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浙江省金华市楂林中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知为第二象限角,,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C略2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数a满足f(log2a)+f()≤2f(1),则a的最小值是()A. B.1 C. D.2参考答案:C【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行化简,即可得到结论.【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴,等价为f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,∴f(log2a)≤f(1)等价为f(|log2a|)≤f(1).即|log2a|≤1,∴﹣1≤log2a≤1,解得≤a≤2,故a的最小值是,故选:C3.若复数满足,其中为虚数单位,则在复平面内所对应的点位于(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:C4.若则实数的取值范围是(
)A.;B.;C.;D.参考答案:B5.若复数z满足iz=1+2i,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点的坐标为()A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,1) C.(2,1) D.(2,﹣1)参考答案:D【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解:z=,∴在复平面上复数z对应的点的坐标为(2,﹣1).故选:D.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.过双曲线x2﹣=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E,O为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则b=()A. B. C.2 D.参考答案:D【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,双曲线的一条渐近线的斜率为,可得结论.【解答】解:由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,∴双曲线的一条渐近线的斜率为,∴b=,故选D.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.7.(01全国卷理)函数的反函数是(A)
(B)(C)
(D)参考答案:答案:A8.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是
(
)
A.91.5和91.5
B.91.5和92C.91和91.5
D.92和92参考答案:A9.执行如右图所示的程序框图,若输出m的值是25,则输入k的值可以是A.4
B.6C.8
D.10参考答案:C10.定义在上的函数若关于的方程恰好有5个不同的实数解,则(
)A.
B.
C.
D.1参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(本小题满分14分)如图,在直角坐标系中,设椭圆的左右两个焦点分别为.过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交,其中一个交点为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的一个顶点为,直线交椭圆于另一点,求△的面积.参考答案:(1)由椭圆定义可知.由题意,.又由△可知
,,,又,得.
椭圆的方程为.
(2)直线的方程为.由
得点的纵坐标为.又,.略12.己知抛物线M的开口向下,其焦点是双曲线的一个焦点,则M的标准方程为
.参考答案:13.(选修4—4:坐标系与参数方程)直线的极坐标方程为,圆C:(θ为参数)上的点到直线的距离值为d,则d的最大值为
.参考答案:14.已知的导函数是,记,,则由导数的几何意义和斜率公式可得的大小关系是
参考答案:.记,则由于,表示直线的斜率;表示函数在点处的切线斜率;表示函数在点处的切线斜率. 所以.15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是.
参考答案:略16.若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于轴,则k=_________参考答案:略17.若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点的坐标为,则该双曲线的标准方程为
.
参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测试,按测试成绩分组如下:第一组[65,70),第二组[70,75),第三组[75,80),第四组[80,85),第五组[85,90)(假设考试成绩均在[65,90)内),得到频率分布直方图如图:(1)求测试成绩在[80,85)内的频率;(2)从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组,定期在校内进行义务宣讲,并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求第四组至少有一名同学被抽中的概率.参考答案:【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【专题】概率与统计.【分析】(1)设测试成绩在[80,85)内的频率为x,根据所有直方图的面积之和等于1求得x的值.(2)先求得抽取的这6名同学中,第三、四、五组同学的数量分别为3,2,1.在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,所有的抽法共有种,而第四组至少有一名同学被抽中的抽法有?+=9种,由此求得第四组至少有一名同学被抽中的概率.【解答】解:(1)设测试成绩在[80,85)内的频率为x,根据所给的频率分布直方图可得,0.01×5+0.07×5+0.06×5+x+0.02×5=1,解得x=0.2.(2)第三、四、五组同学的数量之比为0.3:0.2:0.1=3:2:1,故抽取的这6名同学中,第三、四、五组同学的数量分别为3,2,1.在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,所有的抽法共有=15种,而第四组至少有一名同学被抽中的抽法有?+=9种,第四组至少有一名同学被抽中的概率为=.【点评】本题主要考查频率分步直方图的性质,分层抽样的定义和方法,古典概率及其计算公式,属于基础题.19.数列{an}满足a1=1,(n∈N+).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案:【考点】数列递推式;数列的求和.【专题】计算题;证明题.【分析】(I)由已知中(n∈N+),我们易变形得:,即,进而根据等差数列的定义,即可得到结论;(II)由(I)的结论,我们可以先求出数列的通项公式,进一步得到数列{an}的通项公式an;(Ⅲ)由(II)中数列{an}的通项公式,及bn=n(n+1)an,我们易得到数列{bn}的通项公式,由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到,故利用错位相消法,即可求出数列{bn}的前n项和Sn.【解答】解:(Ⅰ)证明:由已知可得,即,即∴数列是公差为1的等差数列(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn=n?2nSn=1?2+2?22+3?23++n?2n2Sn=1?22+2?23+…+(n﹣1)?2n+n?2n+1相减得:=2n+1﹣2﹣n?2n+1∴Sn=(n﹣1)?2n+1+2【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各,其中(I)中利用递推公式,得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键.20.(18分)已知f(x)=定义在实数集R上的函数,把方程f(x)=称为函数f(x)的特征方程,特征方程的两个实根α,β(α<β)称为f(x)的特征根.(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)求αf(β)+βf(α)的值;(3)判断函数y=f(x),x∈的单调性,并证明.参考答案:考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断;函数的值.专题:函数的性质及应用.分析:(1)讨论m=0,和m≠0,并且显然能得到m=0时f(x)为奇函数,而m≠0时f(x)非奇非偶,对于这种情况举反例说明即可;(2)先得到f(x)的特征方程为:x2﹣mx﹣1=0,而根据韦达定理即可得到α+β=m,αβ=﹣1,并且,从而便可求出=﹣m2﹣2;(3)利用单调性的定义来判断f(x)的单调性:设α<x1<x2<β,作差判断f(x1)﹣f(x2)的符号即可得出f(x)在上的单调性.解答: 解:(1)①m=0时,是奇函数;②m≠0时,f(﹣1)=,f(1)=;∴f(﹣1)≠f(1),f(﹣1)≠﹣f(1);∴是非奇非偶函数;(2)∵;∴△=m2+4>0恒成立;∴α+β=m,αβ=﹣1;∵;∴=;∴αf(β)+βf(α)=﹣m2﹣2;(3)设α<x1<x2<β,则:;;∴,;;∴;∴2x1x2﹣m(x1+x2)﹣2<0;∵x1<x2,∴x2﹣x1>0;∴f(x1)﹣f(x2)<0;∴f(x)在内单调递增.点评:考查奇函数的定义,举反例来说明一个函数非奇非偶的方法,韦达定理,一元二次方程取得实根的情况和判别式△的关系,以及利用单调性的定义判断函数单调性的方法和过程,基本不等式的应用,熟悉二次函数的图象.21.已知函数f(x)=2sinxcosx﹣cos2x,x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,若f(A)=2,C=,c=2,求△ABC的面积S△ABC的值.参考答案:【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【分析】(1)由二倍角公式化简可得f(x)=2sin(2x﹣),令2k≤2x﹣≤2k,k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间.(2)由f(A)=2sin(2A﹣)=2,可得A的值,由正弦定理可解得a=,从而可求S△ABC的值.【解答】解:(1)∵f(x)=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),∴令2k≤2x﹣≤2k,k∈Z可解得k≤x≤k,k∈Z,即有函数f(x)的单调递增区间为:[k,k],k∈Z,(2)∵f(A)=2sin(2A﹣)
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