2023版高考数学一轮总复习第六章数列第四讲数列求和及数列的综合应用课件理

第六章

数列第四讲

数列求和及数列的综合应用考向扫描

解析(1)因为等差数列{an}的公差为2,所以a2=a1+2,a4=a1+6.因为a1,a2,a4成等比数列,所以(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2.所以{an}的通项公式为an=2+(n-1)×2=2n.

方法技巧

1.利用公式法求和直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.2.利用分组转化法求和(1)利用分组转化法求和的常见类型

2.

变式

[2022湖南名校联考]已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=|an-100|,求数列{bn}的前10项和T10.

方法技巧

用错位相减法求和的策略和技巧(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列.(2)求解思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

①,则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1

②,①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,进而可利用公式法求和.注意

(1)两式相减时注意最后一项的符号;(2)注意相减后的和式结构的中间为(n-1)项的和.4.

变式

[2020全国卷Ⅰ][理]设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.

方法技巧

1.利用裂项相消法求和的基本步骤注意

利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项.2.常见数列的裂项方法数列(n为正整数)裂项方法

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方法技巧

利用倒序相加法求和的技巧已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于同一常数”,可用倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来,再把数列求和的式子倒过来写,然后将两个式子相加,即可求出该数列的前n项和的2倍,最后求出该数列的前n项和.8.

变式

已知平面向量a=(lgx,1),b=(1,lgy)满足a·b=12,且S=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn,则S=

.

解析因为平面向量a=(lgx,1),b=(1,lgy)满足a·b=12,所以lgx+lgy=12,所以lg(xy)=12.因为S=lgxn+lg(xn-1y)+…+lg(xyn-1)+lgyn,所以S=lgyn+lg(xyn-1)+…+lg(xn-1y)+lgxn,6n(n+1)以上两式相加得,2S=(lgxn+lgyn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lgyn+lgxn)=lg(xn·yn)+lg(xn-1y·xyn-1)+…+lg(yn·xn)=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]=n(n+1)lg(xy)(共有(n+1)个lg(xy))=12n(n+1),所以S=6n(n+1).9.

典例

[2020江苏高考]设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是

.

解析解法一

由题意可得S1=a1+b1=1,当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,易知当n=1时也成立,则a1+(n-1)d+b1qn-1=dn+a1-d+b1qn-1=2n-2+2n-1对任意正整数n恒成立,则d=2,q=2,d+q=4.解法二由等差数列和等比数列的前n项和的特征可得等差数列{an}的前n项和Hn=n2-n,等比数列{bn}的前n项和Tn=2n-1,则d=2,q=2,d+q=4.4

角度1数列与函数综合11.

典例

[2021郑州5月模考]设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn.(1)令an=lgxn,求数列{an}的前n项和Sn.(2)令bn=(n+3)xn+2,n∈N*.证明:bn+1·lnbn>bn·lnbn+1.

方法技巧

数列与函数的综合问题的解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等进行研究.(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要利用数列的有关公式对式子化简变形.注意

数列是自变量为正整数的特殊函数,要灵活运用函数的思想方法求解.12.

变式

函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=sinπx.当x∈[0,+∞)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,b3,…,bn,…,则数列{an+bn}的前9项和为

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A

方法技巧

1.数列与不等式的综合问题的解题策略(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.(2)对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明.

攻坚克难15.典例

[2020全国卷Ⅰ]数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=

.

7

17.

变式

(1)已知Sn为数列{an}的前n项和,an+1+(-1)n+1an=2n+1,则S40=

.

(2)已知Sn为数列{an}的前n项和,an+1+(-1)nan=2n+1,则S40=

.

820860解析(1)令n=2k-1,k∈N*,则an+1+(-1)n+1an=2n+1,即a2k+a2k-1=4k-1,则a2+a1=4×1-1,a4+a3=4×2-1,…,a40+a39=4×20-1,所以S40=a1+a2+…+a40=4(1+2+…+20)-20=820.(2)令n=2k,k∈N*,则a2k+1+a2k=4k+1

①,令n=2k-1,k∈N*,则a2k-a2k-1=4k-1

②,令n=2k+1,k∈N*,则a2k+2-a2k+1=4k+3

③,①-②,得a2k+1+a2k-1=2,①+③,得a2k+a2k+2=8k+4.所以S40=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a37+a39)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a38+a40)=2×10+8(1+3+…+19)+4×10=860.18.典例

[2020全国卷Ⅱ][理]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C

方法技巧

通过数学建模解决数学文化问题1.数列中的常见模型(1)等差数列模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差数列模型,这个固定的数就是公差.(2)等比数列模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比.