专题06函数的单调性与最值

专题06函数的单调性与最值№专题06函数的单调性与最值№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题06函数的单调性与最值命题解读命题预测复习建议函数的单调性是函数的一个重要性质，在历年的高考中，单调性都有考察，这部分往往与导数去相联系，单纯的用定义证明函数单调性的题目几乎没有。对于最值问题往往与函数单调性相联系，在闭区间上的最值是出现最多的，而在导数极值最值那部分考察的比较多。预计2024年的高考函数的单调性出题还是以选择或者填空为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题。集合复习策略：1.理解函数单调性的定义；2.掌握函数单调性的应用；3.会利用函数的单调性求参数的范围。→➊考点精析←一.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．二.函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．三.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．四.函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数；eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为(－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a))．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”五.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反；(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．→➋真题精讲←1.（2023新高考Ⅰ卷·4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2.（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．3.（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.4.（2023全国理科乙卷·6）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.5.（全国理科乙卷·11）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.6.（2023全国文科乙卷·8）函数存在3个零点，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.7.（2023全国文科乙卷·10）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.8.（2023新高考Ⅰ卷）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.9.（2023全国理科甲卷）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【小问1详解】令,则则当当,即.当,即.所以上单调递增,在上单调递减【小问2详解】设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.10.（2023全国文科甲卷）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.→➌模拟精练←1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，确定函数单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：D2．（2023·江苏·统考二模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的图象与性质可得及，继而可得，计算可得结果.【详解】化简，在时，，该区间上有零点，故，又时单调，则，即，故故选：C4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围.【详解】对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，又，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：C.5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数．设s为正数，则在中（

）A．不可能同时大于其它两个 B．可能同时小于其它两个C．三者不可能同时相等 D．至少有一个小于【答案】D【分析】利用导数分析函数的单调性和最值，并结合的大小关系，通过赋值或分类讨论分析判断.【详解】∵，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，则，且，对A：若，则，则，A错误；对B、C：当时，则，故；当时，则，故；当时，则，故；当时，则，故；综上所述：不可能同时小于，B、C错误；对D：构建，则当时恒成立，故在上单调递减，则，令，可得，则，故，即，使得，反证：假设均不小于，则，显然不成立，假设不成立，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：在比较与的大小关系时，通过构建函数，结合导数分析判断.6．（2023·江苏·统考二模）已知函数，则（

）A．是偶函数，也是周期函数 B．的最大值为C．的图像关于直线对称 D．在上单调递增【答案】BD【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到，从而得到其极值，即可判断B，根据对称性的定义即可判断C，由在的正负性即可判断D.【详解】因为，定义域为，关于原点对称，且，则是奇函数，故A错误；因为，令，则或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，故B正确；因为，，所以不关于对称，故C错误；因为，当时，，则，所以在上单调递增，故D正确.故选:BD7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．B．的最大值是C．在上单调递增D．若函数在区间上恰有个极大值点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】，A选项：，A选项正确；B选项：设，则，解得，，即，即的最大值为，B选项正确；C选项：因为，所以在上不单调，C选项错误；D选项：，令，解得，即或，，当，时，，函数单调递减，当当，时，，函数单调递增，所以函数的极大值点为，，，，又函数在区间上恰有个极大值点，则，即，D选项正确；故选：ABD.8．（2023·广东·统考一模）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，，求实数的取值范围.【解析】（1）求导得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）方法一：由题知不等式在上恒成立，则原问题等价于不等式在上恒成立，记，则，记，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，得，即，所以，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.方法二：由题知不等式在上恒成立，原问题等价于不等式在上恒成立，即在上恒成立.记，则，当单调递减，单调递增，因为即，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，令，显然单调递增，且，故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.9.（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，其中且．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；(3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．【解析】（1）当时，，定义域为R．，令，得．当时，；当时，．所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）函数的不动点即为方程的根，即方程的根．显然，不是方程的根，所以．记，因为（当且仅当取等号），所以在和上均单调递增．由，记．①当时，（ⅰ）当时，，（可设当，当，在单调递减，在单调递增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）当时，，（设当，当，在单调递增，在单调递减，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②当时，（ⅰ）当时，无零点；（ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得．综上所述，当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．（3）记，由（1）知，当时，函数单调递增，且；当时，函数单调递增，且；当时，函数单调递减，且当趋向于无穷时，的增长速率远远大于一次函数的增长速率，则．当，由（2）知（其中）．由，代入得．因为，所以此时只有一个解；因为，所以此时有两个解，故共有三个解，不满足题意；当，由（2）知由，代入得，当时，只有一个解，不满足题意，此时；时，共有两个解，满足题意，综上所述，当且时方程有两个不同实数根．10．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数的定义域是，当时，，令得，所以函数在上单递递增；令得，所以函数在上单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．（2）恒成立，等价于恒成立，令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以恒成立，等价于恒成立令，问题等价于恒成立①若时，恒成立，满足题意；②若时，则，所以，不满足题意；③若时，因为，令，得，，，单调递减，，，单调递增，所以在处取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得综上：【解法二】恒成立，等价于，令①若时，，所以在上单调递增，，即，满足，②若时，则，，所以在上单调递增，由，函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；所以，使得，不满足题意．③若时，令，∴，令，则在上单调递增，函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；则，；，，；，，所以，，，，，单调递减，，，单调递增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上单调递增，，∴时，，，，所以在上单调递增，∴，即，综上：11．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.12．.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.→➍专题训练←1．（2023·安徽黄山·统考三模）定义在上的奇函数，满足对且，都有成立，则当不等式成立时，的最小值为________.【答案】【详解】由题设在上递减，又在R上为奇函数，所以在上递减，则在R上递减，由，则，可得，，仅当，即时等号成立，所以，上述等号取不到，而，且在上递增，时，所以的最小值为4.故答案为：42．（2023·河南·校联考三模）已知函数，若，则的取值范围是__________.【答案】【详解】因为函数，定义域为，且，则，即，即为奇函数，当时，，均单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以是奇函数且在上单调递增，由，可得，则，解得，即的取值范围为.故答案为：3．（2023·河南·校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是__________.【答案】【详解】因为函数定义域为，，，所以是奇函数且在上单调递增，由0，可得，则，解得，即的取值范围是.故答案为：.4．（2023·全国·校联考三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】