函数的微分课件

第五节函数的微分机动目录上页下页返回结束一.微分的概念二.微分的几何意义及函数的线性化三.微分的运算法则四.微分在近似计算中的应用8/22/20231第五节函数的微分机动目录上页下页教学目标机动目录上页下页返回结束1.深刻理解微分的概念和几何意义.掌握一元函数在一点可微与可导的关系.熟练应用微分的基本公式与运算法则求解初等函数的微分.灵活应用一元函数一阶微分形式不变性求解复合函数和隐函数的导数及微分.

5.会用微分的定义求解微分,了解函数的线性化,会用微分作近似计算.8/22/20232教学目标机动目录上页下页返回结一.微分的概念机动目录上页下页返回结束当函数y=ƒ(x)的自变量x在其定义区间I内一点x0处取得改变量Δx,且x0+Δx∈I时,函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).一般而言,Δy是关于Δx的一个较复杂的表达式,处理起来往往较困难.因此,有必要找到一个近似表示Δy的方法,并且满足两个要求:一是计算简便,二是容易估计近似误差.──这便是函数的微分要解决的问题.

很小时Δy在经济应用与分析中,我们经常需要计算当的值．8/22/20233一.微分的概念机动目录上页下页返机动目录上页下页返回结束为了了解函数的改变量对自变量的改变量的依赖关系,我们首先考察下面的引例.引例:如图所示,若正方形的边长为x0,则它的面积S=x02是x0的函数,若其边长由

x0

变到x0+Δx时,其面积改变多少?面积的改变量为x08/22/20234机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束ΔS可分成两部分:(1)2x0Δx:是Δx的线性函数,且为ΔS的主要部分;(2)(Δx)2:是当Δx→

0时比Δx高阶的无穷小,即(Δx)2

=

o(Δx).当Δx很小时,可以忽略不计.x0关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故的微分称为函数x2在Δy可分成两部分:(1)3x02Δx是Δx的线性函数,为Δy的主

再如:函数y=x3在点x0处的改变量为

8/22/20235机动目录上页下页返回结束ΔS机动目录上页下页返回结束要部分;(2)3x0(Δx)2+(Δx)3

当Δx→

0时比Δx高阶的无穷小,可以忽略不计.问题:引例中的线性函数(即改变量的主要部分)是否是所有函数的改变量都含有呢?它是什么?如何求?将上述问题进行数学抽象,便可引出函数微分的定义.

定义5

设函数y=ƒ(x)在某区间I内有定义,且x0,x0+Δx∈I,如果函数的改变量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表为

其中A是仅与x0有关而与Δx无关的一个常数,o(Δx)是当Δx→0时比Δx高阶的无穷小.则称ƒ(x)在点x0

处可微(diff-8/22/20236机动目录上页下页返回结束要部erentiable);称Δy的线性(当A≠0时称为线性主要)部分

A·Δx为函数y=ƒ(x)在点x0

处的微分(differential).记为或即即可微函数的改变量可分为两部分:一部分是微分dy=A·Δx.它是Δx的线性函数,是函数改变量Δy的主要部分,故把第一项称为Δy的线性主部(linearpart);另一部分是当Δx→0时比由定义可得

机动目录上页下页返回结束8/22/20237erentiable);称Δy的线性(当A≠0Δx高阶的无穷小,它的具体表达式往往是复杂的,但当|Δx|很小时,在近似计算Δy时可以忽略不计．

现在的问题是:函数在点x0处可微的条件是什么?如果可微,常数A为何值?下面的定理不但解决了这两个问题,而且还给出了函数在一点可微与可导的关系．

定理5(可微的条件)

函数

y=ƒ(x)在点x0处可微的充要条件是函数y=ƒ(x)在点x0处可导,且

A=f′(x0),从而有

dy=f′(x)Δx.机动目录上页下页返回结束8/22/20238Δx高阶的无穷小,它的具体表达式往往是复杂的,但当|Δx机动目录上页下页返回结束所以函数

y=ƒ(x)在点x0处可微.证充分性.如果函数ƒ(x)在点x0处可导,即

有极限存在与无穷小的关系,有则为△y的线性主部时此项即8/22/20239机动目录上页下页返回结束所以其中A与Δx无关.上式两端同除以Δx,并令Δx→0,得必要性.设函数ƒ(x)在点x0处可微,即

上式说明函数ƒ(x)在点x0处可导,且

机动目录上页下页返回结束注1

导数与微分都讨论了Δx与Δy的关系,所以导数与微分之间应有内在的联系,定理5揭示了这种联系.由定理5可知：一元函数在一点可导与可微是等价的.从而求函数在一点的微分,可先计算函数在这一点的导数,然后再8/22/202310其中A与Δx无关.上式两端同除以Δx,并令Δx→0,但是,导数与微分是两个不同的概念.导数f′(x0)是函数ƒ(x)在点x0处的瞬变化率,而微分机动目录上页下页返回结束乘以自变量的改变量,即处改变量Δy

的线性主部;导数的值只与x0有关,而微分的值既与x0有关,还与

Δx有关.是函数ƒ(x)在点x0例1设函数ƒ(x)

=x2－2x,求当自变量x从1变到1.01时,函数的改变量Δy与函数的微分dy.解由题意知,

x0=1,Δx=0.01.则8/22/202311但是,导数与微分是两个不同的概念.导数f′(机动目录上页下页返回结束则

即而注28/22/202312机动目录上页下页返回结束则机动目录上页下页返回结束如果函数y=ƒ(x)在区间I内的每一点都可微,则称函数ƒ(x)为区间I内的的可微函数,即对任意的

x∈

I,有特别地,当y=x时,Δy=Δx,且从而由此说明,若x为自变量,则即自变量x的改变量Δx就是自变量的微分dx.所以函数ƒ(x)的微分可以写成8/22/202313机动目录上页下页返回结束从而注3记号

作为一个整体用来表示导数,此记号可以理解为函数的微分与自变量的微分之商,因此导数也可称为微商(derivative).由此可知,由函数的微分可直接求得函数的导数.

机动目录上页下页返回结束因导数即为微商,则由参数方程

……(3.4.1)所确定的函数y=f(x)如果在都可微,且时,则其导数为8/22/202314从而注3记号作为一个整体用来表示导数,此记号可以机动目录上页下页返回结束解因为例2设求所以故注4求导数与求微分的方法都叫做微分法.这正是由参数方程所确定的函数的求导公式(3.4.2).8/22/202315机动目录上页下页返回结束解二.微分的几何意义及函数的线性化1.微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解,下面我们来探讨微分的几何意义.

机动目录上页下页返回结束L:y=ƒ(x)oxyx0Ny0M0

(x0,y0)·T如图所示,M0T是函数曲线L:y=ƒ(x)在点M0处的切线,8/22/202316二.微分的几何意义及函数的线性化1.微分的几何意义机动目录上页下页返回结束L:y=ƒ(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dx如图所示,M0T是函数曲线L:y=ƒ(x)在点M0处的切线,当点M0

的横坐标x0

有一个改变量Δx时,曲线相应的纵坐标的改变量为

NK=MN·tanα而M0N=dx,则切线相应的纵坐标的改变量为K›α›αT切线上相应的纵坐标的改变量曲线上相应的纵坐标的改变量8/22/202317机动目录上页下页返回结束L:机动目录上页下页返回结束由近似公式(3.5.1)知,函数y=ƒ(x)在点M0处的微分dy的几何意义是:当自变量x在点x0处取得改变量Δx时,微分dy就是曲线

y=ƒ(x)在点

M0处的切线的纵坐标的改变量．微分的几何意义：

L:y=ƒ(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK›α›αT8/22/202318机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束*2.函数的线性化定义6

若函数y=ƒ(x)在点x=x0处可导,则称其在点x=x0处的切线

P1(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)是函数y=ƒ(x)在x=x0点的线性化(linearization);若用P1(x)去逼近ƒ(x),即

f(x)≈P1(x).则称P1(x)为ƒ(x)的线性逼近(linearapproximation),称点x=x0为逼近的中心．8/22/202319机动目录上页下页返回结束*2机动目录上页下页返回结束解因为例2求函数ƒ(x)

=ex－1在x=0处的线性化．所以ƒ(x)

=ex－1如图所示,ƒ(x)

=ex－1在x=0处的线性逼近为x≈ex－1.在x=0处的线性化为

8/22/202320机动目录上页下页返回结束解机动目录上页下页返回结束注5教材p96的表给出了ƒ(x)

=ex－1在x=0附近的几个函数值、逼近值及误差.从此表中可清楚地看到:用P1(x)=x去逼近ƒ(x)

=ex－1时,在x=0附近的x值,精度是非常高的．

由微分的几何意义知：微分dy

就是曲线

y=ƒ(x)在点M0处的切线的纵坐标的改变量,也就是其线性逼近函数的改变量.换句话说,在曲线

y=ƒ(x)某点的邻域内与曲线非常接近的那条直线就是曲线y=ƒ(x)在该点的切线,即函数y=ƒ(x)在x=x0处的线性化函数曲线

8/22/202321机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束

注6对于可微函数y=ƒ(x)而言,当Δy是曲线y=ƒ(x)上的点的纵坐标的改变量时,dy就是该曲线的切线上相应点的纵坐标的相应改变量.当|Δx|很小时,其误差

|Δy–dy|=MK比|Δx|小得多(见例1).

L:y=ƒ(x)oxyx0}ΔyNy0M(x0+Δx,y0+Δy)x0+Δx}dyM0

(x0,y0)·dxK›α›αT故当|Δx|→0时,可“以直代曲”——总可以用切线段M0K去代替曲线弧M0M,用函数微分NK=dy去近似代替函数改变量NM=Δy.8/22/202322机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束

因此在相应点M0的附近,我们可以用切线段近似地代替曲线段,即用dy代替Δy,这正是以直代曲──在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数,在几何上就是局部用切线段代替曲线段.这在数学上称为非线性函数的局部线性化,这是微分学的基本思想方法之一．这种方法是在自然科学、工程问题、经济管理问题的研究中经常采用的一种技术手段．

8/22/202323机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三.微分的运算法则1.基本初等函数的微分公式依据导数与微分的关系,利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,便可得到相应的微分公式和微分运算法则．8/22/202324机动目录上页下页返回结束三.机动目录上页下页返回结束8/22/202325机动目录上页下页返回结束8/机动目录上页下页返回结束8/22/202326机动目录上页下页返回结束8/机动目录上页下页返回结束2.微分的四则运算法则设函数u(x)和v(x)都是x的可微函数,则(C为常数)(v≠0)(1)

(2)(3)证只证(3),其余请读者自行证明.8/22/202327机动目录上页下页返回结束2.机动目录上页下页返回结束由微分与导数之间的关系,有8/22/202328机动目录上页下页返回结束由微机动目录上页下页返回结束3.复合函数的微分法则设函数y=ƒ(u)和

都可微,则复合函数的微分为微分形式不变

注7无论u是中间变量还是自变量的可微函数,微分dy=f′(u)du都保持不变,这一性质称为一元函数的一阶微分形式不变性(invariancedifferentialforms).8/22/202329机动目录上页下页返回结束3.机动目录上页下页返回结束一阶微分形式的不变性,使得我们在计算函数的微分时不必考虑是对自变量的微分,还是对中间变量的微分,这给微分运算带来极大的方便．解法一(复合函数的求导法则)由于例4求函数

的微分.所以8/22/202330机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解法二(一阶微分形式不变性

)由于解由乘积的微分法则,得

例5求函数

的微分.8/22/202331机动目录上页下页返回结束解法机动目录上页下页返回结束例6求由方程y=x＋arctan(y－2x)所确定的隐函数y=f(x)的微分.解方程两端微分,得即解出dy,得8/22/202332机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例7将适当的函数填入下列括号内,使等式成立.

注8

例7是微分的反问题,是第五章不定积分要研究的内容.数学中的反问题往往出现多值性,例如:由于则22=(),48/22/202333机动目录上页下页返回结束例7机动目录上页下页返回结束四.微分在近似计算中的应用则当f′(x0)≠0时,有则当Δx→0时,dy与Δy是等价无穷小,即dy≈Δy.故当|Δx|很小时有近似公式由于……(3.5.1)近似公式(3.5.1)满足两个要求:一是计算简便,二是近似程度好.由此,我们可以得到如下两个近似计算公式:8/22/202334机动目录上页下页返回结束四.机动目录上页下页返回结束利用公式(1)可近似计算函数在点x0附近的近似值:在点x0处,当|Δx|很小时,用f(x0)+f′(x0)Δx近似计算函数值

f(x0+Δx);

利用公式(2)可近似计算函数的改变量:在点x0处,当|Δx|很小时,用f′(x0)Δx近似计算函数的改变量

Δy=f(x0+Δx)－f(x0).若令x=

x0+Δx,则Δx=x－x0,近似公式(1)变为

……(3.5.2)8/22/202335机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束公式(3.5.2)使用原则:

1)f(x0),

f′(x0)都好算;2)x与x0充分接近．特别地,取x0

=0,且|Δx|很小时,公式(3.5.2)又变为……(3.5.3)当|Δx|很小时,用公式(3.5.3)可以推得以下几个常用的近似公式(同学们也可以从等价无穷小可相互替代的角度去解释这些近似公式)：(x用弧度作单位来表示);

(即|x0－x

|很小)8/22/202336机动目录上页下页返回结束公式机动目录上页下页返回结束证只证(v),其余请读者自行证明.令则f(0)=1,

应用公式(3.5.3),即得例8求下列各数的近似值:解这是求函数值的近似问题.(1)sin29o可以看成是函数sinx在点

处的函数值.令(|Δx|较小);8/22/202337机动目录上页下页返回结束证则

机动目录上页下页返回结束处的函数值.令(|Δx|较小);可以看成是函数ex在点

则

8/22/202338则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9现有一笔钱P存入银行,年复利为i%,问大约存入多少年后可使这笔钱为P的e倍?解令r=i%,按年复利计算,则t年后在银行的存款为P(1＋r

)t

.则有即上式两边取对数,得由于当|r|很小时,ln(1+r)≈r,

则8/22/20