流体力学连续性方程微分形式

流体力学连续性方程微分形式第1页，课件共21页，创作于2023年2月∴单位时间内x方向流出流进的质量流量差：ABCDA'

B'C'D'dzdydxzyxoMNuxuzuyo’第三节流体动力学基本方程式在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux,uy,uz）以x轴方向为例：右表面流速一、连续性微分方程第三节流体动力学基本方程式左表面流速第2页，课件共21页，创作于2023年2月流体的连续性微分方程的一般形式：

质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：X方向y方向：z方向：第三节流体动力学基本方程式同理可得：在dt时间内因密度变化而减少的质量为：

适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体。（不可压缩流体）第3页，课件共21页，创作于2023年2月（1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程

适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。（2）不可压缩流体的连续性微分方程

物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。第三节流体动力学基本方程式当为恒定流时当为不可压缩流时第4页，课件共21页，创作于2023年2月例：有两种二元流体，其流速可表示为：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。试问这两种流体是不可压缩流体吗？解：（1）符合不可压缩流体的连续性方程。∴是不可压缩流体。（2）不符合不可压缩流体的连续性方程。∴不是不可压缩流体。第5页，课件共21页，创作于2023年2月

理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：ABCDA'B'C'D'dzdxdyp(x,y,z)

o’zxyMNO第三节流体动力学基本方程式从理想流体中任取一(x,y,z)为中心的微元六面体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为p(x,y,z)。受力分析(x方向为例)：1.表面力∵理想流体，∴

=0左表面右表面二、理想流体运动微分方程第6页，课件共21页，创作于2023年2月流体平衡微分方程回顾

一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程p(x,y,z)M根据平衡条件，在y方向有

Fy=0，即：整理得：ABCDA'B'C'D'dzdxdyxyzo在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：y向受力表面力：质量力：第7页，课件共21页，创作于2023年2月

流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：

物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（）等于该轴向单位体积上的质量力的分量（

X,

Y,

Z）。（1）流体平衡微分方程回顾第8页，课件共21页，创作于2023年2月x方向（牛顿第二运动定律）：2.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为X

dxdydz第9页，课件共21页，创作于2023年2月适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）第三节流体动力学基本方程式若加速度等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程第10页，课件共21页，创作于2023年2月三、粘性流体的运动微分方程1、粘性流体的特点（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即pxx

pyy

pzz。任一点动压强为：（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：第三节流体动力学基本方程式第11页，课件共21页，创作于2023年2月2、实际流体的运动微分方程式

同样取一微元六面体作为控制体。x方向（牛顿第二运动定律）：第三节流体动力学基本方程式'yz'yx

p'yy

xz

xypxx

zx

zypzz'xy'xz

p'xx

yz

yxpyy'zy’zx

p'zzdzdxdyxyz左右向压力x向受力质量力前后面切力上下向切力第12页，课件共21页，创作于2023年2月1）不可压缩流体的连续性微分方程：2）切应力与主应力的关系表达式不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程：考虑条件：第三节流体动力学基本方程式拉普拉斯算符，例：第13页，课件共21页，创作于2023年2月第四节欧拉运动微分方程的积分一、在势流条件下的积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds的坐标分量），然而相加得：<I><II><III>考虑条件第四节欧拉运动微分方程的积分1、恒定流<II>=第14页，课件共21页，创作于2023年2月3、质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g4、有势流动：2、均匀不可压缩流体，即=Const；

<II>=<I><II><III>第15页，课件共21页，创作于2023年2月积分得：第四节欧拉运动微分方程的积分由以上得：由欧拉加速度由第16页，课件共21页，创作于2023年2月理想势流伯努里方程符号说明单位重流体的位能（比位能）位置水头单位重流体的压能（比压能）压强水头单位重流体的动能（比动能）流速水头单位重流体总势能（比势能）测压管水头总比能总水头物理意义几何意义

物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）或第四节欧拉运动微分方程的积分第17页，课件共21页，创作于2023年2月二、沿流线的积分2、恒定流中流线与迹线重合：

注意：积分常数C，在不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“——”所示，可以是有旋流）沿流线（或元流）的能量方程：1、只有重力作用的不可压缩恒定流：第四节欧拉运动微分方程的积分第18页，课件共21页，创作于2023年2月1、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。第19页，课件共21页，创作于2023年2月3、欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？End形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。它不适用于有旋流。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。它适用于有旋流。第20页，课件共21页，创作于2023年2月本课完按任