D为△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.证明如图所示,设eq\o(AB,\s\up16(→))=a,eq\o(AC,\s\up16(→))=b,eq\o(AD,\s\up16(→))=e,eq\o(
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