高一数学试卷必修4双基限时练23

PAGE双基限时练(二十三)向量应用举例一、选择题1．已知三个力eq\o(F1,\s\up16(→))＝(－2，－1)，eq\o(F2,\s\up16(→))＝(－3,2)，eq\o(F3,\s\up16(→))＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力eq\o(F4,\s\up16(→))，则eq\o(F4,\s\up16(→))等于()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析∵eq\o(F1,\s\up16(→))＋eq\o(F2,\s\up16(→))＋eq\o(F3,\s\up16(→))＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又eq\o(F1,\s\up16(→))＋eq\o(F2,\s\up16(→))＋eq\o(F3,\s\up16(→))＋eq\o(F4,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(F4,\s\up16(→))＝(1,2)．答案D2．过点P(2,1)，且垂直于向量a＝(－1,2)的直线方程为()A．x－2y＝0 B．x－2y－4＝0C．2x－y＝0 D．2x－y－4＝0解析设Q(x，y)为直线上异于P的任意一点，由题意得eq\o(PQ,\s\up16(→))·a＝0，得x－2y＝0，又P(2,1)在直线x－2y＝0上，故选A.答案A3．若向量eq\o(OF1,\s\up16(→))＝(2,2)，eq\o(OF2,\s\up16(→))＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0,5) B．(4，－1)C．2eq\r(2) D．5解析eq\o(OF1,\s\up16(→))＋eq\o(OF2,\s\up16(→))＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.答案D4．设O为△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))，则O是△ABC的()A．内心 B．外心C．垂心 D．重心解析由eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))得eq\o(OB,\s\up16(→))·(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝0，∴OB⊥AC，同理，OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心．答案C5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有()A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角解析由F1＋F2＋F3＝0⇒F3＝－(F1＋F2)⇒Feq\o\al(2,3)＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2|F1||F2|cos120°＝1＋4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3⇒|F3|＝eq\r(3)，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝eq\r(3)知，F1，F3成90°角，故选A.答案A6．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同)，且每秒移动的距离为|v|个单位．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析设所求点P的坐标为(x，y)，则(x＋10，y－10)＝(20，－15)．∴x＝10，y＝－5.∴点P的坐标为(10，－5)．答案C二、填空题7．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝2，且eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2，则△ABC的形状是________．解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(AC,\s\up16(→))|cosA＝4cosA＝2，∴cosA＝eq\f(1,2)，又∠A为△ABC的内角．∴∠A＝60°.又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°，当小车向前运动10m，则力eq\o(F,\s\up16(→))做的功是__________．解析W＝F·cos60°·s＝5×10＝50(J)．答案50J9．已知平面上三点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝1，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝__________.解析由题可知，△ABC为直角三角形，∠C为直角，故eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝－|eq\o(AB,\s\up16(→))|2＝－4.答案－410．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up16(→))|)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up16(→))|)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up16(→))|)eq\o(BD,\s\up16(→))，则四边形ABCD的面积为________．解析由题意知四边形ABCD为平行四边形，且有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)\o(BD,\s\up16(→)),|\o(BD,\s\up16(→))|)))，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BC,\s\up16(→))|)))＝eq\r(3)，两边平方，得1＋2eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＋1＝3，∴eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(1,2)，则coseq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)，即∠B＝60°，∴S＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(BC,\s\up16(→))|sin60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)三、解答题11．已知A(eq\r(3)，－2)与B(－eq\r(3)，4)，若PA＝PB，求动点P的轨迹方程．解设AB的中点为M，则M(0,1)，设P(x，y)，则eq\o(PM,\s\up16(→))＝(－x,1－y)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2eq\r(3)，6)．∵PA＝PB，∴PM⊥AB.∴eq\o(PM,\s\up16(→))⊥eq\o(AB,\s\up16(→)).∴2eq\r(3)x＋6－6y＝0，即所求轨迹方程为eq\r(3)x－3y＋3＝0.12．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4m/s，这时气象台报告的实际风速为2m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地，如图所示．根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段eq\o(AD,\s\up16(→))对应▱ABDC的对角线，因为|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝4，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|cos30°＝2eq\r(3)，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2eq\r(3)m/s.13．如图，D为△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e，eq\o(