2022年河南省中原名校联盟高考数学适应性试卷（理科）（4月份）

2022年河南省中原名校联盟高考数学适应性试卷（理科）（4月份）1.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：集合的新定义问题列举法答案：A解析：由，，

可得：，，，，，

集合，

可得：所有元素之和，

故选2.设复数其中为虚数单位，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：共轭复数复数的乘法复数的除法答案：C解析：复数，

则，

故选3.已知，，，则，，的大小关系为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：幂指对综合比较大小答案：C解析：，，

，，

，，

，

故选4.已知下列四个命题，其中真命题的个数为（

）

①空间三条互相平行的直线，，，都与直线相交，则，，三条直线共面；

②若直线平面，直线平面，则；

③平面平面直线，直线平面，直线平面，则；

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.A.

B.

C.

D.

知识点：立体几何位置关系的综合应用答案：C解析：对于①，空间三条互相平行的直线，，，都与直线相交，

则，共面，由与，都相交，得到在，确定的平面内，

，相交，且与都平行，在，确定的平面内，

，，三条直线共面，故①正确；

对于②，若直线平面，直线平面，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得，故②正确；

对于③，平面平面直线，直线平面，直线平面，则由线面平行的性质得，故③正确；

对于④，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．

故选5.双曲线：的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的渐近线方程为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：双曲线的渐近线双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距答案：C解析：双曲线：的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，

可得，即，，

可得，

，解得，（负值舍去），

双曲线的渐近线方程为：

故选6.如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（

）

A.

？B.

？C.

？D.

？知识点：算法与程序框图答案：B解析：模拟程序的运行，可得，；

不满足退出循环的条件，执行循环体后：，；

不满足退出循环的条件，执行循环体后：，；

不满足退出循环的条件，执行循环体后：，；

不满足退出循环的条件，执行循环体后：，；

由题意可得，此时应当满足退出循环的条件，退出循环，输出的值为，

故判断框中应填入的关于的条件是？．

故选7.已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：利用函数奇偶性求解析式答案：A解析：因为是定义域为的奇函数，，

所以，

当时，，

设，则，

所以，

所以，

则时，，

所以，

故选8.若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：正弦曲线的对称中心正弦（型）函数的定义域和值域三角函数的图象变换答案：C解析：函数的图象向右平移个长度单位，

得，

又该函数图象关于点对称，

所以，，

解得，，

又，所以，得，

所以，

当时，，

所以，

所以在上的最小值为

故选总结：本题考查了三角函数图象平移与对称性问题，也考查了三角函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.9.已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，，则实数的值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数量积的性质直线与圆相交答案：D解析：直线与圆交于、两点，为坐标原点，，

，

为等边三角形，

故到直线的距离为：，

故选10.已知、是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：立体几何中的截面、交线问题球的表面积答案：D解析：、是球的球面上两点，，

过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，

若，，是正三角形，如图，

的中点为，，，圆和圆，

可得，，，

外接球的半径为：，

则球的表面积为.

故选11.已知函数，，成立，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数中的函数构造问题答案：D解析：不妨设，

，，

，即，，

故，

令

，

易知在上是增函数，且，

当时，，

当时，，

即当时，取得极小值同时也是最小值，

此时，即的最小值为，

故选12.已知向量，，，若，则实数

​.知识点：平面向量加法、减法的坐标运算平面向量共线的坐标表示答案：解析：向量，，，

，

，时不成立，所以，

，

解得

故答案为.13.已知实数

，

满足约束条件，则的最大值为

​．知识点：简单的线性规划问题二元一次不等式（组）确定可行域答案：解析：作出可行域，如图及其内部（含边界），其中，，，

作直线

，由

得

，直线向下平移时截距减小，增大，

当直线

过时，，

故答案为：.14.数列｛｝满足对于任意恒成立，则的取值范围是

.知识点：数列的函数特征累加法求数列通项裂项相消法求和答案：解析：因为所以所以数列｛｝为递增数列，当→时，→所以.

因为对于任意恒成立，所以故的取值范围是.15.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为

​.知识点：与球有关的切、接问题平面与平面垂直的判定定理球的表面积平面与平面垂直的性质定理答案：解析：如图所示：取的中点，连接，，取的中点连接​

因为，

所以，，且三角形和三角形都是正三角形，

所以，即三角形为等腰三角形，所以，且平分，

不妨设三角形的外接圆圆心为，且在上，所以，

设外接球的球心为，半径为，则，

利用面面垂直可证得平面平面，

又平面平面，则球心必在三角形中，

又，所以在的角平分线上，连接，

则平面，即，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

所以，所以，

在中，，所以，

在中，，，

所以，

所以球的表面积为，

故答案为.总结：本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，涉及到正三角形的性质以及余弦定理的应用，考查了面面垂直的性质以及运算推理能力，属于中档题.16.设数列满足，且，(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和知识点：裂项相消法求和等比数列的定义与证明对数的运算性质答案：(1)证明：因为，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．(2)因为是首项为，公比为的等比数列．

所以，所以，

所以，

所以，

所以.解析：(1)略(2)略17.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面

(1)证明：平面平面；(2)若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．知识点：二面角平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理答案：(1)证明：连接，

为的中点，，

又，四边形为平行四边形，，

，.

，为的中点，，

平面，平面底面，平面底面，

平面，

、平面，，平面，

平面，平面平面(2)连接，

由知，平面，为直线与平面所成的角，即

取的中点，过作于点，连接、，则点为的中点，

为的中点，，平面，

为二面角的平面角．

在中，，

在中，，，，

、分别为和的中点，，

，.

由图可知，二面角与二面角互补，

故二面角的余弦值为

解析：(1)略(2)略18.某商场举行有奖促销活动，凡月日当天消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有个，白球有个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元.(1)若小方、小红均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受折优惠的概率.(2)若小勇消费恰好满元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算.知识点：古典概型的应用均值与方差在决策问题中的应用相互独立事件的概率答案：(1)由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则.

小方、小红两人其中有一人享受折优惠的概率为.(2)若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，.

则，，

故的分布列为元

若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则

由已知，可得，故，

元

由上知：，故小勇选择方案一更划算.解析：(1)略(2)略19.已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过直线上的点作圆：的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的最小值．知识点：椭圆的标准方程椭圆的定义直线与椭圆的综合应用圆与圆的位置关系及其判定直线和圆相切圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切，

，且，于是，，

所以动圆圆心M的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．从而，，

所以，故动圆圆心的轨迹的方程为(2)设直线上任意一点的坐标是，切点，坐标分别是，；则经过点的切线斜率，方程是，

经过点的切线方程是，又两条切线，相交于

则有，所以经过，两点的直线的方程是，

①当时，有，，，，则；

②当时，联立，整理得；

设，坐标分别为，，则，

所以，

综上所述，当时，有最小值.解析：(1)设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则

，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；(2)设直线上任意一点的坐标是，切点，坐标分别是，

；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于可得经过，两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值．20.设函数(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值．知识点：利用导数讨论函数单调性利用导数解决函数零点问题答案：(1)由已知可得，，

①当时，，函数在上单调递增，函数的单调递增区间为

②当时，由，得；由，得，

函数的单调增区间为，单调减区间为(2)由得若函数有两个零点，则，且的最小值为，

即，

，，

令，显然在上是增函数，

且，，

存在，，当，；

当时，

满足条件的最小整数，

当时，，，时有两个零点．

综上，满足条件的最小值的值为解析：(1)利用导数的运算法则即可得出，并对分类讨论即可；(2)由的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在，，当，；21.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；(2)设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求知识点：参数方程和普通方程的互化直线参数方程的几何意义及应用极坐标和直角坐标的互化答案：(1)曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为

点，转换为直角纵坐标为(2)将直线的参数方程为参数代入中，

整理得，

，

此方程有不等实数根．

直线经过定点

设有向线段，与实数和，

就是上述方程的两个实根，

已知是线段的中点，对应于参数取值，

所以.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．总结：(2)本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数