2019-2021北京初三（上）期中数学汇编：弧、弦、圆心角

2019-2021北京初三（上）期中数学汇编

弧、弦、圆心角

一、单选题

1.（2021•北京市月坛中学九年级期中）如图，己知AB是。O的直径，BC=CD=DE,ZBOC=40°,那么NAOE

等于（）

B.50°C.60°D.120°

2.（2021•北京铁路二中九年级期中）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对

的圆心角的大小是（)

B.60°C.80°D.90°

3.（2019•北京市昌平区第四中学九年级期中）如图所示，C是。O上一点，若NC=4O。，则NAOB的度数为

B.40°C.80°D.140°

4.（2019•北京十五中九年级期中）在学习了《圆》这一章节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题:

甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.

下面对这两个命题的判断，正确的是

A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲乙都对D.甲乙都错

5.（2019•北京市第四十四中学九年级期中）如图，A,B,C三点在已知的圆上，在△ABC中，ZABC=70°,

ZACB=30°,D是BAC的中点，连接DB,DC,则/DBC的度数为（）

D

二、填空题

6.（2021•北京市第五十六中学九年级期中）如图，已知A,B,C,D是OO上的点，N1=N2,①AB=C£>:②

BD=AC^③AC=BD；@ZBOD=ZAOC.则上面结论中正确的有.

7.（2021.北京八十中九年级期中）如图，AB是。O的直径，眩MN〃AB,分别过M、N作AB的垂线，垂足为

C、D,以下结论

①AC=BD；

②AM=BN；

③若四边形MCDN是正方形，则MN=3AB；

④若M为弧AN的中点，则D为OB中点.

所有正确结论的序号是一.

8.（2021.北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约.如图，摩天

轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地

面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟.

9.（2021.北京•人大附中九年级期中）如图，在。O中，弧AB=MBC=MCD,连接AC,CD,则

10.（2021•北京♦人大附中九年级期中）如图，在。O中，若触=命=%，则AC与2CD的大小关系是:

AC_2CD.（填“>”，或“=”）

11.（2019•北京八中九年级期中）如图，点A,B,C,D都在OO上，C是弧BD的中点，AB=CD.若/ODC=

50。，则NABC的度数为—。.

C

12.（2019・北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，在条件：@ZCOA=ZAOD=60°；®AC=AD=OA；③

点E分别是AO、CD的中点；④OALCD且NACO=60。中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个.

三、解答题

13.（2021•北京市第四十三中学九年级期中）如图，AB是圆。的直径，弦CD_LAB于点E,点M在。O上，MD

恰好经过圆心O,连接MB.

（I）若CD=16,BE=4,求。。的直径；

（2）若NM=ND,求ND的度数.

A

14.（2021.北京市三帆中学九年级期中）在NMON的两边OM,ON上分别取点H,I,作弧HI（可以是优弧，也

可以是劣弧）.若弧HI上所有点都在/MON内部或边上，称点H、I是NMON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为

/MON的“角半径”，记为&⑷v.例如，下图1、图2、图3中的H、I都是/MON的内嵌点.已知NMON=60。，

（2）当OH=2,弧HI是半圆时，求线段01长度的取值范围；

（3）当OHXH,金川=2万时，求线段01长度的范围.

15.（2021•北京市月坛中学九年级期中）己知，如图，A、B、C、D是。0上的点，ZAOB-ZCOD,求证：AC

=BD

16.（2021•北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

已知：OO.求作：。。的内接正三角形.

作法：

如图，①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与。。交于C,D两点;

③连接AC,AD,CD.所以△ACD就是所求的三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

B

（2）完成下面的证明：

证明：在。O中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.".△OBC为等边三角形.

/.ZBOC=°,

ZAOC=____%

同理/AOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=I20°.

；.AC=CD=AD（）（填推理的依据）.

.'.△ACD是等边三角形.

17.（2021北京・人大附中九年级期中）如图，A、B是。O上的两点，C是弧AB中点.求证：ZA=ZB.

18.（2021•北京育才学校九年级期中）如图，在OO中，弦AB与弦CD相交于点E,且AB=CD.求证：CE=

BE.

19.（2019•北京・首都师范大学大兴附属中学九年级期中）如图，点C是半圆O上的一点，AB是。。的直径，D

是4c的中点，作DE_LAB于点E,连接AC交DE于点F,求证：AF=DF.

下面是小明的做法，请帮他补充完整（包括补全图形）

解：补全半圆。为完整的。O,连接AD,延长DE交。O于点H（补全图形）

是AC的中点，

,,AD=CD•

VDEIAB,AB是。O的直径，

AD=AH（一）（填推理依据）

：•AH=CD

：.ZADF=ZFAD（____）（填推理依据）

，AF=DF（）（填推理依据）

20.（2020.北京市第六十六中学九年级期中）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过

程.

己知：直线/及直线/外一点P.

求作：直线PQ,使尸！2〃/.

作法：如图，

①在直线/上取一点O,以点。为圆心，OP长为半径画半圆，交直线/于A,8两点;

②连接如，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；

③作直线PQ.

所以直线也就是所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：连接

,?PA=QB,

PA=----------------

：.ZPBA=ZQPB（）（填推理的依据）.

APQHl（）（填推理的依据）.

21.（2019,北京十五中九年级期中）如图,AB是。0的直径，点C在。0上,D是就中点，若NBAC=70。,求NC.

下面是小雯的解法，请帮他补充完整：

解:在。0中，

•••D是册的中点

；.BD=CD.

AZ1=Z2（）（填推理的依据）.

；ZBAC=70°,

/./2=35°.

：AB是00的直径，

/.ZADB=90°（）（填推理的依据）.

.,.ZB=90°-Z2=55°.

,:A、B、C、D四个点都在。0上，

...ZC+ZB=180°（）（填推理的依据）.

ZC=180°-ZB=（填计算结果）.

22.（2021•北京市第一五九中学九年级期中）下面是小堇设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

己知：oo.

求作：。。的内接正三角形.

作法：如图，

①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与。。交于C,D两点；

③连接AC,AD,CD.

所以△ACD就是所求的三角形.

根据小董设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：在。。中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.•.△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）.

.".ZBOC=60°.

ZAOC=180°-ZBOC=120°.

同理NAOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=120°.

；.AC=CD=AD（）（填推理的依据）.

...△ACD是等边三角形.

23.（2019•北京市第十三中学九年级期中）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆,

分别交BC,AD于E,F两点，交BA的延长于G,判断弧EF和弧FG是否相等，并说明理由.

24.（2021•北京市第五十四中学九年级期中）已知：如图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，且ABLCD,垂

足为E.

(1)求证：BC=BD；

(2)若BC=15,AD=20,求AB和CD的长.

参考答案

1.C

【分析】

根据弦、弧以及圆心角的关系可得，ABOC=ZCOD=ZEOD=40°,即可求解.

【详解】

解：：AB是。O的直径，

二ZAOB=180°,

又；BC=CD=DE,ZBOC=40°,

ZBOC=ZCOD=ZEOD=40°,

ZAOE=ZAOB-3ABOC=60°,

故选：C.

【点睛】

此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，解题的关键是掌握

弦、弧以及圆心角的关系.

2.D

【分析】

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB,BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可.

【详解】

解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

它们都经过Q.所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.

连接AQ,CQ,

AP=QN

在4APQ与^CQN中,4PQ=NQNC,

PQ=CN

.".△APQ^ACQN(SAS),

.,.ZAQP=ZCQN,ZPAQ=ZCQN

VZAQP+ZPAQ=90°,

.,.ZAQP+ZCQN=90°,

/AQC=90。，

即弧AC所对的圆心角是90。，

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心.这也是常用来确定圆心的方法.

3.C

【分析】

直接根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，故可直接得到选项.

【详解】

如图，•••ZC=40°,ZAOB=2ZC=2x40°=80°；

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键.

4.D

【分析】

根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也相等，可判

断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.

【详解】

(1)在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧对应相等，故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦;故乙命题项错

误；

故选D.

【点睛】

本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.

5.C

【详解】

试题分析：根据三角形的内角和定理得到NA=80。，根据圆周角定理得到/D=/A=80。，=D是84c的中点，，

BD=C£>，，BD=CD,根据等腰三角形的内角和./DBC=NDCB=咒”=50。,故选C

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

6.①②③④

【分析】

根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可.

【详解】

解:VZ1=Z2,

AB=CD,故①正确；

VZ1=Z2,

Zl+ZCOB=Z2+ZCOB,即NBOD=ZAOC,

ABD=AC>BD=AC,故②③正确；

由上证得=故④正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.

7.①②④

【分析】

先证明四边形CMND是矩形，再证明RtAOMC丝RSOND(HL),可得结论①②正确，证明AB=V^MN,可得

③错误；证明AOBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案.

【详解】

解：连接OM、ON,AM如图，VMCIAB,ND1AB,

/.ZOCM=ZODN=90°,

MN//AB,

/.ZCMN+ZMCD=180°,

.".ZCMN=90°,

四边形CMND是矩形，

\OM=ON

在RtAOMC和RtAOND中，｛,

[CM=DN

・,.RSOMC丝RSOND(HL),

AOC=OD,ZCOM=ZDON,

XM=RN，

:.AM=BN,故②正确，

VOA=OB,OC=OD,；.AC=BD,故①正确，

当四边形MCDN是正方形时，CM=CD=2OC,

-.-OM^y/OC2+CM2,

.\OM=^OC,

AB=2OM=2#>OC=5/5MN,

\MN=—AB,故③错误，

5

若M是AN的中点，连接BN,而AM=BN,

ZA0M=ZM0N=ZB0N=6G°,

VON=OB,

...△ONB是等边三角形，

VND1OB,；.OD=DB,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方

形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键.

8.12

【分析】

先计算出圆的底端距离地面的距离为12,从而得到圆的底部到弦的距离为22,从而计算出弦所对的圆心角，用弧

长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可.

【详解】

如图所示，根据题意，得OC=44,CD=AD-AC=100-88=12,ED=34,

CE=ED-CD=34-12=22,

OE=OC-CE=44-22=22,

在直角三角形OEF中，sinNOFE=gg=1|="

OF442

I.ZOFE=30°,

JZFOE=60°,

.,•ZFOB=120°,

240"4TTR

FAB=

180丁

；圆转动的速度为等=乎

1o9

•••最佳观赏时长为竿+签=12（分钟），

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关

键.

9.<

【分析】

连接AB、BC,根据题意得AB=BC=CD,再根据三角形的三边关系，即可求解.

【详解】

解：如图，连接AB、BC,

V5RAB=^BC=^CD,

；.AB=BC=CD,

AC<AB+BC,

AC<2CD.

故答案为：<

【点睛】

本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键.

10.<

【分析】

如图，连接AB、BC,根据题意知，AB=BC=CD,又由三角形三边关系得到AB+BOAC得到：AC<2CD.

【详解】

AB=BC=CD

；.AB=BC=CD,

在△ABC中，AB+BOAC.

.,.AC<2CD.

故答案是：<.

【点睛】

本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BOAC.

11.100

【分析】

根据AB=CD,C是弧BD的中点，得到弧CD=MBC=<AB,由等腰三角形的性质求出NCOD的度数，再根据圆

周角定理得到NA=NACB=TZCOD=40°,最后根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

解：是弧BD的中点，AB=CD.

...弧CD=MBC=MAB,

VZODC=50°,

ZCOD=180°-2ZODC=80°,

.\ZA=ZACB=-ZCOD='x80°=40°,

22

AZABC=1800-ZA-ZACB=180°-40°x2=100°.

故答案为：100.

【点睛】

本题考查了圆的有关性质.解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半.

12.4.

【分析】

根据菱形的判定方法即可得出答案.

【详解】

解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；

②中，同①的证明方法；

③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；

④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分.

故有4个.

【点睛】

本题考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可.

13.(1)20；(2)30°

【分析】

(1)根据垂径定理得到OE=1a>=8,ZOED=90°,设圆的半径为r,则OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,在△ODE

2

中利用勾股定理求解即可;

(2)由ABJ_CD,AB过圆心0,得到BC=8£>,由NM=ND,得到称C=Q,即可推出初匕="c=加，则

岷、BC、8。的度数是gx180°=60°,则NO=；NMOC=30,

【详解】

解：(1)..•弦CDLAB,

/.DE=-CD=S,ZOED=90°,

2

设圆的半径为r,则OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,

O£2+D£2=OD2BP(r-4)2+82=r2,

解得r=10，

.•.圆的直径=2r=20；

(2)连接OC,

VAB1CD,AB过圆心O,

BC=BD，

VZM=ZD,

,•)^c=ito,

,,=ifc=*D>

；MD过O,

:.辰、BC、BO的度数是gx180°=60°,

ZMOC=60°,

/.Z£>=-ZMOC=30°.

2

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，弧、弦与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定

理.

14.(1)1；(2)140/44；(3)373<01<6

【分析】

(1)先计算HI=2,当HI为半径时，R/必加的最小值是1；

(2)求得当HUON时和HUOM时，01的值，从而确定范围；

(3)先求出川所对的圆心角，再求出圆心角所对的弦长，当0I=0H时，求得OI最小值，当HI_LOM时，求得

最大值，从而求得范围.

【详解】

解：⑴V0H=0hZMON=60°,

.'.△HOI是等边三角形，

/.HI=0H=2,

当HI是圆的直径时，R/MOW展小=1>

故答案是1:

解：(2)如图1,

作HI_LON于I,

01=OH«cosZMON=2»cos600=1,

如图2,

作Hr±OM交ON于V,

OH22

0I'=cosZ.MONcos60°J_

2

A1<OI<4；

(3)如图3,

圆心记作A,作ABJ_HI于B,

,n7iR,

由——=/得,

180

/万・3

=2万,

78^

.,.n=120°,

；./HAB=J/HAI=60。，

HI=2HB=2-AH«sin60°=3G,

当OH=OI时，

VZMON=60°,

...△HOI是等边三角形，

/.OI=HI=3x/3»

当HLLOM时,OI最大，

HI3反§

01=sin60°-^-，

T

.,•373<OI<6.

【点睛】

本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化为有关圆的计算.

15.见解析

【分析】

根据角之间的关系，得到NAOC=N8QD,再根据弦与圆心角的关系，即可求解.

【详解】

证：■:ZA0B=4C0D

：.ZAOC=ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC=ZBOD

：.AC=BD

【点睛】

此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们

之间的关系.

16.(1)见解析；(2)60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等

【分析】

(1)利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到AACD；

(2)在。0中，连接OC,OD,BC,BD,利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则/BOC=

60°,接着分别计算出NCOD=NAOC=NAOD=120。.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD,从而

判断△ACD是等边三角形.

【详解】

(1)解：如图，△ACD为所作；

B

(2)证明：在00中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

...△OBC为等边三角形.

ZBOC=60°.

ZA0C=180°-NBOC=120°.

同理/AOD=120°,

NCOD=NAOC=ZAOD=120°.

.,.AC=CD=AD(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)，

.,.△ACD是等边三角形.

故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本

作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作

图，逐步操作.

17.见解析

【分析】

连接OC,通过证明AAOC/△800(545)即可得结论.

【详解】

证明：如图，连接0C,

0

•••C是AB的中点，

AC=BC，

:.ZAOC=ABOC,

在△AOC和ABOC中，

OA^OB

<ZAOC=ZBOC,

OC=OC

:./\AOC^^\BOC（SAS）,

.\ZA=ZB.

【点睛】

本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解

决问题，属于中考常考题型.

18.见解析

【分析】

根据AB=CD得到A8=C£），推出AC=B£），得到NC=N3,由此得到结论.

【详解】

证明：VAB=CD,

•*-AB=CD，

•*­AB-CB=CD-CB,

即AC=BD>

：.NC=NB,

；.CE=BE.

【点睛】

此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出AC=BO是解题的关键.

19.垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边.

【分析】

利用圆周角定理以及垂径定理证明/ADF=NFAD即可解决问题.

【详解】

补全半圆。为完整的连结AD,延长DE交于点H（补全图形）.

是4c的中点,

AD=CD-

VDE±AB,AB是（DO的直径，

•••AD=AH（垂径定理）

AH=CD

，NADF=NFAD（等弧所对的圆周角相等）

；.AF=DF（等角对等边）

故答案为垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边.

【点睛】