2022-2023学年湖南省长沙市高三（上）适应性考试数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市高三（上）适应性考试数学试卷1.已知复数满足，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数的模复数的除法答案：B解析：，

所以

故选B.2.设集合，，则的元素个数是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集按元素的属性分（点集、数集）答案：C解析：联立，即，解得：或，

即，

故的元素个数为

故选C.3.已知，，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：对数的运算性质不等式比较大小利用函数单调性比较大小答案：C解析：，

所以，所以

，所以

所以有

故选：C.4.的展开式中，常数项为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：展开式中的特定项或特定项的系数答案：D解析：展开式的通项公式为，

所以的展开式中，常数项为

，

故选D.5.在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：空间向量的数量积空间向量的线性运算答案：A解析：由题意得，，

因为，，，，，

所以

，

故选.

6.若，则的值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：同角三角函数基本关系的综合应用两角和与差的正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：A解析：由可得，，

所以，

所以

故选A.7.斐波那契数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为兔子数列，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即，且，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数列的递推公式数列中的数学文化问题答案：C解析：因为，

所以当时，，

所以，

故，

因为，

所以，，

故，

所以

故选C.8.在平面直角坐标系中，已知，，若该平面中存在点，同时满足两个条件与，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：圆与圆的位置关系及其判定与圆有关的轨迹问题答案：C解析：由题知，不妨设，

因为，所以，

化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上，

又因为，所以，

化简可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，

故只需圆与圆有交点即可，

即，

同时平方化简可得，

即，

解得

故选.9.已知双曲线的方程为，则（

）A.

渐近线方程为

B.

焦距为C.

离心率为

D.

焦点到渐近线的距离为知识点：双曲线的离心率双曲线的渐近线双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距答案：B；C解析：焦点在轴上，故渐近线方程为，错误；

，故，故焦距为，正确；

离心率为，正确；

焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离为，错误

故选BC.10.自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔千米～千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（

）

A.

由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B.

由方程可知，海拔每升高千米，大气压强必定降低C.

由方程可知，样本点的残差为D.

对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好知识点：残差直线拟合散点图与正相关、负相关答案：A；C；D解析：对于项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故项正确；

对于项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故项错误；

对于项，当时，，又由散点图知观测值为，所以样本点的残差为，故项正确；

对于项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程的预报效果更好，故项正确

故选ACD.11.已知函数与相交于，两点，与相交于，两点，若，，，四点的横坐标分别为，，，，且，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：反函数的性质函数零点的值或范围问题答案：A；B；D解析：由题意可知是方程的一个根，则，将代入得，所以也是方程的一个根，所以，故，故正确，

由题意可知是方程的一个根，则，则，所以也是方程的一个根，所以，故，故正确，

设点在函数上，则满足，即，点关于直线的对称点为，将代入得，即可，因此可知在函数上，即关于直线的对称，又关于直线的对称，因此可知对称，对称，

故和，

所以，，故正确，

由于，，故错误，

故选.

12.如图，已知是边长为的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（

）

A.

翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为B.

存某个点位置，满足平面平面C.

当时，直线与平面所成角的正弦值为D.

当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为知识点：与球有关的切、接问题立体几何中的折叠问题平面与平面垂直的判定定理棱柱、棱锥、棱台的体积球的表面积直线与平面所成的角答案：A；C；D解析：

如图，设，分别是，的中点则，，，且

对于项，当平面平面时，四棱锥的体积最大的高为，四边形是高为的梯形，梯形面积，体积，故项正确；

对于项，设平面平面，则，有，，可得平面，即为平面与平面所成的二面角，由可知，，故项错误；

对于项，如图，过点作，垂足为由分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面所以即为直线与平面所成的角由题意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为；

对于项，当时，由，可知，即，又，且，则平面，又平面，则平面平面四棱锥的外接球球心为，的外心为，则平面如图，易知点为等腰梯形的外心，则平面，

则四边形为矩形，且，从而有，从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为，故项正确

故选13.已知，，，若，则

​．知识点：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件平面向量坐标运算的综合应用答案：解析：因为已知，，，

所以，

又因为，

所以，解得

故答案为：.14.已知函数，若函数的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则的最小值为

​．知识点：根据三角函数的性质求参数取值范围正弦曲线的对称中心正弦曲线的对称轴答案：解析：由题知的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称,

则与之间的距离为,

即,,

即，,

因为,

所以当时，的最小值为

故答案为:.15.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（其中点在第一象限）．若直线与抛物线的准线交于点，设，的面积分别为，，则

​．知识点：抛物线的顶点、焦点、准线直线与抛物线的综合应用答案：解析：

由题意知，，直线方程为设，

联立直线方程与抛物线的方程，解得或

因为点在第一象限，所以，，

直线方程为，点坐标为

因为，所以轴

所以，

，

所以

故答案为：.16.已知函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是

​．知识点：利用导数解决函数零点问题分段函数的图象答案：解析：函数在上单调递增，，在上单调递增，，

当，即时，，且，

当，即时，，且，

当，即时，，且，

因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，

再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点，

观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当，

此时，且，即，且，则有，

令，求导得，令，

当时，，即函数在上单调递增，

当时，，即，因此函数在上单调递增，

，而，于是当时，，有，

所以的取值范围是

故答案为.17.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．知识点：错位相减法求和等差、等比数列的综合应用答案：(1)设的公差为，的公比为，，，

联立，整理可得，解得，

所以，.(2)由（1）知，

则，①

，②

①-②，得.

所以.解析：(1)略(2)略18.在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知．(1)求角的值；(2)若，求的周长的取值范围．知识点：正弦定理及其应用用余弦定理、正弦定理解三角形解三角形中的最值（范围）问题答案：(1)，由正弦定理得：，

即，

由余弦定理得：，

因为，

所以；(2)锐角中，，，

由正弦定理得：，

故，

则，

因为锐角中，，

则，，

解得：，

故，，

则，

故，

所以三角形周长的取值范围是.解析：(1)略(2)略19.如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面．

(1)设为棱的中点，证明：四点共面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．知识点：立体几何中的四点共面、三点共线直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理用空间向量研究两个平面所成的角基本事实的推论答案：(1)连接，由于四边形是正方形，所以,

又平面，平面，所以,

平面，所以平面，

由于为棱中点，，所以,

又平面平面，平面平面，平面,

所以平面,

因此，所以四点共面，

(2)由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

，，设，

由（1）知，故，解得，故,

,

设平面，的法向量分别为，则

即，取，则，

即，取，则，

设平面与平面的夹角为，则，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.解析：(1)略(2)略20.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用两轮制方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．知识点：离散型随机变量的分布列及其性质互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的均值或数学期望相互独立事件的概率条件概率的概念及公式答案：(1)设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，则

由题意可得，的取值有

，

，

，

则的分布列为：

所以(2)设甲乙两组对每个问题回答正确的概率分别为，两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，由（1）知，设一个题被甲小组抢到为事件，则，，

设一个题答对为事件，则

，

该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为.解析：(1)略(2)略21.设，是椭圆上异于的两点，且直线经过坐标原点，直线，分别交直线于两点．(1)求证：直线，，的斜率成等差数列；(2)求面积的最小值．知识点：两点间的斜率公式等差数列的定义与证明点与椭圆的位置关系圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)设，则，，

直线的斜率，直线的斜率为，直线的斜率为，

，

故直线的斜率成等差数列；(2)直线的方程为，与联立得：，

同理可得：直线的方程为，与联立得：，

故，

因为，设，

故，

其中，

故当时，取得最小值，最小值为，

又点到直线的距离，

故面积的最小值为.解析：(1)略(2)略22.已知函数，其中．(1)求的最大值；(2)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．知识点：导数与最值导数与极值导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1)，，

令，解得：或，

令，解得：，

故在，上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，，

令，即当时，恒成立，

故在处取得最大值，；(2)设，其中，

①当时，，符合题意，

②当时，，且，

由（1）知：在单调递增，故，

若，，则单调递减，有，符合题意，

若，，符合题意，