2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量第二讲平面向量的数量积及应用课件文

第五章

平面向量第二讲

平面向量的数量积及应用要点提炼1.向量的夹角注意

研究向量的夹角时应注意“共起点”.考点平面向量的数量积定义图示范围共线与垂直设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是

.θ=0或π⇔

,

⇔

a⊥b.∠AOB[0,π]a∥b

考点平面向量的数量积考点平面向量的数量积2.平面向量的数量积注意

(1)投影和两向量的数量积都是数量,不是向量,可正、可负、可零.(2)零向量与任意向量的数量积为0.(3)一般情况下,a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相等.定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则

叫作向量a与b的数量积,记作a·b.投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.|a||b|cosθ3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.注意

a⊥b⇔a·b=0是对非零向量a,b而言的.考点平面向量的数量积

几何表示坐标表示数量积a·b=|a||b|cosθ.a·b=x1x2+y1y2.模|a|=

.

夹角cosθ=

.

a⊥b的充要条件a·b=0.

.a∥b的充要条件a=λb(λ∈R).x1y2-x2y1=0.|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立).

x1x2+y1y2=04.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意

(1)向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.(2)平方差公式,完全平方公式仍适用.考点平面向量的数量积

考点平面向量的数量积

√√✕✕✕

✕

2或5考向扫描

考向1平面向量的数量积运算

-1

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算方法技巧

1.求非零向量a,b的数量积的三种方法2.已知向量的数量积求参数的值：根据向量数量积的求解方法将向量数量积转化为关于参数的方程,解方程即可.考向1平面向量的数量积运算方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角.基底法直接利用定义法求数量积不可行时,可选取合适的一组基底(基底中的向量要已知模或夹角),利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来,进而根据数量积的运算律和定义求解.坐标法①已知或可求两个向量的坐标;②已知条件中有(或隐含)正交基底,优先考虑建立平面直角坐标系,使用坐标法求数量积.角度2平面向量的投影问题2.

典例

[2021浙江高考]已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x2+y2+z2的最小值是

.

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算DC

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向1平面向量的数量积运算

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题A

方法技巧

求平面向量模的两种方法注意

在求解与向量的模有关的问题时,注意对结论(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的灵活运用.考向2平面向量的模、夹角、垂直问题公式法几何法利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题BD

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题考向2平面向量的模、夹角、垂直问题定义法坐标法解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的关系.方法技巧求平面向量夹角问题的3种方法角度3向量的垂直问题6.

典例

(1)[2020全国卷Ⅱ]

[文]已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(

)A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b(2)[2021全国卷乙]已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=

.

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题D

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题方法技巧 (1)证明两个向量垂直的解题策略先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量,然后根据数量积的运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

1

考向2平面向量的模、夹角、垂直问题

考向3平面向量的综合应用A

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用角度2平面向量在物理中的应用9.

典例

质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,则斜面对物体的摩擦力的大小为

,支持力的大小为

.

考向3平面向量的综合应用mgsinθmgcosθ解析如图所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|).由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f=0

①.记垂直于斜面向下、大小为1N的力为e1,平行于斜面向下、大小为1N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0),f=(0,-|f|),考向3平面向量的综合应用由图知e1与G的夹角为θ,则G=(mgcosθ,mgsinθ).由①,得G+F+f=(mgcosθ-|F|,mgsinθ-|f|)=(0,0),所以mgcosθ-|F|=0,mgsinθ-|f|=0.故|F|=mgcosθ,|f|=mgsinθ.考向3平面向量的综合应用方法技巧

解决向量在物理中的应用问题的策略(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解可以用向量知识求解;(2)物理中的功W是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用方法技巧

平面向量与三角函数的综合问题,一般是以向量为载体,考查三角函数知识.求解思路:利用向量的坐标运算得到三角函数的关系式,然后应用三角函数的相关知识和方法进行求解.考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用D方法技巧

向量在解析几何中的2个作用考向3平面向量的综合应用载体作用用向量做“包装”,解题关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,将条件转化为长度关系,位置关系求解.工具作用

考向3平面向量的综合应用AC

考向3平面向量的综合应用D

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用

考向3平面向量的综合应用攻坚克难

数学探索平面向量中的最值、范围问题A

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题A

数学探索平面向量中的最值、范围问题数学探索平面向量中的最值、范围问题

方法技巧

1.平面向量中有关最值(或范围)问题的两种求解思路一是“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.数学探索平面向量中的最值、范围问题2.求向量模的最值(或范围)的方法(1)代数法,先把所求的模表示