【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 19.9 勾股定理 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学八年级上册19.9勾股定理同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八上·东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】C

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理进行计算.

2．（2023八上·余姚期末）如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：如下图，设直角三角形的三边长度分别为，过点作于点，

∵为直角三角形，，

∴，

∵为等边三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，，

根据题意，把较小的两个三角形放置在最大的三角形内，如图2，

可知，，，

∴，

∴，

∴.

故答案为：B.

【分析】设直角△ABC的三边长度分别为a、b、c，过点D作DH⊥AB于点H，由勾股定理可得a2+b2=c2，由等边三角形的性质可得AB=BD=AD=c，表示出BH、DH，根据三角形的面积公式可得S△ABD，同理可得S△BCF、S△ACE，根据题意可知S1+S2=S△ACE，S2+S3=S△BCF，S1+S2+S2+S3=S△ABD，据此解答.

3．（2023八上·青田期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，

∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，

∴AG2+BG2＝AB2，

∴△ABG和△DCH是直角三角形，

在△ABG和△CDH中，

，

∴△ABG≌△CDH（SSS），

∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，

∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，

又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，

在△ABG和△BCE中，

，

∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，

∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，

同理可得HE＝2，

在Rt△GHE中，GH2.

故答案为：A.

【分析】延长BG交CH于点E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS证明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，进而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA证明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理进行计算.

4．（2022八上·丹东期末）下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，故此选项不符合题意

B.，故此选项不符合题意

C.，故此选项不符合题意

D.，故此选项符合题意

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

5．（2023八上·开江期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．a2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a＝5，b＝12，c＝13

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、D；根据B、C中的条件结合内角和定理即可判断.

6．（2022八上·海港期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：对于①：∵，

∴，

∴，故①满足题意；

对于②：，设，

∴，

∴，

∴，故②满足题意；

对于③：，设，

∵，

∴是直角三角形，故③满足题意；

对于④：∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，故④不满足题意；

所以能判断是直角三角形的有：①②③，

故答案为：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。

7．（2022八上·沈阳期末）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A．1、2、3B．7、8、9C．6、8、10D．5、12、20

【答案】C

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A、12+22=5，32=9，

∵5≠9，

∴1、2、3不能作为直角三角形的三边长；

B、72+82=103，92=81，

∵103≠81，

∴7，8，9可以不能作为直角三角形的三边长；

C、∵62+82=100，102=100，

∴62+82=102，

∴6、8、10能作为直角三角形的三边长；

D、∵52+122=169，202=400，

∴52+122≠202，

∴5、12、20不能作为直角三角形的三边长．

故答案为：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

8．（2023七下·孝义期中）如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】平行线的性质；勾股定理；平移的性质

【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正确；

∴，

即四边形的面积等于四边形DFCG的面积，②正确；

∴四边形的周长为6+6+10+10+6+8=36，③错误；

在△ABC中，，

∴∠BAC=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAC=∠EGC=90°，④正确，

∴正确的个数为3个，

故答案为：C

【分析】先根据平移的性质再结合题意即可判断①②③，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根据平行线的性质即可判断④，进而即可求解。

二、填空题

9．（2023八上·江北期末）如图，∠AOB=30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE=OP=6，则△ODE的面积为.

【答案】

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，

∵平分，

∴，

∵OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

∵

∴，

∵

∴

∴

∴

∴的面积，

故答案为：.

【分析】连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，根据角平分线的定义得∠AOD=15°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP=PD，由等边对等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性质得∠APD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DF=3，根据勾股定理算出PF的长，易得DP=DE，根据等腰三角形的三线合一可得PE的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.

10．（2023八上·鄞州期末）如图，在中，，D为的中点，连结，作交于点M.若，，则.

【答案】

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延长至点E，使，连结，.

∵D为的中点，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

设，则，，

在中，，

在中，，

∴，

解得（负值舍去）.

故答案为：.

【分析】延长MD至点E，使DE=DM，连结BE、CE，由中点的概念可得AD=DB，利用SAS证明△AMD≌△BED，得到∠DBE=∠A，结合∠A+∠ABC=90°可得∠DBE+∠ABC=90°，利用SAS证明△CMD≌△CED，得到CE=CM，设CM=x，则CE=x，AC=2+x，然后在Rt△CBE、Rt△ABC中，根据勾股定理求解即可.

11．（2023八上·义乌期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为cm．

【答案】；

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点P，

由题意可知CD与水平面垂直，当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，

∴∠DPE＝∠DPF＝90°，

∵∠EDC＝150°，

∴∠PDE＝30°，

∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，

∴PE＝DE＝10cm，FE＝GEGF＝26cm，cm，

∴PF＝FEPE＝16cm，

∴cm，

如图，作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，

∵FD＝FE，

∴DL＝EL＝DE＝10cm，

∵∠DLR＝∠ELF＝90°，

∴DR=2LR，cm，

∴102＋LR2＝（2LR）2，

∴cm，cm，cm，

∴作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，

∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，

∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，

∴cm，cm，

∴cm，

作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，

∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，

∴四边形EQKI、四边形EQTO都是矩形，

∴cm，

∵，

∴cm，

∴cm，

连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，

∵MN∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，

∴WT＝HG＝10cm，

∴cm.

故答案为：，.

【分析】延长CD交EF于点P，则当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，FE＝GEGF＝26cm，则PF＝16cm，根据勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根据勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，则EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，则QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，则cm，cm，cm，连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的长即可．

12．（2023八上·鄞州期末）如图，在中，，于点，于点若，.

（1）的长为；

（2）在的腰上取一点，当是等腰三角形时，长为.

【答案】（1）3

（2）或

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：（1）于点，，

，，

于点，

，

，

，

，

故答案为：3；

（2）当点在边上时，如图1，

，

是等腰三角形，

，

，

，

；

当点在边上时，

若，如图，

，，

平分，

于点，

，

此时为等腰三角形，

过点M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，

，，

由勾股定理知，，

，

，

，

，

，

由（1）知，，，

∴∠ADM=30°

，

，

是等边三角形，

，

所以当，或时，都有；

综上，或，

故答案为：或.

【分析】（1）由含30°角直角三角形性质得AB=2AD，∠DAE=60°，∠ADE=30°，AD=2AE，据此求出AB的长，最后根据BE=AB-AE即可算出答案；

（2）分类讨论：①当点M在AB边上时，易得△DEM是等腰直角三角形，可求出DE=EM=，进而根据BM=BE-EM代入计算可得BM的长；②当点M在AC边上时，若DM⊥AC，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，此时△DEM是等腰三角形，过点M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，根据勾股定理易得AM=AE=1，由三角形外角性质得∠MAN=60°，故∠AMN=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AN的长，进而根据公共点了算出MN、BM的长；③易判断出△DEM是等边三角形，根据等边三角形的性质得DE=DM=MN，故当DE=EM或MD=ME时，都有，综上即可得出答案.

13．（2022八上·拱墅月考）如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则，线段的长度．

【答案】45；

【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵AE＝AD，BF＝BD，

∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，

∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，

∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，

∴∠ADE+∠BDF＝135°，

∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°，

∵∠END＝90°，DE＝，

∴∠EDN＝∠DEN＝45°，

∴EN＝DN＝1，

∵D为AB的中点，

∴AD=BD，

又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2，

△ADM≌△BDF（SAS），

∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，

∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，

∴EM＝AM，

∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3，

∴EM＝＝=，

∴AM＝，AB＝2AM＝．

故答案为：45，．

【分析】延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，先利用角的互余关系及等腰三角形性质得到∠ADE+∠BDF＝135°，再利用角的互补关系求得∠EDF＝45°，从而得到∠EDN＝∠DEN＝45°，EN＝DN＝1；再利用“SAS”定理证明△ADM≌△BDF，从而得BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，进而得到EM＝AM，再利用勾股定理求得EM的长，从而求出AM的长，进而求得AB的长.

三、解答题

14．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

【答案】解：连接AC，

∠B=90°，AB=4，BC=3，

CD=12，AD=13，

，

是直角三角形且，

∴

.

【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.

15．（2023八上·凤翔期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）

【答案】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，

过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，

连接AB，

∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，

在Rt△AEB中，AB=（m），

故小鸟至少飞行m.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，连接AB，则得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的长即可.

四、作图题

16．（2023八上·温州期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(-3，0)，B(0，4)．请在所给的网格区域(含边界)作图．

（1）画一个等腰三角形ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．

（2）画一个△OAD，使△OAD与△AOB重叠部分的面积是△AOB面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．

【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等

图1中点C的坐标：(5，4)

图2中点C的坐标：(4，1)

（2）解：画法不唯一，如图3或图4等

图3中点D的坐标：(3，4)

图4中点D的坐标：(-3，4)

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及勾股定理算出AB的长为5，从而在第一象限内找出以B一个端点长度为5的线段，且另一个端点是格点的点就是点C，连接AC，△ANBC就是所求的三角形，进而根据点C的位置读出其坐标即可；

（2）由于等底同高的三角形面积相等，故过BO的中点及点A的直线经过的第一象限的格点的点就是点D，连接OD，根据点D的位置读出其坐标即可；或者过BA的中点及点O的直线经过的第二象限的格点的点就是点D，连接AD，根据点D的位置读出其坐标即可.

五、综合题

17．（2023七下·张店期末）已知线段垂直直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边三角形（点在边的右侧）和等边三角形，直线交直线于点．

（1）当点在线段上时，如图1，求证：；

（2）①当点在线段的延长线上时（如图2），请直接写出线段，，之间的数量关系；

②当点在线段的延长线上时（如图3），请直接写出线段，，之间的数量关系；

③在①和②中，选择其中一个进行证明；

（3）当，且时，请直接写出的长．

【答案】（1）证明：设交于，如图：

∵，都是等边三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即．

（2）解：①结论：．②结论：；

③证明①：如图2中，

∵，都是等边三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即．

证明②：如图3中，

∵，都是等边三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即．

（3）的长为或

当点在线段上时，过点作于点于点，如图1：

∵，，设，

则，，

∵，

故，

解得：，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，，

∴，

故，

即；

当点在线段的延长线上时，如图2：

∵，即，故该情况不符合题意；

当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图3：

∵，，设，

则，，

∵，

故，

解得：，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，，

∴，

故，

即；

综上，当，且时，的长为或．

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】（2）②结论DF=CE+CF。证明：如图3所示，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又∵AB⊥l，∴∠ABD=∠ABF=90°，又∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，又∠ACE=∠ABD，∴∠ACE=90°，∴∠BFC+∠BAC=360°-（90°+90°）=180°，∴∠BFC=180°-60°=120°，∴∠FCB=30°，∴CF=BF，∵DF=BD+BF，∴DF=CE+CF；

【分析】（1）先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠OFD=60°，根据三角形外角的性质，求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；

（2）①DF=CF-CE，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠DFE=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；

②DF=CE+CF，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠BFC=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；

（3）根据点F的位置，可以分成三种情况分别计算AB的长度。①点F在线段BD上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；②点F在线段BD的延长线上时，BD＜BF，不符合BD=3BF，故该情况不符合题意；③点F在线段DB的延长线上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；即可得出线段AB的两个值。

18．（2023七下·黄浦期末）如图，在直角坐标平面内，已知点、，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点D、E．

（1）说明的理由；

（2）求的面积

（3）在x轴上找到点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）解：∵、，轴，轴，

∴，，，则，

∴，

∴，则，

∴，

∴；

（2）解：的面积；

（3）或或

由勾股定理可得：，

①当以顶角顶点，即时，

此时点的坐标为或；

②当以为顶角顶点，即时，

由勾股定理可得：，则，

此时点的坐标为；

综上，或或．

【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）通过证明△OAD和△BOE全等，得出对应角∠AOD=∠OBE，从而得到∠AOD+∠BOE=90°，由平角定义求得∠AOB=90°，即结论得证；

（2）把△AOB的面积转化成直角梯形ADEB的面积减去2倍的Rt△AOD的面积，即可求出结果；

（3）△BOP以OB为腰的等腰三角形可分为两种种情况：①以点O为顶角顶点：OP=OB=5，求出两个符合条件的点；②以点B为顶角顶点：BO=BP=5，求出OP=6，得到一个符合条件的点，即可求得三个符合条件的点P的坐标。

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2023-2024学年初中数学八年级上册19.9勾股定理同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八上·东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）

A．6B．7C．8D．9

2．（2023八上·余姚期末）如图，以直角三角形的各边边长分别向外做等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，是小梯形面积，是三个三角形重叠部分的面积，是大梯形的面积，是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2023八上·青田期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（）

A．B．C．D．

4．（2022八上·丹东期末）下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

5．（2023八上·开江期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．a2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a＝5，b＝12，c＝13

6．（2022八上·海港期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（2022八上·沈阳期末）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A．1、2、3B．7、8、9C．6、8、10D．5、12、20

8．（2023七下·孝义期中）如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

9．（2023八上·江北期末）如图，∠AOB=30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE=OP=6，则△ODE的面积为.

10．（2023八上·鄞州期末）如图，在中，，D为的中点，连结，作交于点M.若，，则.

11．（2023八上·义乌期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为cm．

12．（2023八上·鄞州期末）如图，在中，，于点，于点若，.

（1）的长为；

（2）在的腰上取一点，当是等腰三角形时，长为.

13．（2022八上·拱墅月考）如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则，线段的长度．

三、解答题

14．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

15．（2023八上·凤翔期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）

四、作图题

16．（2023八上·温州期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(-3，0)，B(0，4)．请在所给的网格区域(含边界)作图．

（1）画一个等腰三角形ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．

（2）画一个△OAD，使△OAD与△AOB重叠部分的面积是△AOB面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．

五、综合题

17．（2023七下·张店期末）已知线段垂直直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边三角形（点在边的右侧）和等边三角形，直线交直线于点．

（1）当点在线段上时，如图1，求证：；

（2）①当点在线段的延长线上时（如图2），请直接写出线段，，之间的数量关系；

②当点在线段的延长线上时（如图3），请直接写出线段，，之间的数量关系；

③在①和②中，选择其中一个进行证明；

（3）当，且时，请直接写出的长．

18．（2023七下·黄浦期末）如图，在直角坐标平面内，已知点、，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点D、E．

（1）说明的理由；

（2）求的面积

（3）在x轴上找到点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理进行计算.

2．【答案】B

【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：如下图，设直角三角形的三边长度分别为，过点作于点，

∵为直角三角形，，

∴，

∵为等边三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，，

根据题意，把较小的两个三角形放置在最大的三角形内，如图2，

可知，，，

∴，

∴，

∴.

故答案为：B.

【分析】设直角△ABC的三边长度分别为a、b、c，过点D作DH⊥AB于点H，由勾股定理可得a2+b2=c2，由等边三角形的性质可得AB=BD=AD=c，表示出BH、DH，根据三角形的面积公式可得S△ABD，同理可得S△BCF、S△ACE，根据题意可知S1+S2=S△ACE，S2+S3=S△BCF，S1+S2+S2+S3=S△ABD，据此解答.

3．【答案】A

【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，

∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，

∴AG2+BG2＝AB2，

∴△ABG和△DCH是直角三角形，

在△ABG和△CDH中，

，

∴△ABG≌△CDH（SSS），

∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，

∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，

又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，

在△ABG和△BCE中，

，

∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，

∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，

同理可得HE＝2，

在Rt△GHE中，GH2.

故答案为：A.

【分析】延长BG交CH于点E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS证明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，进而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA证明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理进行计算.

4．【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，故此选项不符合题意

B.，故此选项不符合题意

C.，故此选项不符合题意

D.，故此选项符合题意

故答案为：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

5．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、D；根据B、C中的条件结合内角和定理即可判断.

6．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：对于①：∵，

∴，

∴，故①满足题意；

对于②：，设，

∴，

∴，

∴，故②满足题意；

对于③：，设，

∵，

∴是直角三角形，故③满足题意；

对于④：∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，故④不满足题意；

所以能判断是直角三角形的有：①②③，

故答案为：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。

7．【答案】C

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A、12+22=5，32=9，

∵5≠9，

∴1、2、3不能作为直角三角形的三边长；

B、72+82=103，92=81，

∵103≠81，

∴7，8，9可以不能作为直角三角形的三边长；

C、∵62+82=100，102=100，

∴62+82=102，

∴6、8、10能作为直角三角形的三边长；

D、∵52+122=169，202=400，

∴52+122≠202，

∴5、12、20不能作为直角三角形的三边长．

故答案为：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

8．【答案】C

【知识点】平行线的性质；勾股定理；平移的性质

【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正确；

∴，

即四边形的面积等于四边形DFCG的面积，②正确；

∴四边形的周长为6+6+10+10+6+8=36，③错误；

在△ABC中，，

∴∠BAC=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAC=∠EGC=90°，④正确，

∴正确的个数为3个，

故答案为：C

【分析】先根据平移的性质再结合题意即可判断①②③，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根据平行线的性质即可判断④，进而即可求解。

9．【答案】

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，

∵平分，

∴，

∵OD的垂直平分线交OA、OB分别于点P，Q

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

∵

∴，

∵

∴

∴

∴

∴的面积，

故答案为：.

【分析】连接DP、DQ，过D作DF⊥OE于F，根据角平分线的定义得∠AOD=15°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP=PD，由等边对等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性质得∠APD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DF=3，根据勾股定理算出PF的长，易得DP=DE，根据等腰三角形的三线合一可得PE的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.

10．【答案】

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延长至点E，使，连结，.

∵D为的中点，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

设，则，，

在中，，

在中，，

∴，

解得（负值舍去）.

故答案为：.

【分析】延长MD至点E，使DE=DM，连结BE、CE，由中点的概念可得AD=DB，利用SAS证明△AMD≌△BED，得到∠DBE=∠A，结合∠A+∠ABC=90°可得∠DBE+∠ABC=90°，利用SAS证明△CMD≌△CED，得到CE=CM，设CM=x，则CE=x，AC=2+x，然后在Rt△CBE、Rt△ABC中，根据勾股定理求解即可.

11．【答案】；

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点P，

由题意可知CD与水平面垂直，当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，

∴∠DPE＝∠DPF＝90°，

∵∠EDC＝150°，

∴∠PDE＝30°，

∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，

∴PE＝DE＝10cm，FE＝GEGF＝26cm，cm，

∴PF＝FEPE＝16cm，

∴cm，

如图，作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，

∵FD＝FE，

∴DL＝EL＝DE＝10cm，

∵∠DLR＝∠ELF＝90°，

∴DR=2LR，cm，

∴102＋LR2＝（2LR）2，

∴cm，cm，cm，

∴作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，

∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，

∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，

∴cm，cm，

∴cm，

作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，

∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，

∴四边形EQKI、四边形EQTO都是矩形，

∴cm，

∵，

∴cm，

∴cm，

连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，

∵MN∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，

∴WT＝HG＝10cm，

∴cm.

故答案为：，.

【分析】延长CD交EF于点P，则当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，FE＝GEGF＝26cm，则PF＝16cm，根据勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根据勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，则EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，则QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，则cm，cm，cm，连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的长即可．

12．【答案】（1）3

（2）或

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：（1）于点，，

，，

于点，

，

，

，

，

故答案为：3；

（2）当点在边上时，如图1，

，

是等腰三角形，

，

，

，

；

当点在边上时，

若，如图，

，，

平分，

于点，

，

此时为等腰三角形，

过点M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，

，，

由勾股定理知，，

，

，

，

，

，

由（1）知，，，

∴∠ADM=30°

，

，

是等边三角形，

，

所以当，或时，都有；

综上，或，

故答案为：或.

【分析】（1）由含30°角直角三角形性质得AB=2AD，∠DAE=60°，∠ADE=30°，AD=2AE，据此求出AB的长，最后根据BE=AB-AE即可算出答案；

（2）分类讨论：①当点M在AB边上时，易得△DEM是等腰直角三角形，可求出DE=EM=，进而根据BM=BE-EM代入计算可得BM的长；②当点M在AC边上时，若DM⊥AC，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，此时△DEM是等腰三角形，过点M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，根据勾股定理易得AM=AE=1，由三角形外角性质得∠MAN=60°，故∠AMN=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AN的长，进而根据公共点了算出MN、BM的长；③易判断出△DEM是等边三角形，根据等边三角形的性质得DE=DM=MN，故当DE=EM或MD=ME时，都有，综上即可得出答案.

13．【答案】45；

【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵AE＝AD，BF＝BD，

∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，

∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，

∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，

∴∠ADE+∠BDF＝135°，

∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°，

∵∠END＝90°，DE＝，

∴∠EDN＝∠DEN＝45°，

∴EN＝DN＝1，

∵D为AB的中点，

∴AD=BD，

又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2，

△ADM≌△BDF（SAS），

∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，

∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，

∴EM＝AM，

∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3，

∴EM＝＝=，

∴AM＝，AB＝2AM＝．

故答案为：45，．

【分析】延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，先利用角的互余关系及等腰三角形性质得到∠ADE+∠BDF＝135°，再利用角的互补关系求得∠EDF＝45°，从而得到∠EDN＝∠DEN＝45°，EN＝DN＝1；再利用“SAS”定理证明△ADM≌△BDF，从而得BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，进而得到EM＝AM，再利用勾股定理求得EM的长，从而求出AM的长，进而求得AB的长.

14．【答案】解：连接AC，

∠B=90°，AB=4，BC=3，

CD=12，AD=13，

，

是直角三角形且，

∴

.

【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.

15．【答案】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，

过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，

连接AB，

∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，

在Rt△AEB中，AB=（m），

故小鸟至少飞行m.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，连接AB，则得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的长即可.

16．【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等

图1中点C的坐标：(5，4)

图2中点C的坐标：(4，1)

（2）解：画法不唯一，如图3或图4等

图3中点D的坐标：(3，4)

图4中点D的坐标：(-3，4)

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及勾股定理算出AB的长为5，从而在第一象限内找出以B一个端点长度为5的线段，且另一个端点是格点的点就是点C，连接AC，△ANBC就是所求的三角形，进而根据点C的位置读出其坐标即可；

（2）