2023年高考真题-数学（新高考全国卷I）

2023年高考真题——数学（新高考全国卷I）1.已知集合则（

）​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：交集答案：C解析：，解得

，所以，故选C.2.已知则（

）​​A.

​B.

C.

D.

知识点：共轭复数复数的除法答案：A解析：.3.已知向量若则（

）​​A.

​B.

C.

D.

知识点：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件平面向量坐标运算的综合应用答案：D解析：由题意可得：，解得.故选D.4.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：复合函数的单调性判定指数（型）函数的单调性答案：D解析：函数要在单减,只需在单减，故选D.​​5.设椭圆的离心率分别为若则（

）​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：椭圆的离心率答案：A解析：可得，而，所以，所以​​，故选A.​6.过点与圆相切的两条直线的夹角为则（

）​A.

B.

​C.

D.

知识点：直线和圆相切答案：B解析：依题意，圆即，点到圆心的距离为，圆半径为，则​​，故选B.​7.设为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）​​​A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件C.

甲是乙的充要条件D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件知识点：等差数列的定义与证明充分、必要条件的判定答案：C解析：由题可得，为等差数列，其首项为，公差为，则，所以，故​，则​为等差数列，则甲是乙的充分条件，反之为等差数列，即​为常数，设为t，即​，故​，两式相减有：​，整理得​，对也成立，故为等差数列，则甲是乙的必要条件，故甲是乙的充要条件，故选C.​​​​8.已知，则（

）​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：三角恒等变换综合应用答案：B解析：根据，，得

，

所以，

所以，故选B.9.有一组样本数据其中是最小值，是最大值，则（

）​A.

的平均数等于​的平均数B.

的中位数等于​的中位数C.

的标准差不小于​的标准差D.

的极差不大于​的极差知识点：众数、中位数和平均数方差与标准差极差与“平均距离”答案：B；D解析：对于A，只有(原平均数）才成立，故A错误；

对于B，去掉最小值，最大值，中位数不变，故B正确；

对于C，D，数据波动范围变小，方差相应减小，故C错误，D正确.​10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车混合动力汽车电动汽车​已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为则（

）​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：指数型函数模型的应用对数型函数模型的应用答案：A；C；D解析：，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.​​​​​​11.已知函数的定义域为则（

）​​​A.

​B.

​C.

是偶函数D.

为​的极小值点知识点：函数奇、偶性的证明抽象函数的应用导数与极值答案：A；B；C解析：对于A，令故A正确；

对于B，令，所以，故B正确；​

对于C，令，所以，再令所以，故C正确；​​

对于D，函数为常函数，且满足题意，而常函数无极值点，故D错误，故选ABC.​​​12.下列物体中，能够被整体放入棱长为（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A.

直径为的球体​B.

所有棱长均为的四面体C.

底面直径为，高为的圆柱体D.

底面直径为，高为的圆柱体知识点：与球有关的切、接问题答案：A；B；D解析：对于A，球直径，故满足；

对于B，该正四面体外接球的半径为，故满足；

对于C，圆柱高，故不满足；

对于D，该圆柱外接球的半径为，故满足；​​​故选ABD.​13.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门,则不同的选课方案共有

​种(用数字作答).​知识点：排列与组合的综合应用答案：解析：首先需要确定选修课的数量，即选修门或门课。考虑两种情况：

①选修门课：此时需要从门课中选取门，共有种选法.但是每类选修课至少选修门，因此需要减去两种情况：只选体育类选修课和只选艺术类选修课，即种情况.所以选修门课的方案数为种.

②选修门课：此时需要从门课中选取门，共有种选法.但是每类选修课至少选修门，因此需要减去两种情况：只选体育类选修课和只选艺术类选修课，即种情况。所以选修门课的方案数为种.综上所述，不同的选课方案共有种.14.在正四棱台中，,则该棱台的体积为

​.​知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积答案：​解析：可得台体的高为，台体的体积为.15.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是

​.​知识点：根据三角函数的性质求参数取值范围余弦（型）函数的零点答案：​解析：由于函数在区间有且仅有个零点，即在上有三个根，，，所以，所以.16.已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，点在轴上，

,则的离心率为

​.​知识点：双曲线的离心率向量垂直向量的线性运算答案：​解析：设，则，又，勾股定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以离心率​​17.已知在中，.​(1)求.​(2)设，求边上的高.知识点：正弦定理及其应用两角和与差的正弦公式三角形的面积（公式）答案：(1)由题意得，所以​​​，又因为，所以​.​​​(2)因为，所以由正弦定理可知，所以由面积法可知​​​​解析：(1)略(2)略18.如图，在正四棱柱中，点分别在棱上，

​​​​​​(1)证明：.​(2)点在棱上，当二面角为时，求.​知识点：用空间向量研究空间中直线、平面的平行用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1)以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，所以，

因为所以，所以​​​.(2)设其中，所以

所以平面的法向量平面的法向量

因为​​​​二面角为，所以，解得或，所以​​.解析：(1)略(2)略19.已知函数​(1)讨论的单调性.(2)证明：当​时，.​知识点：利用导数讨论函数单调性利用导数证明不等式答案：(1)对求导得​，故

①当​时，，​函数单调递减，

②当​时，令​得​，故​​​​​极小值综上，当​时，函数在上单调递减；

当​时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由（1）可得，令，

求导得，令得，所以​​​​​​​​​​​极小值所以，

故，所以.​​​解析：(1)略(2)略20.设等差数列的公差为且令记分别为数列的前项和.​​​(1)若求​的通项公式.(2)若为等差数列，且求​知识点：等差数列的通项公式等差数列的性质等差数列的前项和的应用答案：(1)由题意得解得，又因为​​为等差数列，所以所以，因为，所以，解得或​​​​​（舍），所以.​(2)设其中，记故​​​也为等差数列，所以，所以，因为​​所以代入可得，即，所以可得方程组解得或（舍）.​​​​解析：(1)略(2)略21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为,由抽签确定第次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为.​(1)求第次投篮的人是乙的概率.(2)求第次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量​服从两点分布，且​，则，​记前次(即从第次到第次投篮)中甲投篮的次数为,求.​​知识点：全概率公式相互独立事件的概率累加法求数列通项离散型随机变量的方差、标准差构造法求数列通项递推数列模型等差数列的基本量答案：(1)第次投篮有两种情况：甲投篮、乙投篮,概率均为.如果第次是甲投篮，则第次是乙投篮当且仅当甲在第次投篮中末命中；如果第次是乙投篮，则第次是乙投篮当且仅当乙在第次投篮中命中.根据全概率公式,第次投篮的人是乙的概率：.​(2)记为第次投篮的人是甲的概率,则为第次投篮的人是乙的概率.​​由题可知，​，当时,与(1)问类似,第次投篮有两种情况:甲投篮、乙投篮.​如果第次是甲投篮,则第次是甲投篮当且仅当甲在第次投篮中命中；如果第次是乙投篮,则第次是甲投篮当且仅当乙在第次投篮中末命中.根据全概率公式：

​，整理得：​，利用累加法，​，

代入，整理得：代入​，综上​.

(3)记为第轮投篮中甲投篮次数,则，，由题意，​，由已知公式得​​​，综上，当时，​，当​时，​.​解析：(1)略(2)略(3)略22.在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为.​​(1)求的方程.(2)已知矩形