随机过程及其统计描述课件

第12章

随机过程及其统计描述教材：盛骤等《概率论与数理统计》(第四版)制作、讲授：安师大朱仁贵（rgzhu@）第12章

随机过程及其统计描述教材：盛骤等《概率论与数理统计2目录(一)随机过程的分布函数族12.1随机过程的概念12.2随机过程的统计描述12.3泊松过程及维纳过程(二)随机过程的数字特征(三)二维随机过程的分布函数和数字特征正态随机过程的概念2目录(一)随机过程的分布函数族12.1随机过程的概念1312.1随机过程的概念对热噪声电压的重复观测一个实例：热噪声电压在一段时间内对热噪声电压进行观测是随机试验。观测结果将得到某种形式的v-t函数图象，可能是中的任意一个。在相同条件下，独立、重复的观测，所有可能的结果构成一个函数族：在给定的时刻观测热噪声电压V,它是一个随机变量，其取值是中的任意一个。312.1随机过程的概念对热噪声电压的重复观测一个实例：热4(2)在一段时间内，其样本空间在随时间变化，其分布也随时间变化(1)在某一时刻tj，电压V是一个随机变量，有其样本空间：理论上任意时刻V的取值都有一个分布热噪声电压现象的特点研究对象是随时间演化的随机现象(动力学)。对这种现象的研究，需要用一族随机变量：随机过程的研究对象12.1随机过程的概念4(2)在一段时间内，其样本空间在随时间变化，其分布也随时间5设是一无限实数集，我们把依赖于参数的一族(无限多个)随机变量称为随机过程，记为这里对每一个给定的是一个随机变量，T叫做参数集.随机过程的概念[参数t通常就是时间变量；也可以不是时间，但可以当作时间变量看待]12.1随机过程的概念5设是一无限实数集，我们把依赖于参数6随机过程相关概念随机过程：称为时刻过程的状态(随机的)(1)对于一切所有可能取值的全体称为随机过程的状态空间.(3)t时刻对X进行一次观测，得到(实数)，就说t时刻过程处于状态(2)对随机过程在T上进行一次全程观测，得到函数，称为随机过程的一个样本函数或样本曲线。(4)热噪声电压可用随机过程来描述.状态空间为观测得到的电压-时间函数是该随机过程的一个样本函数.例如12.1随机过程的概念6随机过程相关概念随机过程：称为时刻过程的状态(随机7随机过程举例抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T},现借此定义随机过程：当出现H,当出现T,样本曲线参数集状态空间样本函数族t时刻的分布律无论是在某时刻t进行观测还是全程连续观测，结果都有投币试验决定.12.1随机过程的概念7随机过程举例抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T},8随机过程举例抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T},现借此定义随机过程：当出现H,当出现T,可将此随机过程改写为其中,,X对Y和t的依赖，决定了X是一个随机过程.确定了Y之后，即可确定任意时刻和全程的观测结果.任意时刻下，观测目的是X取什么值；全程的情况下，观测目的是X(t)的函数形式.12.1随机过程的概念8随机过程举例抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T},9随机过程举例样本曲线（只画出两条）状态空间：考虑：式中是正常数，是上服从均匀分布的随机变量。随机相位正弦波当在内随机的取一个值，可得样本函数：12.1随机过程的概念9随机过程举例样本曲线（只画出两条）状态空间：考虑：式中10在测量运动目标的距离时，存在随机误差，以表示在时刻t的测量误差，则是一个随机过程。状态空间以X(t)表示在时间间隔(0,t]内，120急救电话台接到的呼叫次数。是一个随机过程，其状态空间为{0,1,2,…}考虑抛掷一颗骰子的试验.(1)设是第n次(n≥1)抛掷的点数，对于n=1,2,…的不同值，是不同的随机变量，因而构成一随机过程(称伯努利过程或伯努利随机序列)。状态空间{1,2,3,4,5,6}(2)设是前n次(n≥1)抛掷中出现的最大点数，也是一随机过程。状态空间{1,2,3,4,5,6}随机过程举例12.1随机过程的概念10在测量运动目标的距离时，存在随机误差，以11随机过程的分类连续型随机过程：任意时刻的状态是连续型随机变量；离散型随机过程：任意时刻的状态是离散型随机变量.连续参数随机过程:

参数集T是区间;离散参数随机过程或称随机序列：参数集是离散的.按状态或参数的离散与否进行分类也可以按不同时刻的状态之间的统计依赖关系进行分类12.1随机过程的概念11随机过程的分类连续型随机过程：任意时刻的状态是连续型随机1212.2随机过程的统计描述给定随机过程,对于每一个固定的，随机变量的分布函数一般与t有关，记为称为随机过程的一维分布函数,而称为一维分布函数族。(一)随机过程的分布函数族一维分布函数族概念由随机过程的n个不同时刻的随机变量构成的n维随机变量，其分布函数为称为n维分布函数族n维分布函数族概念1212.2随机过程的统计描述给定随机过程13(二)随机过程的数字特征

是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值，通常称这种平均为集平均或统计平均。集平均(统计平均)给定随机过程，固定，是一个随机变量，t时刻的均值(数学期望)，记为称为随机过程的均值函数。均值函数均值函数表示了随机过程在各个时刻的摆动中心.12.2随机过程的统计描述13(二)随机过程的数字特征是随机过程14方差函数标准差函数表示t时刻X(t)取值偏离对于均值的平均偏离程度。均方值函数(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述14方差函数标准差函数表示t时刻X(t)取值偏离对于均值15(自)相关函数相关函数和协方差函数用以描述随机过程自身在两个不同时刻的状态之间的统计依赖关系。(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述(自)协方差函数15(自)相关函数相关函数和协方差函数用以描述随机过程自身在16数字特征之间的关系可见，均值函数和相关函数可被看作是最主要的两个数字特征。刻画了随机过程的主要统计特性。二阶矩过程的概念如果对每一个，随机过程的二阶矩都存在，则称它为二阶矩过程。二阶矩过程的相关函数总存在。(只要证明相关函数是收敛的即可)(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述16数字特征之间的关系可见，均值函数和相关函数可被看作是最主17设A,B是两个随机变量.试求随机过程的均值函数和自相关函数.如果A,B是相互独立的，且A~N(0,1),B~U(0,2),问的均值函数和自相关函数又是怎样的？A,B相互独立解：根据均值函数和自相关函数的定义、利用期望的性质，可得均值函数自相关函数于是，(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述17设A,B是两个随机变量.试求随机过程18解：的概率密度利用随机变量函数期望的计算方法可得均值函数(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述求随机相位正弦波：的均值函数，方差函数和自相关函数.18解：的概率密度利用随机变量函数期望的计算方19自相关函数方差函数(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述19自相关函数方差函数(二)随机过程的数字特征12.2随20若随机过程的每一个有限维分布都是正态分布，亦即对任意整数n≥1及任意,服从n维正态分布，则该随机过程称为正态随机过程.正态随机过程的概念设，其中A,B是相互独立，且都服从正态分布的随机变量，是实常数.试证明是正态过程.并求它的均值函数和自相关函数.是A,B的线性组合，，解：对任意故也服从正态分布.故X(t)是正态过程。(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述对任意的n,根据n维正态分布的性质(第4章)可知服从n维正态分布。(因为的任意线性组合仍是A,B的线性组合，仍服从一维正态分布)20若随机过程21由题意可知：同理(二)随机过程的数字特征12.2随机过程的统计描述21由题意可知：同理(二)随机过程的数字特征12.2随机22(三)二维随机过程的分布函数和数字特征设X(t),Y(t)是依赖于同一参数的随机过程，对于不同的，是不同的二维随机变量，则称为二维随机过程。二维随机过程的概念给定二维随机过程，是T中任意两组实数，n+m维随机变量的分布函数其中称为此二维随机过程的n+m维分布函数(或随机过程X(t)与Y(t)的n+m维联合分布函数.)二维随机过程的n+m维分布函数的概念12.2随机过程的统计描述22(三)二维随机过程的分布函数和数字特征设X(t),Y23若与相互独立则，随机过程X(t)与Y(t)相互独立.(m+n维分布函数可分离变量)两随机过程相互独立的概念互相关函数互协方差函数不相关的判据若对任意，恒有则称随机过程X(t)与Y(t)是不相关的。(三)二维随机过程的分布函数和数字特征12.2随机过程的统计描述仍指的是线性不相关23若与相互独立则，随机过程X(t)与Y(t)相互独立.(24三个随机过程的和均值函数自相关函数(三)二维随机过程的分布函数和数字特征12.2随机过程的统计描述24三个随机过程的和均值函数自相关函数(三)二维随机过程的2512.3泊松过程及维纳过程增量的概念给定二阶矩过程，我们称随机变量为随机过程在区间上的增量。独立增量过程的概念独立增量过程的概念如果对任意选定的正整数n和任意选定的n个增量：相互独立，则称为独立增量过程。齐次的(或称时齐的)独立增量过程的概念对任意实数h,若增量与具有相同的分布，则称增量具有平稳性。这样的独立增量过程称为齐次的或时齐的。只依赖于时间差即在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独立的。2512.3泊松过程及维纳过程增量的概念给定二阶矩过程2612.3泊松过程及维纳过程独立增量过程的协方差函数令，则有如下结论：若X(t)是独立增量过程，且X(0)=0,

则X(t)的协方差函数为(1)若则(2)X(t)是独立增量过程Y(t)也是独立增量过程(3)构造增量假设2612.3泊松过程及维纳过程独立增量过程的协方差函数令，27独立增量过程的协方差函数令，则有如下结论：(1)若则(2)X(t)是独立增量过程Y(t)也是独立增量过程(3)若X(t)是独立增量过程，且X(0)=0,

则X(t)的协方差函数为12.3泊松过程及维纳过程27独立增量过程的协方差函数令，则有如下结论：(1)若则(228(一)泊松过程时间轴上的随机质点流随着时间推移，迟早会重复出现的事件可以在时间轴上记事表示时刻该事件发生了一次例如：120电话台接到呼叫电话烟花制造厂发生火灾相邻两次发生的时间间隔是随机的。时间轴上的许多质点构成随机质点流。12.3泊松过程及维纳过程28(一)泊松过程时间轴上的随机质点流随着时间推移，迟早会29计数过程的概念考察时间轴上的随机质点流，以表示在时间间隔内出现的质点数。

是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程(即离散型的、连续参数的随机过程)，称为计数过程。计数过程的一个典型的样本函数(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程29计数过程的概念考察时间轴上的随机质点流，以30泊松过程的概念泊松过程是满足一定条件的计数过程。记是在时间间隔内出现k个质点的概率。(1)在互不重叠的区间上的增量具有独立性(即N(t)是独立增量过程)(2)对充分小的有其中称为过程N(t)的强度。(3)对充分小的有(4)N(0)=0则称为强度为的泊松过程。质点流(即质点出现的随机时刻)称为强度为的泊松流。若N(t)满足如下条件：在间隔内出现2个或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相比是很小的，可以忽略不计。(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程30泊松过程的概念泊松过程是满足一定条件的计数过程。记是在31增量的分布律只与时间差有关，故泊松过程是齐次的独立增量过程。利用以上条件(1)~(4),可推导出(见课本):初条件,初条件，令，就得到N(t)的分布律。是参数为的泊松分布。泊松过程增量的分布律求解(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程31增量的分布律只与时间差32泊松过程概念的另一种等价表述(1)它是独立增量过程若计数过程满足下列三个条件(2)对任意，增量(3)N(0)=0则称是一强度为的泊松过程。参数为的泊松分布(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程32泊松过程概念的另一种等价表述(1)它是独立增量过程若计33泊松过程的数字特征根据泊松分布的数字特征可知已知增量取,利用N(0)=0泊松过程的均值函数方差函数即在时间轴上，单位时间间隔内出现的质点数目的平均值(平均密度)协方差函数前述独立增量过程的协方差函数相关函数(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程33泊松过程的数字特征根据泊松分布的数字特征可知已知增量取34非齐次泊松过程强度是时间t的函数：初条件初条件，同理可得出微分方程非齐次泊松过程增量的分布律均值函数相关函数(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程34非齐次泊松过程强度是时间t的函数：初条件初条件35等待时间和点间间距的概念泊松过程的泊松流：令初始时刻记，：等待时间：点间间距从开始到第i个质点出现的等待时间。泊松流的一个样本：(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程35等待时间和点间间距的概念泊松过程36等待时间的分布分布函数概率密度,即服从参数为的指数分布。因为，根据分布的概念，可知(一)泊松过程12.3泊松过程及维纳过程36等待时间的分