人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1 二项式定理 B组能力提高训练含解析

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人教版高中数学选择性必修第三册

6.3.1二项式定理B组能力提高训练（原卷版）

一、选择题

1．（2023·四川南充高二期末）在的展开式中.常数项为（）

A．B．C．D．

2．（2023·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知，则（）

A．B．C．D．

3．（2023·福建三明市高二期末）的展开式中常数项是（）

A．-252B．-220C．220D．252

4．（2023·江西吉安高二期末）展开式中项的系数为160，则（）

A．2B．4C．D．

5.（多选题）（2023·全国高二专题练）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（）

A．B．C．D．

6．（多选题）（2023·重庆西南大学附中高二期末）的展开式中（）

A．的系数为40B．的系数为32

C．常数项为16D．常数项为8

二、填空题

7．（2023·江苏省新海高级中学高二期末）的展开式中的系数为，则________．

8．（2023·全国高二课时练）在的展开式中，的系数为__________．

9．（2023·湖南师大附中高二期末）已知二项式(且)展开式的第项是常数项，则的值是__________-

10．（2023·全国高二课时练）若的展开式中项的系数为20，则的最小值_______

三、解答题

11．（2023·全国高二单元测）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：

（1）n的值；

（2）展开式中x5的系数；

（3）含x的整数次幂的项的个数．

12.（2023·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知的二项展开式中，第三项的系数为7.

（1）求证：前三项系数成等差数列；

（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.

人教版高中数学选择性必修第三册

6.3.1二项式定理B组能力提高训练（解析版）

一、选择题

1．（2023·四川南充高二期末）在的展开式中.常数项为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】：二项式展开式的通项为，

令，解得，所以，故选：B

2．（2023·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】，则其展开式的通项为：，

当时，，所以．

3．（2023·福建三明市高二期末）的展开式中常数项是（）

A．-252B．-220C．220D．252

【答案】A

【详解】由，可得二项式的展开式通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为.

4．（2023·江西吉安高二期末）展开式中项的系数为160，则（）

A．2B．4C．D．

【答案】C

【详解】二项式展开式的通项为，

令可得二项式展开式中的系数为，

∴展开式中的系数为，

可得，解得，故选：C．

5.（多选题）（2023·全国高二专题练）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（）

A．B．C．D．

【答案】BD

【详解】的通项公式是

设其有理项为第，则的乘方指数为，

依题意为整数，注意到，对照选择项知、、，

逐一检验：时，、，不满足条件；

时，、、，成立；

时，、、，成立，故选：BD.

6．（多选题）（2023·重庆西南大学附中高二期末）的展开式中（）

A．的系数为40B．的系数为32

C．常数项为16D．常数项为8

【答案】AC

【详解】，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确.

二、填空题

7．（2023·江苏省新海高级中学高二期末）的展开式中的系数为，则________．

【答案】

【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得

，

令，解得，

所以展开式中项为，其系数为，解得.

8．（2023·全国高二课时练）在的展开式中，的系数为__________．

【答案】60

【解析】,而在中，，，则，的系数为60.

9．（2023·湖南师大附中高二期末）已知二项式(且)展开式的第项是常数项，则的值是__________-

【答案】

【详解】，由得．

10．（2023·全国高二课时练）若的展开式中项的系数为20，则的最小值_______

【答案】

【解析】展开式的通项为，令得，所以，由得，从而，当且仅当时，的最小值为.

三、解答题

11．（2023·全国高二单元测）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：

（1）n的值；

（2）展开式中x5的系数；

（3）含x的整数次幂的项的个数．

【详解】

二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．

（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．

（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，

所以x5的系数为(-1)6．

（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，

故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．

12.（2023·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知的二项展开式中，第三项的系数为7.

（1）求证：前三项系数成等差数列；

（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.

【详解】（1）

∵，（负值舍去）