sin立方的不定积分

sin立方的不定积分要求求解$\int\sin^3(x)dx$的不定积分。

我们可以利用三角恒等式将$\sin^3(x)$转化为不含立方项的三角函数。根据三角恒等式$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$，我们可以将其重写为$\sin^3(x)=\sin^2(x)\cdot\sin(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)$。

现在，我们只需要求解$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx$这个积分。

我们可以将积分中的乘积展开成两个部分，即$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx-\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx$。然后，我们可以利用积分的线性性质将其分别求解。

首先，求解$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx$。我们可以使用基本积分公式$\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C$来求解，其中$C$为常数。因此，$\int\frac{1}{2}\sin(x)dx=-\frac{1}{2}\cos(x)+C_1$，其中$C_1$也为常数。

接下来，我们求解$\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx$。为了求解这个积分，我们可以使用换元法。令$u=\sin(x)$，则$du=\cos(x)dx$，并可以得到$dx=\frac{du}{\cos(x)}$。将其代入原积分中，得到：

$\int\frac{\cos(2x)}{2}\sin(x)dx=\int\frac{\cos(2x)}{2}u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int\cos(2x)u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$.

现在，我们可以利用三角恒等式$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$将其进一步简化：

$\frac{1}{2}\int(2\cos^2(x)-1)u\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int(2u\cos^2(x)-u)\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\intu\cos^2(x)\cdot\frac{du}{\cos(x)}-\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\intu\cos(x)du-\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}$.

现在，我们可以使用基本积分公式来求解这两个积分。第一个积分$\frac{1}{2}\intu\cos(x)du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}u^2\sin(x)+C_2=\frac{1}{4}u^2\sin(x)+C_2$，其中$C_2$为常数。

第二个积分$\frac{1}{2}\intu\cdot\frac{du}{\cos(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{u}{\cos(x)}du$可以使用换元法进行求解。令$v=\sin(x)$，则$dv=\cos(x)dx$，并可以得到$dx=\frac{dv}{\cos(x)}$。将其代入原积分中，得到：

$\frac{1}{2}\int\frac{u}{\cos(x)}du=\frac{1}{2}\int\frac{v}{\cos(x)}\cdot\frac{dv}{\cos(x)}$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{\cos^2(x)}dv$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-\sin^2(x)}dv$

$=\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv$.

现在，我们可以使用部分分式分解来求解这个积分。将分母进行分解，可以得到$\frac{1}{1-v^2}=\frac{A}{1+v}+\frac{B}{1-v}$，其中$A$和$B$为待定常数。通过通分，得到$1=A(1-v)+B(1+v)$。展开并整理，可以得到$1=(A+B)+(B-A)v$。

由于上式对于任意的$v$成立，我们可以得到以下方程组：

$A+B=1$

$B-A=0$.

解这个方程组可以得到$A=B=\frac{1}{2}$。因此，我们可以将分式分解为$\frac{1}{1-v^2}=\frac{1}{2(1+v)}+\frac{1}{2(1-v)}$。

现在，我们可以将$\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv$这个积分重新表达为两个较为简单的积分：

$\frac{1}{2}\int\frac{v}{1-v^2}dv=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{2(1+v)}+\frac{1}{2(1-v)}\right)dv$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln|1+v|-\frac{1}{2}\ln|1-v|\right)+C_3$

$=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3$.

现在，我们已经求解出了两个积分，$\frac{1}{4}u^2\sin(x)+C_2$和$\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3$。

最后，将这两个积分的结果代入$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx$可得：

$\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{2}\int\sin(x)dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\sin(x)dx$

$=-\frac{1}{2}\cos(x)+C_1-\left(\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right|+C_3\right)$

$=-\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+\sin