湖北省武汉市睿升学校2022年高三数学理月考试题含解析

湖北省武汉市睿升学校2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接若则的离心率为(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.等比数列中，，则“”是“”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A． B． C． D．参考答案：C略4.已知等差数列的前项和为，若且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则等于

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D5.若，是第三象限的角，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由，是第三象限的角，所以，.故选D.

6.若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴故选D．7.设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则B=A． B． C． D．参考答案：A8.对于函数：①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且；能使命题甲、乙均为真的函数的序号是

(

)A．①

B．②

C．①③

D．①②参考答案：D略9.抛物线上的点到直线距离的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.若数列的通项为，则其前项和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D法1：因为,所以。选D.法2：使用特种法。因为，所以，此时B,.C不成立，排除。。A,,不成立，排除A,所以选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，则m﹣n=．参考答案：﹣6【考点】类比推理．【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++∴+=∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，∴m=6，n=12．∴m﹣n=﹣6．故答案为：﹣6．12.已知，则的值为

参考答案：313.已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．【解答】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．14.点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为_______.参考答案：【分析】过作准线的垂线，垂足分别为，则，在中寻找它们的关系，求出比值的最大值。【详解】如图，过作准线的垂线，垂足分别为，则，中，，当且仅当时取等号。∴，，即的最大值为。故答案为：。【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。15.内接于以为圆心，半径为的圆，且，则的边的长度为

.参考答案：略16.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则

参考答案：因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知A,B,C分别为，根据直角三角形中边的比例关系可知，17.设P是双曲线上的一点，、分别是该双曲线的左、右焦点，若△的面积为12，则_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.参考答案：（1）证明：由得，则。代入中，得，即得。所以数列是等差数列。………………6分（2）解：因为数列是首项为，公差为等差数列，则，则。………………8分从而有，故。…………11分则，由，得。即，得。故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。………………14分略19.衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有种情况，其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果.1（2）记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，共10种，其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为.考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.20.为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，某市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（1）根据小矩形的面积等于频率，而频率之和等于0．即可得出x，再用频率×总体容量即可．（2）分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名；则其中年龄“低于35岁”的人有10×（0.01+0.04+0.07）×5=6名，“年龄不低于35岁”的人有4名．X的可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布即可得出，再利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据频率分布直方图的性质可得：（0.01+0.02+0.04+x+0.07）×5=1，解得x=0.06．估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数=0.06×5×500=150人．（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名．故X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为X0123PEX=0×+1×+2×+3×=1.8．21.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，点M的坐标为(3，)，曲线C的方程为ρ=2sin(θ+)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出点M的直角坐标为（0，3），从而直线方程为y=﹣x+3，由，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，从而得到圆上的点到直线L的距离最大值，由此能求出△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，∴x=3cos=0，y=3sin=3，∴点M的直角坐标为（0，3），∴直线方程为y=﹣x+3，…．由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，∴圆上的点到直线L的距离最大值为，而弦∴△PAB面积的最大值为．…22.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？参考答案：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)设利润为y元，则当0＜