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江苏省南通市如东县2022-2023学年八年级下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.以下列长度的三条线段为边,能组成直角三角形的是(
)A.2,3,4 B.6,8,10 C.5,11,12 D.7,9,112.已知在中,,则的度数为(
)A. B. C. D.3.一次函数y=2x+1的图象经过的象限是(
)A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四4.学校甲、乙两支国旗护卫队队员的平均身高均为1.7米,要想知道哪支国旗护卫队队员的身高更为整齐,通常需要比较他们身高的(
)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差5.一次函数的图象经过点,则a的值为(
)A.-1 B.0 C.1 D.26.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则m的值是(
)A.9 B.10 C.11 D.127.如图,已知一次函数的图象经过点,则关于的不等式的解集为(
)A. B. C. D.8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,且满足4a-2b+c=0.则(
)A.b=a B.c=2a C.a(x+2)2=0 D.-a(x-2)2=09.如图,在矩形中,,E,F是对角线上两点,,过点E,F分别作的垂线,与边分别交于点G,H.若,,则(
)A.6 B.5 C.4 D.310.已知y关于x的一次函数,当时,,则k的值等于(
)A. B. C. D.二、填空题11.在平面直角坐标系中,点(2,3)关于原点对称的点的坐标是.12.已知正比例函数的图象如图所示,则k的值可以是(写出一个即可).13.一组数据2,0,1,x,3的平均数是2,则x=.14.小明的期中数学成绩为80分,期末数学成绩为90分,将期中和期末按照4:6的比例计算,得到总评成绩,则小明的数学总评成绩为分.15.如图,平行四边形中,的平分线分别交于点E,F,则的长等于.16.南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意是:矩形面积为八百六十四平方步,宽和长共六十步,问宽和长各几步?若设宽为x步,则根据题意可列方程为.17.若m,n是方程的两个实数根,则的值为.18.如图,过菱形ABCD的顶点D作,垂足为E,F为BC延长线上一点,连接EF,分别与菱形的边AD,CD相交于点G,H,,O为BD的中点,连接OE,OH.若,则的周长等于.三、解答题19.解方程:(1);(2).20.为增强学生的防疫意识,学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛,甲、乙两支预选队(每队各10人)参加了学校举行的选拔赛,选拔赛满分为100分.现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息:a.甲队10名学生的竞赛成绩是:92,84,92,92,96,84,92,100,82,96b.甲、乙两队学生竞赛成绩统计表:组别甲队乙队平均分9187中位数m85众数n93方差31.430(1)在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中,_______,_______;(2)学校准备从甲,乙两支预选队中选取成绩前10名(包括第10名)的学生组成代表队参加市级比赛,小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数,但他却落选了,请判断小聪所属的队伍,并说明理由.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线经过原点,且与直线交于点A(m,2),直线与y轴交于点B.(1)求直线的函数解析式;(2)点P(0,n)在y轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别与直线,交于点M,N.若,求n的值.22.为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册.(1)求这两年藏书的年平均增长率;(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册,按照(1)中藏书的年平均增长率,上述目标能实现吗?请通过计算说明.23.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,,BD平分.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)E为OB上一点,连接CE,若,求菱形ABCD的面积.24.学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球.某公司给出这两种实心球的销售方法为:甲种实心球的销售y(单位:元)与销售量x(单位:个)的函数关系如图所示;乙种实心球20元/个.(1)求y与x之间的函数关系;(2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个,且每种均不少于45个,请设计最省钱的方案,并说明理由.25.如图,在正方形ABCD中,,E为BD上的动点,连接AE并延长交正方形ABCD的边于点F,将AF绕点A逆时针旋转90°得到AG,点E的对应点为点H.(1)连接DH,求证:;(2)当时,求BF的长;(3)连接BH,请直接写出的最小值.26.定义:形如的函数称为正比例函数的“分移函数”,其中b叫“分移值”.例如,函数的“分移函数”为,其中“分移值”为1.(1)已知点(1,2k)在的“分移函数”的图像上,则k=______;(2)已知点,在函数的“分移函数”的图像上,求m的值;(3)已知矩形ABCD顶点坐标为A(1,0),B(1,2),C(-2,2),D(-2,0).函数的“分移函数”的“分移值”为3,且其图像与矩形ABCD有两个交点,直接写出k的取值范围.参考答案:1.B【分析】三角形的三边为,,,若,则三角形是直角三角形,据此逐一判断,即可求解.【详解】解:A.,不能构成直角三角形,故此项不符合题意;B.,能构成直角三角形,故此项符合题意;C.,不能构成直角三角形,故此项不符合题意;D.,不能构成直角三角形,故此项不符合题意;故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理,理解此定理是解题的关键.2.A【分析】首先根据平行四边形的性质可得,再根据,即可求解.【详解】解:∵四边形是平行四边形,,,,故选:A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键.3.A【分析】根据函数的系数与常数判断函数图象经过的象限即可.【详解】解:y=2x+1,∵2>0,所以函数图象是递增的,∵函数图象经过点(0,1),故函数图象经过一、二、三、象限,故选:A.【点睛】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系,能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.4.D【分析】根据方差的意义判断,方差越小,波动越小,数据越稳定.【详解】解:由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量,故判断甲、乙两支护卫队队员的身高哪支比较整齐,通常需要比较两个队身高的方差.故选:D【点睛】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.5.B【分析】将点(a,2)代入,即可求出a的值.【详解】解:将点(a,2)代入,得:,解得:a=0,故B正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了一次函数的图像特征,题目相对简单,正确计算即可.6.A【分析】根据判别式的意义得到Δ==0,然后解关于m的方程即可.【详解】解:根据题意得Δ==0,解得m=9,故选:A.【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.7.C【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=mx+n的值小于3的自变量x的取值范围.【详解】解:由图中可以看出,当x>−2时,mx+n<3,故选:C.【点睛】本题考查了数形结合的数学思想,学生利用图象解决问题的方法,这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用,解答此题的关键是会利用数形结合的思想解决问题.8.C【分析】结合题意,根据一元二次方程判别式的性质,得,将代入到,得,从而得,将代入到原一元二次方程,结合完全平方公式的性质计算,即可得到答案.【详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根∴∵4a-2b+c=0,即将代入到,得:∴将代入到4a-2b+c=0,得:∴∴故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程、完全平方公式的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质,从而完成求解.9.B【分析】延长交于,过作交于,可证,,可证,从而可得,,由,即可求解.【详解】解:延长交于,过作交于,,四边形是矩形,,,四边形是矩形,,,,过点E,F分别作的垂线,与边分别交于点G,H,,,在和中,(),,,,在中:,,;故选:B.【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理等,掌握相关的判定方法及性质,构建出直角三角形是解题的关键.10.C【分析】将x=a代入可得此时y恒大于0,即y=3,可得当x=a+2时,y=-2,代入即可求解.【详解】解:当x=a时,,∵,∴当x=a时,y=3,即,∴当x=a+2时,,∵,∴,解得:,故选C.【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质,熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键.11.(-2,-3)【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得答案.【详解】解:点(2,3)关于原点对称的点的坐标是(-2,-3),故答案为:(-2,-3).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标,熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数是解题关键.12.-1(答案不唯一).【分析】先根据正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过第二、四象限得出k的取值范围,进而可而得出结论.【详解】解:∵正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过第二、四象限,∴k<0,∴k可以等于-1.故答案为:-1(答案不唯一).【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系,先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键.13.4【分析】根据平均数等于数据的总和除以数据的个数,即可求解.【详解】解:根据题意得:,解得:.故答案为:4【点睛】本题主要考查了求平均数,熟练掌握平均数等于数据的总和除以数据的个数是解题的关键.14.86【分析】按照加权平均数的计算方法进行计算即可.【详解】解:小明的数学总评成绩为:.故答案为:86.【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算,熟练掌握加权平均数的计算公式,是解题的关键.15.2【分析】根据结合角平分线的定义可得,,即可求解.【详解】解:∵四边形是平行四边形∴∴∵平分∴∴∴同理可得∴故答案为:2【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质等.熟记相关结论是解题关键.16.x(60-x)=864【分析】由宽和长共六十步,可得出长为(60-x)步,根据矩形的面积为864平方步,即可得出关于x的一元二次方程.【详解】解:设宽为x步,则长为(60-x)步,根据题意得:x(60-x)=864.故答案为:x(60-x)=864.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识,找准题目中的等量关系,是解题的关键.17.2036【分析】由m,n是方程x2-2x-1=0的两个实数根可得:m2=2m+1,n2=2n+1,m+n=2,代入所求式子即可得到答案.【详解】解:∵m,n是方程x2-2x-1=0的两个实数根,∴m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,m+n=2,∴m2=2m+1,n2=2n+1,∴2m2+4n2-4n+2022=2(2m+1)+4(2n+1)-4n+2022=4m+2+8n+4-4n+2022=4(m+n)+2028=4×2+2028=2036,故答案为:2036.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念,解题的关键是整体思想的应用.18.3+【分析】连接AC,先证明△DGH≌△CFH(ASA),得DH=CH=1,从而得CD=2DH=2,再证明∠CDE=90°,在Rt△DEH中,由勾股定理,得EH=2,由菱形ABCD,O是BD中点,所以AC⊥BD于O,则OH=DH=1,AB=AD=CD=2,在Rt△DEH中,由勾股定理,得AE=1,在Rt△BED中,由勾股定理,得BD=2,又因为O是BD中点,所以OE=BD=,即可由的周长=OH+EH+OE求解.【详解】解:如图,连接AC,∵菱形ABCD,∴ABCD,ADBC,即ADCF,∴∠DGH=∠F,∠GDH=∠HCF,∵DG=CF,∴△DGH≌△CFH(ASA),∴DH=CH=1,即H是CD的中点,∴CD=2DH=2,∵菱形ABCD,O是BD中点,∴AC⊥BD于O,∴∠COD=90°,∴OH=DH=1,∴∠DOH=∠ODH,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∵ABCD,∴∠CDE+∠BED=180°,∴∠CDE=90°,在Rt△DEH中,由勾股定理,得EH==2,∵菱形ABCD,∴AB=AD=CD=2,在Rt△DEA中,由勾股定理,得AE=,∴BE=AB+AE=2+1=3,在Rt△BED中,由勾股定理,得BD=,∵O是BD中点,∴OE=BD=×2=,∴的周长=OH+EH+OE=1+2+=3+,【点睛】本题考查菱形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,本题属四边形综合题目,熟练掌握相关性质是解题的关键.19.(1),(2),【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可;(2)先移项然后用因式分解法解一元二次方程即可.【详解】(1)解:,a=1,b=-4,c=-1,,∴,∴原方程的根为,.(2)移项得:,分解因式得:,∴或,解得:,.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的基本方法,是解题的关键.20.(1)92;92(2)乙队【分析】(1)将甲队10名学生的竞赛成绩进行排序即可得众数和中位数;(2)甲队的中位数明显高于乙队,即可判断;【详解】(1)解:将甲队10名学生的竞赛成绩进行排序为:82,84,84,92,92,92,92,96,96,100,甲队10名学生的竞赛成绩的众数为:;;故答案为:92,92;(2)答:甲队的中位数明显高于乙队,所以小聪所在队伍为乙队.【点睛】本题主要考查中位数、众数的概念,掌握中位数、众数的概念是解题的关键.21.(1)直线的表达式为(2)或【分析】(1)设直线l1的表达式为:y=kx(k≠0),再把A点的坐标代入y=﹣x+3,求出m,再把A点的坐标(1,2)代入y=kx即可;(2)求出OB=3,设M(,n),N(3﹣n,n),求出MN=|3﹣n|,再根据MN=2OB求出答案即可.【详解】(1)把点A的坐标(m,2)代入函数y=﹣x+3得:2=﹣m+3,解得:m=1,所以点A的坐标是(1,2),设直线l1的表达式为:y=kx(k≠0),把点A的坐标代入得:2=k,解得:k=2.所以直线l1的表达式为:y=2x;(2)y=﹣x+3中,当y=0,﹣x+3=0,解得:x=3,所以点B的坐标是(3,0),即OB=3,∵MN∥x轴,∴,N(3-n,n),∴∵,∴,∴3﹣n±6,解得或.【点睛】本题考查了一次函数的性质,两直线相交与平行问题,用待定系数法求一次函数的图象等知识点,能求出点A、B的坐标是解此题的关键.22.(1)20%(2)能实现,见解析.【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,解此方程即可解答;(2)由(1)中的增长率解出2022年的藏书量,再与8.6万册作比较即可解答.【详解】(1)解:设这两年藏书的年平均增长率为x,根据题意得,5(1+x)2=7.2解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去)答:这两年藏书的年平均增长率为20%;(2)7.2×(1+20%)=8.64(万册)因为8.64>8.6所以按照(1)中藏书的年平均增长率,该校期望2022年底藏书量达到8.6万册目标能实现.【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.23.(1)过程见解析(2)16【分析】对于(1),先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形,再根据角平分线的性质得∠ABD=∠ADB,可得AB=AD,即可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案;对于(2),先根据勾股定理求出CO,BO,再根据菱形的面积等于对角线乘以的一半得出答案.【详解】(1)∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形;(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2CO,BD=2BO.在Rt△COE中,,,∴,∴AC=2CO=4.在Rt△BOC中,,,∴,∴BD=2BO=8.所以菱形ABCD的面积=.【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定,掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键.24.(1)(2)购买甲种实心球45个,乙种实心球55个;理由见解析【分析】(1)根据函数图象,分两段用待定系数法,求出函数的解析式即可;(2)设购买甲种实心球m个,则乙种实心球个,需要花费w元,根据题意列出函数关系式,根据每种均不少于45个,求出m的取值范围,根据函数的增减性,得出答案即可.【详解】(1)解:当时,设,把,代入得:,解得:,∴当时,设,当时,设,把,和,分别代入得:,解得:,∴当时,设,综上分析可知,y与x之间的函数关系式为.(2)设购买甲种实心球m个,则乙种实心球个,需要花费w元,根据题意得:∵每种均不少于45个,∴,解得:,∵,∴w随m的增大而增大,当m取最小值45时,w取最小值,且最小值为:,即购买甲种实心球45个,乙种实心球55个时,花费最少.【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式和一次函数的应用,根据题意列出w与m的函数关系式,并求出m的取值范围,是解题的关键.25.(1)见解析(2)3(3)【分析】(1)根据正方形的性质得出AD=AB,,根据旋转得出,AH=AE,根据余角的性质得出,利用“SAS”证明即可;(2)根据旋转得出,在Rt△ABF中,根据勾股定理求出BF的长即可;(3)延长BD取DM=BD,连接AM,交PD于点H,连接BH,此时BH+AH最小,过点M作MN⊥AD的延长线于点N,根据DP为BM的垂直平分线,得出BH=MH,从而得出,即可求出结果.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,,根据旋转可知,,AH=AE,∴,∴,在△ABE和△ADH中,∴(SAS).(2)根据旋转可知,,∵AB=4,,∴在Rt△ABF中,根据勾股定理可得:.(3)∵四边形ABCD为正方
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