中等数学解题小品移形换位

,例 一副纸牌共52张,其中“方块 x1=4,x2=“梅花”“红心”“黑桃”每种花色的牌各13 xn+xn-1=4×3n-1(n≥3). 张,标号依次是2,3,⋯,10,J,Q,K,A.相同 将式写作 (-1)nxn-(-1)n-1xn-1=-4(-3)n-并且A与2也算同花顺牌(即A可以当成1使用).试确定,从这副牌中取出13 每种标号的牌都出现,并且不含同花顺牌的

(-1n1xn-=-4(-3)n-2

-(-1)n-2xn-取牌方法数 (-1)3x3-(-1)2 (-1)2x2=-4(-

=-4(-3)2解:先一般化为下述问题设n≥3Aa1,a2,⋯,anB=b1,b2,⋯,bnCc1,c2,⋯,cnD=d1,d2,⋯,dn

(-1nxn=(-3nn ,x3+3(-n13当n=13时,x= -3,这就是所求n1)1,2,⋯,n每个下标都出现(2)下标相邻的任两项不在同一个数列(n1,其选取方法数记为xn.xn的表达式.如图1,将一个圆n顺1,2,⋯,n,并ABCD各染

取牌方法数例2将周长为24的圆周等分成2424,使得其中任38.:满说解:1,2,⋯,24,再38列出一张3×8数表(见表1).对于任一个选 图 9936项取自某颜色数列,则将第i号扇形格染上该颜色.,xn就成为将圆盘的n个扇形格染四色使相邻格不同色的染色方法数.2008-05-

尾两数属于相邻情况)任两点间所夹弧长为8.今要所取的数满足数不同行(第一列与第八列视为相邻).考虑3⋯⋯⋯⋯从中选取n,使每列恰取一数,且相(第一列与第n列视为相邻.ak、bk、ck分别染红、黄、蓝1,2,⋯,若表中第i列所选出的为i号格染上该颜色易知这种对应是一一的.于是问题转化为:求用三种颜色分别染圆盘的n个扇形格,使邻格不同色的方法数xn.x1=3,x2=x3=

个“好牌组.试求好牌组的个数.“2004等特征嵌入题中以增添特色与气氛.:.若增加一张(0每仍.由于2004<211先考虑三王问题对于 {1,2,⋯,2004},A2021,⋯,210,⋯B2021,⋯,210,⋯C20,21,⋯,210,un则u1=3(1=1A=1B=1C) n-当n≥3时,xn+xn-1=3×2n-1,即 u2=6(2=2A=2B=2C=1A+1B=1B+1C=1C+1A).(-1)nx-(-1)n-1x =-3(-2)n-1. 类似得u3=10,u4=15,u5= n-

=(-1)nx, nyn-yn-n

=-3(-2)n-1

u2n=un+3un-1,u2n+1=3un+un- - =-3(-2)n-2n-

n-

2n的牌组i)将各分值除以2y3-y2=-3(-2)2

ny2=-3(-2)n相加得y=(-2)2n

un()则王牌必是两张.所以,xn=2n+2(-1)n(n≥2). 当n=8时,x8=28+2=258,这就是 总分为2n-2且无王牌的情况,将各分值求的八点组的不同取法的种数332,1,2,⋯,10;另有大小王牌各一张编号均为0.从这副牌中任取若干,然后按如下规:每张编号为k的牌计为2k分.

2n-1且允许有王牌的情况等价.故这种牌组共有3un-1个.,u2nun3un-对于总分为2n1必含有,成为总分为2n且无王牌的情有王牌的情形.故这种牌组有3un个.(),2n-2将各分值2n-1且允许有王牌的情况等价.故这种牌组共有un-1个.,u2n13unun-②(n+1)(n+②n 2 u2k=uk+3uk-=(k+1)(k+ k(k+1)2+3·

n2k2.对每个n,.n{1,2,⋯,2004},an表示总n的纸牌组的个数2k≤2004对于总分为2k的任一牌组:若组内无王牌,它等价于三王问题2k且无王牌的情况.将各分值除以2,k且允许有王牌的情况等价.故这种牌组有uk个.与三王问题中2k-2且无王牌的情况等价.将各分值除以2,所得情况与三王问题中总分为k-1且允许有王牌的情况等价.按上述讨论uk1个(2k+1)(2k+ a2kukuk(k+1)(k+

k(k+u2k+1=3uk+uk-

=3(k+1)(k+

+k(k+

= )2

k+

k=1,2,⋯10032=1006009(2k