福建省厦门市重点中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷（含答案）

-2023学年福建省厦门市重点中学七年级下学期期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（）A．145° B．150° C．60° D．30°2．（4分）有理数4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．43．（4分）如图，平面内两直线a和b被第三条直线l所截，在下列条件中，能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠4＝∠8 D．∠4+∠7＝180°4．（4分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点P，点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为8，则点P的坐标是（）A．（﹣8，7） B．（8，﹣7） C．（7，﹣8） D．（8，﹣7）或（8，7）5．（4分）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A． B． C． D．6．（4分）将方程﹣x+y＝1中的x的系数变为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y＝1 B．﹣x+y＝2 C．x﹣2y＝2 D．x﹣2y＝﹣27．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）A．线段AC的长度表示点C到AB的距离 B．线段AD的长度表示点A到BC的距离 C．线段CD的长度表示点C到AD的距离 D．线段BD的长度表示点A到BD的距离8．（4分）如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，HD＝2，CF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．12 B．15 C．18 D．249．（4分）下列命题中真命题是（）A．的算术平方根是3 B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同 C．正六边形的内角和为360° D．对角线相等的四边形是矩形10．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65° B．70° C．75° D．80°二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）若与互为相反数，则x的平方根为．12．（4分）计算：＝．13．（4分）如图，直线a∥b，c⊥d，有三个命题：①∠1+∠3＝90°；②∠2+∠3＝90°；③∠2＝∠4．正确的是（填写序号）．14．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣4，m+2）在y轴上，则m＝，点P的坐标为．15．（4分）如图，ON⊥l，OM⊥l，则直线OM与ON重合的理由是．16．（4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A92的坐标是．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）求满足下列各式的x的值：（1）25（x﹣2）2﹣9＝0；（2）1000（x﹣1）3+27＝0．19．（8分）解方程组：．20．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上．将△ABC先向下平移4个单位，再向左平移5个单位得△A′B′C′．（1）请你画出△A'B'C'并写出A'的坐标；（2）求△A'B'C′的面积．21．（8分）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A＝∠CED+∠D．22．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．23．（10分）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为60°的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移2个单位，得到图3，依此类推…（1）完成下列表格：图1图2图3图4图6周长81216面积25（2）经过若干次平移后，图n的面积为2021，求此时图n的周长．24．（12分）一个四位正整数A的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称A为“十全十美数”，将“十全十美数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为F（A），将“十全十美数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为G（A）．例如：四位正整数2873，∵2+8＝7+3＝10，且2＜7∴2873是“十全十美数”，此时，F（A）＝28+73＝101，G（A）＝27﹣83＝﹣56．（1）若M是最大的“十全十美数”，请直接写出：M＝，F（M）＝，G（M）＝；（2）若A是“十全十美数”，且2F（A）+G（A）能被9整除，求所有符合条件的A的值．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与直线l2交于点C，C点到x轴的距离CD为，直线l2交x轴于点B，且∠ABC＝30°．（1）求直线l2的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．答案解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝70°，那么∠3是（）A．145° B．150° C．60° D．30°【答案】A【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数．【解答】解：∵∠1+∠2＝70°，∠1＝∠2，∴∠1＝35°，∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．故选：A．2．（4分）有理数4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4【答案】A【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．【解答】解：∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：A．3．（4分）如图，平面内两直线a和b被第三条直线l所截，在下列条件中，能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠4＝∠8 D．∠4+∠7＝180°【答案】C【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析判断即可得解．【解答】解：A．∠1＝∠2，不能判断a∥b，故A不符合题意；B．∠3＝∠5，不能判断a∥b，故B不符合题意；C．由∠4＝∠8，由同位角相等，两直线平行，可判断a∥b，故C符合题意；D．∠4+∠7＝180°，不能判断a∥b，故D不符合题意；故选：C．4．（4分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点P，点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为8，则点P的坐标是（）A．（﹣8，7） B．（8，﹣7） C．（7，﹣8） D．（8，﹣7）或（8，7）【答案】B【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【解答】解：∵第四象限的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，∴点P的横坐标是8，纵坐标是﹣7，∴点P的坐标为（8，﹣7）．故选：B．5．（4分）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A、把代入方程得：左边＝2﹣5＝﹣3，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意；B、把代入方程得：左边＝8﹣2＝6，右边＝6，∵左边＝右边，∴是方程的解，符合题意；C、把代入方程得：左边＝4﹣4＝0，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意；D、把代入方程得：左边＝4﹣3＝1，右边＝6，∵左边≠右边，∴不是方程的解，不符合题意．故选：B．6．（4分）将方程﹣x+y＝1中的x的系数变为整数，则下列结果正确的是（）A．﹣x+y＝1 B．﹣x+y＝2 C．x﹣2y＝2 D．x﹣2y＝﹣2【答案】D【分析】方程两边乘以2即可得到结果．【解答】解：方程整理得：﹣x+2y＝2，即x﹣2y＝﹣2，故选：D．7．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）A．线段AC的长度表示点C到AB的距离 B．线段AD的长度表示点A到BC的距离 C．线段CD的长度表示点C到AD的距离 D．线段BD的长度表示点A到BD的距离【答案】D【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．【解答】解：A．线段AC的长度表示点C到AB的距离，说法正确，不符合题意；B．线段AD的长度表示点A到BC的距离，说法正确，不符合题意；C．线段CD的长度表示点C到AD的距离，说法正确，不符合题意；D．线段BD的长度表示点B到AD的距离，说法不正确，符合题意故选：D．8．（4分）如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，HD＝2，CF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．12 B．15 C．18 D．24【答案】B【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝CF＝3，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∴△ABC的面积＝△DEF的面积，∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，由平移的性质得，DE＝AB＝6，BE＝CF＝3，∵AB＝6，DH＝2，∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，∴阴影部分的面积＝×（4+6）×3＝15．故选：B．9．（4分）下列命题中真命题是（）A．的算术平方根是3 B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同 C．正六边形的内角和为360° D．对角线相等的四边形是矩形【答案】B【分析】根据算术平方根，方差的定义，多边形内角和公式，矩形的判定一一判断即可．【解答】解：A、的算术平方根是，本选项错误，不符合题意．B、数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同，正确，本选项符合题意．C、正六边形的内角和为360°，错误，应该是720°，本选项不符合题意．D、对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，本选项不符合题意．故选：B．10．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65° B．70° C．75° D．80°【答案】A【分析】根据已知可知∠3＝60°，∠1＝55°，再根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2＝180°，即可得出答案．【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，∴∠1+∠3＝115°，∵AD∥BC，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．故选：A．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）若与互为相反数，则x的平方根为±2．【答案】±2．【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而得出答案．【解答】解：与互为相反数，则3x﹣5+1﹣2x＝0，解得：x＝4，故x的平方根为：±2．故答案为：±2．12．（4分）计算：＝．【答案】．【分析】根据绝对值的性质即可求得答案．【解答】解：||＝，故答案为：．13．（4分）如图，直线a∥b，c⊥d，有三个命题：①∠1+∠3＝90°；②∠2+∠3＝90°；③∠2＝∠4．正确的是①（填写序号）．【答案】①．【分析】由垂线的定义和对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵c⊥d，∴∠1+∠2＝90°，∵∠2＝∠3，∴∠1+∠3＝90°，故①正确，②错误；∵∠2＝∠3，∠3≠∠4，∴③∠2＝∠4错误，故答案为：①．14．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣4，m+2）在y轴上，则m＝4，点P的坐标为（0，6）．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m﹣4，m+2）在y轴上，∴m﹣4＝0，解得：m＝4，∴m+2＝6，∴点P的坐标为：（0，6）．故答案为：4，（0，6）．15．（4分）如图，ON⊥l，OM⊥l，则直线OM与ON重合的理由是在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线．【答案】在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线．【分析】在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线．【解答】解：在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线．16．（4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是（0，﹣1），A92的坐标是（31，﹣31）．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质求出第一个三角形的高，然后求出A3O即可得解；先根据每一个三角形有三个顶点确定出A92所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A92的纵坐标的长度，即可得解．【解答】解：∵△A1A2A3的边长为2，∴△A1A2A3的高线为2×＝，∵A1A2与x轴相距1个单位，∴A3O＝﹣1，∴A3的坐标是（0，﹣1）；∵92÷3＝30…2，∴A92是第31个等边三角形的第2个顶点，第31个等边三角形边长为2×31＝62，∴点A92的横坐标为×62＝31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．故答案为：（0，﹣1）；（31，﹣31）．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）40．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加法，即可解答．【解答】解：（1）＝4+2﹣（﹣1）＝4+2+1＝7；（2）＝4+36＝40．18．（8分）求满足下列各式的x的值：（1）25（x﹣2）2﹣9＝0；（2）1000（x﹣1）3+27＝0．【答案】（1）x＝或x＝；（2）x＝．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义求解即可；（2）根据等式的性质以及立方根的定义求解即可．【解答】解：（1）25（x﹣2）2﹣9＝0，移项得，25（x﹣2）2＝9，两边都除以25得，（x﹣2）2＝，根据平方根的定义得，x﹣2＝±，解得x＝或x＝；（2）1000（x﹣1）3+27＝0，移项得，1000（x﹣1）3＝﹣27，两边都除以1000得，（x﹣1）3＝﹣，根据立方根的定义得，x﹣1＝﹣，解得x＝．19．（8分）解方程组：．【答案】．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．20．（8分）如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上．将△ABC先向下平移4个单位，再向左平移5个单位得△A′B′C′．（1）请你画出△A'B'C'并写出A'的坐标；（2）求△A'B'C′的面积．【答案】（1）（﹣2，﹣1）；（2）3.5．【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；根据平面直角坐标系可确定A′的坐标．（2）利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）如图所示：A′（﹣2，﹣1）；（2）△A'B'C′的面积：3×3﹣×3×2﹣×2×1﹣×3×1＝3.5．21．（8分）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A＝∠CED+∠D．【答案】见解析．【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，在△ECD中，∠CED+∠D+∠C＝180°，∴∠A＝∠CED+∠D．22．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．【答案】见试题解答内容【分析】设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价．【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．由题意得：，解得：，∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．23．（10分）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为60°的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移2个单位，得到图3，依此类推…（1）完成下列表格：图1图2图3图4图6周长812162028面积25（2）经过若干次平移后，图n的面积为2021，求此时图n的周长．【答案】（1）20，28，，．（2）5392．【分析】（1）探究规律，利用规律解决问题即可．（2）图n的周长为8+4（n﹣1）＝4n+4，图n的面积为2+（n﹣1）＝n+，构建方程求出n，即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，图4中的周长＝16+4＝20，图6中周长＝20+4+4＝28，图4中的面积＝5+＝，图6中的面积＝++＝，故答案为：20，28，，．（2）图n的周长为8+4（n﹣1）＝4n+4，图n的面积为2+（n﹣1）＝n+，当n+＝2021时，解得n＝1347，∴此时周长＝4×1347+4＝5392．24．（12分）一个四位正整数A的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称A为“十全十美数”，将“十全十美数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为F（A），将“十全十美数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为G（A）．例如：四位正整数2873，∵2+8＝7+3＝10，且2＜7∴2873是“十全十美数”，此时，F（A）＝28+73＝101，G（A）＝27﹣83＝﹣56．（1）若M是最大的“十全十美数”，请直接写出：M＝8291，F（M）＝173，G（M）＝68；（2）若A是“十全十美数”，且2F（A）+G（A）能被9整除，求所有符合条件的A的值．【答案】（1）8291，173，68；（2）1973或2864或3755或8291．【分析】（1）根据题意可得M＝8291，再由定义求F（M），G（M）的值即可；（2）设A的千位数字是a，十位数字是b，则百位数字是10﹣a，个位数字是10﹣b，可求2F（A）+G（A）＝（36a+18b﹣72）+（2a+2b+2），由题意可得2（a+b+1）能被9整除，则a+b＝8或a+b＝17，分别对a、b的值进行讨论，即可求A是1973或2864或3755或8291．【解答】解：（1）M＝8291，∴F（M）＝82+91＝173，G（M）＝89﹣21＝68，故答案为：8291，173，68；（2）设A的千位数字是a，十位数字是b，则百位数字是10﹣a，个位数字是10﹣b，∴F（A）＝10a+（10﹣a）+10b+（10﹣b）＝9a+9b+20，G（A）＝10a+b﹣[10（10﹣a）+（10﹣b）]＝20a+2b﹣110，∴2F（A）+G（A）＝38a+20b﹣70＝（36a+18b﹣72）+（2a+2b+2），∵2F（A）+G（A）能被9整除，∴2a+2b+2＝2（a+b+1）能被9整除，∴a+b＝8或a+b＝17，∴a＜b，∴a＝1，b＝7或a＝2，b＝6或a＝3，b＝5或a＝8，b＝9，∴A是1973或2864或3755或8291．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与直线l2交于点C，C点到x轴的距离CD为，直线l2交x轴于点B，且∠ABC＝30°．（1）求直线l2的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+；（2）点F（0，）；CE+EF+AF的最小值为+；（3）存在，点M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．【分析】（1）点C的纵坐标为2，点C在直线l1上，则点C（﹣1，2）；l2的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入l2表达式并解得：b＝即可求解；（2）作点A关于y轴的对称点A′（3，0），过点A′作x轴的垂