新高考数学一轮学案第一章第一讲　集合的概念与运算Word版含解析【高考】

第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算ZHISHISHULISHUANGJIZICE知识梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)知识点一集合的基本概念一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*ZQR(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于AAB注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算符号语言交集A∩B并集A∪B补集∁UA图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列命题错误的是(ABCD)A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.B．方程eq\r(x－2020)＋(y＋2021)2＝0的解集为{2020，－2021}．C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．D．设U＝R，A＝{x|lgx<1}，则∁UA＝{x|lgx≥1}＝{x|x≥10}．题组二走进教材2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝45，则(D)A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P[解析]452＝2025>2021，∴a∉P，故选D．3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(B)A．A＝B B．ABC．AB D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．题组三考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}[解析]依题意得∁UA＝{1,6,7}，故B∩∁UA＝{6,7}．故选C．5．(2019·北京，5分)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(C)A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(A)A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)[解析]因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一集合的基本概念——自主练透例1(1)(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示正确的是(ABD)A．－2∈A B．2021∉AC．3k2＋1∉A D．－35∈A(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且eq\f(3,2－x)∈Z}，则集合A中的元素个数为(C)A．2 B．3C．4 D．5(3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2020a的值为1；若1∉A，则a不可能取得的值为－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).[解析](1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2021＝3k＋1时，k＝673eq\f(1,3)∉Z，故B正确；当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选A、B、D．(2)∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C．(3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以20200∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠综上a的值不可以为－2，－1,0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).名师点拨☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二集合之间的基本关系——师生共研例2(1)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{x|x∈A}，则集合A与集合B的关系为(C)A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．不能确定(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,3)，n∈Z}，且B⊆A，则集合B的个数为(C)A．3 B．4C．8 D．15(3)(多选题)设集合M＝{x|x＝eq\f(k,3)＋eq\f(1,6)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,6)＋eq\f(2,3)，k∈Z}，则下面不正确的是(ACD)A．M＝N B．MNC．NM D．M∩N＝∅(4)已知集合A＝{x|x2－2020x＋2019<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2_019，＋∞).[解析](1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选C．(2)∵集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,3)，n∈Z}＝{0，eq\f(\r(3),2)，－eq\f(\r(3),2)}，且B⊆A，∴集合B的个数为23＝8，故选C．(3)解法一：(列举法)，由题意知M＝{…－eq\f(1,2)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(5,6)，eq\f(7,6)，…}N＝{…－eq\f(1,6)，0，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，…}显然MN，故选A、C、D．解法二：(描述法)M＝{x|x＝eq\f(2k＋1,6)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k＋4,6)，k∈Z}∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z)∴MN，故选A、C、D．(4)A＝{x|1<x<2019}，∵A⊆B，∴借助数轴可得a≥2019，∴a的取值范围为[2019，＋∞)．名师点拨☞判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题)〔变式训练1〕(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系是(D)A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝∅ D．Meq\o(⊆,/)N且Neq\o(⊆,/)M(2)(多选题)(2020·湖南长郡模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝(eq\f(1,2))x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD)A．M＝N B．N⊆MC．M＝∁RN D．(∁RN)∩M＝∅(3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(－2,5).[解析](1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M，所以Meq\o(⊆,/)N且Neq\o(⊆,/)M，故选D．(2)由题意得y＝x－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≥0，,2x，x<0，))∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.故选A、B、D．(3)化简A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，当m>0时，x>－eq\f(10,m)，因为A⊆B，所以－eq\f(10,m)<－2，解得m<5，所以0<m<5.当m<0时，x<－eq\f(10,m)，因为A⊆B，所以－eq\f(10,m)>5，解得m>－2，所以－2<m<0.当m＝0时，B＝R，符合A⊆B．综上所述，所求的m的取值范围是(－2,5)．考点三集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算例3(1)(2019·天津，5分)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}(3)(2020·百校联考)已知集合A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,5)，x≥1}，则∁BA＝(C)A．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪[3，＋∞) B．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4))∪(3，＋∞)C．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪(3，＋∞) D．[eq\f(8,15)，eq\f(5,4))∪[3，＋∞)[解析](1)由条件可得A∩C＝{1,2}，故(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}．(2)方法一：∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C．方法二：由题可得N＝{x|－2<x<3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D．故选C．(3)因为A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,5)，x≥1}，所以A＝(eq\f(5,4)，3]，B＝[eq\f(8,15)，＋∞)，故∁BA＝[eq\f(8,15)，eq\f(5,4)]∪(3，＋∞)．故选C．角度2利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1<22－x<4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数m的取值范围是(CA．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，1)C．(0，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，1) D．(0,1)(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为[2,3][解析](1)B＝{x|0<2－x<2}＝{x|0<x<2}，∵A∩B＝{1,2m}，∴0<2m<2且2m≠1，即0<m<1且m≠eq\f(1,2)，故选C．(2)由A∩B＝B知，B⊆A．又B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3，则实数m的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何[解析]应对B＝∅和B≠∅进行分类．①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m②若B≠∅，由例得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]由A∪B＝B，即A⊆B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3，))不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B．[引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为(－∞，－3][解析]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,1－2m≥5，))解得m≤－3.名师点拨☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(A)A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(D)A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)(3)(角度2)设集合M＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，N＝{x|x≥a}，若M∪N＝N，则实数a的取值范围是(B)A．[0,2] B．(－∞，0]C．[2，＋∞) D．(－∞，2][解析](1)由题意可得∁UA＝{－1,3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A．(2)∁UA＝{x|x<0或x>2}，则(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D．(3)M＝{x|0≤x≤2}，∵M∪N＝N，∴M⊆N，∴a≤0，故选B．MINGSHIJIA