第二章误差理论与数据处理课件

§2.1随机误差定义：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号的不可预定方式变化的误差，该数的出现没有确定的规律，但具有统计规律性。其产生的原因不外乎有测量装置、环境方面、人员方面等因素所造成。§2.1随机误差定义：1二、随机误差的几个统计量随机误差常见的几个统计量有均值、均方值、方差等。1、均值均值即算术平均值。（1）算术平均值的意义

在测量中，被测量的N个测得值的代数和除以N得到的值称之为算术平均值。设n次测得值为则算术平均值为：二、随机误差的几个统计量随机误差常见的几个统计2由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加时，则算术平均值必然接近于真值0。设被测量的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差为：式中，由于实际测量的次数都是有限的，我们只能用算术平均值代替被测量的真值进行计算。这时定义残差（测量之残余误差）

依据算术平均值的定义计算算术平均值既烦琐又易产生错误，可用下列简便方法计算：由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加时3任选一个接近所有测量值的数(称为中数)作为参考值，计算每个测得值与中数的差值因则当取值合适时因前后相减而变得好计算。任选一个接近所有测量值的数(称为中数)作4（2）计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用残余误差代数和性质进行校核。因于是残余误差代数和为零的性质可作为校核算术平均值及其残余误差计算是否正确的依据。（2）计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否5

但是由于存在有效数字舍入的情况，实际得到的可能是经过凑整的非准确数，存在舍入误差即

舍前值舍后值

但是由于存在有效数字舍入的情况，实际得到的6规则一当n为偶数时：

当n为奇数时：

式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。规则一当n为偶数时：7规则二（1）当，求得的为非凑整的准确数时，为零；（2）当，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数；（3）当，求得的为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数；规则二（1）当，求得的为非凑82、方差（1）定义：方差一般也称之为标准差，这里计算单次测量的标准差。在等精度测量中，单次测量的标准差按下列公式计算：

2、方差（1）定义：方差一般也称之为标准差，这里计算单次测量9实际上真值一般情况下是未知，在有限次测量下，用残余误差代替随机误差可得到标准差的估计值：实际上真值一般情况下是未知，在有限次测量下，10该证明如下：（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：（二）随机误差一次方与二次方的和式公式：该证明如下：（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：11（三）求平均值误差平方和的公式：（四）展开随机误差平方和公式：（三）求平均值误差平方和的公式：12（2）测量列算术平均值的标准差算术平均值的标准差是算术平均值作为测量结果后其不可靠性的评定标准。也可用于表示同一被测量的多个独立测量列算术平均值的分散性的参数。因为各个独立测量列的算术平均值由于随机误差的存在也不可能相等，必在真值的上下有一定的分散。（2）测量列算术平均值的标准差算术平均值的标13算术平均数值标准差公式推导算术平均数值标准差公式推导14结论在n次测量的等精度测量中，算术平均值的标准差是单次测量标准差，，。但也不是n越大越好，因为要出较大的劳动，而且难保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。一般情况下去n=10为宜。标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法，最大误差法等。结论在n次测量的等精度测量中，算术平均值的标15

（4）别捷尔斯（Peters）法（4）别捷尔斯（Peters）法16（4）极差法等精度多次测量被测值服从正态分布，在其中选取最大值与最小值，则两者之差称为极差：标准差的无偏估计：极差法可迅速算出标准差，并且有一定精度，一般在n<10均可采用，不象Bessel或Peters法那样求算术平均值，残余误差那么麻烦。（4）极差法等精度多次测量被测值17（4）最大误差法

当多个独立测量值服从正态分布时，可用下式求得的标准差的无偏估计：

最大误差法简单、迅速、方便，且n<10时，该法具有一定精度。在代价较高的破坏性实验中一般只容许进行一次实验，且需估计精度情形下，则该法则特别有用。（4）最大误差法当多个独立测量值服从正态183．不等精度测量上述都是等精度测量问题，一般测量实践中基本都属于这种类型。为了得到更为精确的测量结果，我们便会遇到不等精度测量问题：（一）不同的测量条件；（二）不同的测量仪器；（三）不同的测量方法；（四）不同的测量人员（五）不同的测量次数。3．不等精度测量上述都是等精度测量问题，一般19测量次数的不等精度测量问题不同的测量次数的不等精度测量问题是比较常见的。定义：即在相同的测量条件，同一个测量者使用相同的测量仪器和测量方法对同一测量量进行了多组的测量。如何求得最后的测量结果及精度？测量次数的不等精度测量问题不同的测量次数的不20（1）权的概念在等精度测量中，各个测得值认为同样可靠，既具有相同的权。在不等精度测量中，如不同的测量次数，各组的平均值的可靠精度不一样，最终的结果不能简单地表示为算术平均值的形式：而应将可靠程度大的测量结果在最后的结果中所占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。（1）权的概念在等精度测量中，各个测得值认为21权的定义各测量结果可靠程度用一数值表示出来，即可靠程度大一些的，数值大一些，用P表示，这就是权的概念。权的定义各测量结果可靠程度用一数值表示出来，22（2）权的确定方法★不同的测量条件：测量条件好的，权高；测量条件差的，权低。★不同的测量仪器：精度高的仪器，权高；精度低的，权低。★不同的测量方法：测量方法完善的，权高；测量方法低劣的，权低。★不同的测量人员：经验丰富的，权高；新手，权低。（2）权的确定方法★不同的测量条件：测量条件好的，权高；测量23这些权的确定，都基于权代表的数值的可靠程度这一原则。不同测量次数的不等精度测量是我们的研究重点。因单次测量精度皆相同，其标准差均为，第i组的权用表示这些权的确定，都基于权代表的数值的可靠程度这24权与标准差的关系权与标准差的关系25结论每组测量结果的权与其相应的平均值的方差成反比。结论每组测量结果的权与其相应的平均值的方差成26权的计算将各组的权予以约简，用简单的数值来表示各组的权，如设，则，则权的计算将各组的权予以约简，用简单的数值来27（3）加权算术平均值（3）加权算术平均值28等精度测量是不等精度测量的特例各组的权相等时，，可见不等精度测量是等精度测量的特例。等精度测量是不等精度测量的特例各组的权相等时29（4）加权算术平均值的标准差当单次测量的标准差可知时：全部测得值的算术平均值的标准差为：

（4）加权算术平均值的标准差当单次测量的标准30为什么要权单位化？当不可知时，各组测量结果的残余误差为。因该残余误差是不等精度的测量列，其权不一致，为此需使得其权位单位化。为什么要权单位化？当不可知时，各组31单位权化的定义单位权化的实质就是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。单位权化的定义单位权化的实质就是使任何一个量32证明：证明：33已知各组测量结果的残余误差为：单位权化可得：

已成为等精度测量列，也成为等精度测量列，将代入等精度测量列求标准查的公式中，就有

已知各组测量结果的残余误差为：34例子：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为：999.9425mm（三次测量），999.9416mm（两次测量），999.9419mm（五次测量），求最后测量结果及标准查。解：

测量结果为：例子：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准35三、随机误差的几种分布随机误差的分布中，最常见的是正态分布，还有均匀分布、三角形分布、分布、分布、分布等。1、正态分布测量列的随机误差满足下列四个条件的概率分布，称之为正态分布，也称高斯（Gauss）分布。三、随机误差的几种分布随机误差的分布中，最常36高斯公布的四个特点对称性：正误差与负误差出现的次数在绝对值相等时一样。单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值更加趋于零。高斯公布的四个特点对称性：正误差与负误差出现的次数在绝对值相37正态分布的密度与分布函数分别为：

正态分布曲线正态分布的密度与分布函数分别为：38该分布的数字期望（均值）为：该分布的均方差（方差）为：该分布的数字期望（均值）为：39标准差的讨论由图可见，，，曲线变高，反之低些。可见，标准差小，该测量列相应小的误差就有优势，任意单次测量对算术平均值的分散度就小，测量数据的可靠性就大，精度高，反之，亦然。可见单次测量的标准差是表征同一被测量的测得值的分散性的参数。标准差的讨论由图可见，，402、均匀分布该分布的主要特点是：误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，又称之为矩形分布或等概率分布。典型的有数字式仪表在±1单位以内不能分辨的误差，数据计算中的舍入误差等，仪器度盘刻度误差所引起的误差等。2、均匀分布该分布的主要特点是：误差有一确定的范围，在此范41均匀分布的分布密度的分布函数分别为：均匀分布曲线均匀分布的分布密度的分布函数分别为：均匀分布曲线42其数学期望（均值）为：方差为：其数学期望（均值）为：方差为：433、分布令为个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义新的随机变量：

随机变量称为自由度为的方变量。3、分布令为个独立随机变量44的分布密度如图所示：卡方分布曲线的分布密度如图所示：卡方分布曲线45它的数字期望为：方差为：

分布是分布和分布的基础，当逐渐增大时，分布函数逐渐对称，且趋近正态曲线。它的数字期望为：464.分布令为自由度为的分布，为标准正态分布函数，且独立，定义新的随机变量：

为自由度。

4.分布令为自由度为47分布的密度函数为（如图所示）分布曲线分布的密度函数为（如图所示）分布曲线48它的数字期望为：方差为，标准差为该分布当时分布曲线趋近于正态分布。当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计或者在检验测量数据的系统误差时经常用到。它的数字期望为：495、分布设随机误差与相互独立，且构造随机变量：则称为自由度是（，）的分布，为第一自由度，为第二自由度。5、分布设随机误差与50分布的分布密度为：分布曲线分布的分布密度为：分布曲线51分布的数字期望方差为

分布的数字期望52四、测量的极限误差设测量列的测量次数足够多且单次测量误差满足正态分布，测量的极限误差就是测量结果（含单次测量和算术平均值）的误差不超过对应概率的误差区间的误差。四、测量的极限误差设测量列的测量次数足够多且53对于单次测量，我们知道随机误差在范围内的概率为：令，有

为N（0，1）的标准正态分布的概率积分，由查表可知。对于单次测量，我们知道随机误差在54当t=3时，即=时，在370次测量中，只有一次误差绝对值超出范围，由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即：。当t=3时，即=时，在370次55当t=3时，对应的概率为99.73%，如图所示t=3时，大概370次有一次测量结果在区间之外当t=3时，对应的概率为99.73%，如图所示t=3时，大概56极限误差的求法：对于单次测量列的标准误差，给定置信系数t，则可由，求得极限误差。对应于多次测量列的算术平均值，设其满足正态分布，设t为置信系数，同样可使多次测量列的算术平均值的极限误差为：。极限误差的求法：对于单次测量列的标准误差57对应于t分布，同样可使其极限差，为置信系数。为超出极限误差的概率（显著水平）通常取。（测量次数较少时，正态分布应视之为“学生氏分布”或t分布。）对应于t分布，同样可使其极限差58例2.9中，应注意，按照公式求出算术平均值；标准差，后，当较小时（次），则应按“学生氏”分布对待之，一般令置信概率为，查表时应代入查。而正态分布得，。从而相差很大。第二章误差理论与数据处理课件59§2.2系统误差系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。系统误差和随机误差一样，同时存在于测量结果中，但与随机误差的不同的是系统误差不易被发现，同时多次重复测量不可能将系统误差剔除掉，这种潜伏性使得系统误差更具危险性，因此，研究系统误差的特征与规律性，用一定方法发现和减小或消除系统误差就显得十分重要。§2.2系统误差系统误差的特征是在同一条60一、系统误差的特征从系统误差的定义看，系统误差即是服从某一确定规律的误差，这样确定性规律一般分为不变、线性、周期性和复杂规律一、系统误差的特征从系统误差的定义看，系统误61（一）不变的系统误差即在整个测量过程中，误差符号和大小固定不变的系统误差，如量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm，误差为-0.001mm，若按公称尺寸使用，存在-0.001mm的系统误差。（一）不变的系统误差即在整个测量过程中，误差62随机误差和不变系统误差同时存在是被测量的真实值，为固定系统误差，为正态分布的随机误差的标准差，为极限误差之范围。随机误差和不变系统误差同时存在是被测量的真实值，63（二）线性变化的系统误差即在整个测量过程中，随着测量值或时间的变化，误差值成比例地增大或减小。如固定误差为1mm的标准刻尺，由于存在刻划误差，每一刻度间距实际为(1+/mm)mm，若用它与另一长度比较，得到的比值为K，则被测长度的实际值为L=K（1+/mm)mm。（二）线性变化的系统误差即在整个测量过程中，64（三）周期性系统误差

即在整个测量过程中，若随着测量值的或时间的变化，误差是按周期性规律变化的，称为周期性变化的系统误差。如仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心值e，则指针在任一转角引起的读数误差即为周期系统误差。此误差变化规律符合正弦曲线，指针在和时误差为零，而在和时误差最大，误差为。（三）周期性系统误差即在整个测量过程中，若65第二章误差理论与数据处理课件66（四）复杂规律的系统误差即在某个测量过程中，若误差是按确定的且复杂的规律变化的。如微安表的指针偏转角与偏转力矩不能严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差等（四）复杂规律的系统误差即在某个测量过程中，67二、系统误差的发现为了消除或减少系统误差，首先碰到的问题是如何发现系统误差。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细的分析，这是一件困难而又复杂的工作，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，下面只介绍适用与发现某些系统误差常用的几种方法。二、系统误差的发现为了消除或减少系统误差，68（一）实验对比法

即改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。只能发现固定的系统误差。如用高一精度的量块测量同一长度。（一）实验对比法即改变产生系统误差的条件进69（二）残余误差观察法即根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接给出误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。理论依据如下：设测量列的系统误差为，不含系统误差之值为：，则有：对应的算术平均值为：又，则有设系统误差显著大于随机误差，可忽略，则。（二）残余误差观察法即根据测量列的各个残余误70此式表明任一测量值的残余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差。该式表明对不变的系统，=0，与不存在系统误差的随机测量列一样，对测量列的残余误差作图即如下图所示的情况。a)表示无不变外的系统误差b)表示存在线性系统误差此式表明任一测量值的残余误差为系统误差与测量71c)表示含周期性系统误差

d)表示b)+c)的情形c)表示含周期性系统误差d)表示b)+c)的情形72（三）残余误差校核法1.用于发现线性系统误差设测量列有n个数据，取（n为偶数）或（n为奇数）足够大时，，则显著不为零时，有理由认为测量列存在系统误差，又称马利科夫准则，但是=0，不能说明测量列不存在系统误差，因为测量列误差相对中心点对称时，=0，但存在系统误差（线性的）。（三）残余误差校核法1.用于发现线性系统误差732.用于发现周期性系统误差设测量列残余误差排列为统计准则判断为：当时，认为测量列中含有系统误差（周期性的）。2.用于发现周期性系统误差74（四）不同公式计算标准差比较法依据：对等精度测量,可用不同公式计算标准差,通过比较以发现系统误差。作法：按Bessel分式：按Peters公式：取：若：则怀疑测量列中存在系统误差。（四）不同公式计算标准差比较法依据：对等精度75（五）计算数据比较法依据：对同一量进行多组测量，各组间的数据相减，当结果满足随机误差条件，可认为不存在系统误差。作法：测得m组，其算术平均值的标准差排列如下：取其标准差为若，则不存在系统误差。如著名的雪莱实验：化学法制氮：，大气中提取氮：，因：。此揭示出两种方法的本质区别，仍在于空气中存在惰性气体。（五）计算数据比较法依据：对同一量进行多组测76（六）秩和检验法作法：独立测得两组数据为：

将它们混合在一起，按大小顺序重新排列，取测得数据较少的一组，依次数出它们在混合列中的序号，相加之，即得秩和。当，查页的秩和检验表。设，，如满足，则认为两组之间不存在系统误差。当，秩和近似服从正态分布。

（六）秩和检验法作法：独立测得两组数据为：77这时将秩和代入极限误差公式：算出。选取概率，由正态分布积分表查询，若，则无根据怀疑两组间存在系统误差。

注意：

若两组数据中有相同的数据，排序时应错开排列，该数据的秩按排列的两个次序的平均值计算。若相同数据排在同一组中，也应错开排列，秩的计算同相异的数。第二章误差理论与数据处理课件78（七）t检验法作法：独立测得两组数，令变量此变量服从自由度为的t分布。取显著度，由t分布查表，得表中的，若实测数列中算出之，则无根据怀疑两组间有系统误差。（七）t检验法作法：独立测得两组数，79前四种方法用于测量列组内的系统误差，后三种方法用于发现各组测量列之间的系统误差。各种方法具有不同之特点，必须根据具体的测量仪器和测量过程选用相应的方法。如实验比对法要需较高的仪表作比对，残余误差观察法则发现不了不变的系统误差。前四种方法用于测量列组内的系统误差，后三种80三、系统误差的减小和消除减小和消除系统误差和具体的测量对象、测量方法、测量人员有关，没有统一的方法。这里介绍最基本的方法和适用与各种系统误差的特殊方法。（一）从产生误差的根源上消除系统误差这是最基本的方法，要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作认真的分析，进而消除之，如经常调整零点、仪器经常定期检定等，一般一年一次。三、系统误差的减小和消除减小和消除系统误差和81（二）用修正方法消除系统误差这种方法是先将测量仪器（表）的系统误差检定出来，做出误差或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。即测量结果=实测值+修正值第二章误差理论与数据处理课件82（三）不变系统误差消除法1.代替法该法实质即是在测量上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放在测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即：被测量=标准量+差值（三）不变系统误差消除法83如在等臂天平上称重，被测重量X先与媒介物重量Q平衡，如天平的两臂长有误差，设长度为，，则移去X，用已知质量P为标准砝码代替，重新平衡后有：则

若不能平衡，读出差值，从而如在等臂天平上称重，被测重量X先与媒介物重量Q平衡，如天平的842.交换法该法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差，如上列条件已知X，P交换位置后，才能平衡，即则取2.交换法85（四）线性系统误差消除法对称法是有效消除线性误差的有效误差之一。其原因如图所示，设某系统误差随时间或被测量成线性误差。取对称点作基准，如图的三点，这时：从而将系统误差的线性误差消除成不变的系统误差。（四）线性系统误差消除法对称法是有效消除线性误差的有86（五）周期性系统误差的消除法—半周期法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除系统误差。理由如下：设点：设点：令则第二章误差理论与数据处理课件87§2.3粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，粗大误差原因不外乎测量人员的主观原因和外界条件两个因素所引起。一、防止和消除粗大误差的原因