中考数学真题：2021年株洲市初中学业水平考试

株洲市2021年初中学业水平考试数学试题卷时量：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分)1.若a的倒数为2，则a＝()A.eq\f(1,2)B.2C.－eq\f(1,2)D.－22.方程eq\f(x,2)－1＝2的解是()A.x＝2B.x＝3C.x＝5D.x＝63.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝()第3题图A.38°B.48°C.58°D.66°4.某月1日－10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是()第4题图A.1日－10日，甲的步数逐天增加B.1日－6日，乙的步数逐天减少C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等D.第11日，甲的步数不一定比乙的步数多5.计算：－4×eq\r(\f(1,2))＝()A.-2eq\r(2)B.－2C.-eq\r(2)D.2eq\r(2)6.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟(1斗＝10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为()A.1.8升B.16升C.18升D.50升7.不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≤0,－x＋1＞0))的解集为()A.x<1B.x≤2C.1<x≤2D.无解8.如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝()A．10°B.12°C.14°D.15°第8题图第9题图9.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac(a＋b＋c)，则M的取值范围为()A.M<－1B.－1<M<0C.M<0D.M>010.某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度．第10题图①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)11.计算：2a2·a3＝________．12.因式分解：6x2－4xy＝________．13.据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝________．14.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是________．15.如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝________．第15题图16.中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪，焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：中药黄芪焦山楂当归销售单价(单位：元/千克)806090销售额(单位：元)120120360则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为________千克．17.点A(x1，y1)、B(x1＋1，y2)是反比例函数y＝eq\f(k,x)图象上的两点，满足：当x1>0时，均有y1<y2，则k的取值范围是________．18.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“”为“蜨”，同“蝶”)，它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只(图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”)．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝________度．图①图②第18题图三、解答题(本大题共8小题，共78分)19.(本题满分6分)计算：|－2|＋eq\r(3)sin60°－2-1.20.(本题满分8分)先化简，再求值：eq\f(2x,x2－4)·(1－eq\f(2,x))－eq\f(3,x＋2)，其中x＝eq\r(2)－2.21.(本题满分8分)如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2.(1)求证：四边形BFED是平行四边形；(2)若tan∠ABD＝eq\f(2,3)，求线段BG的长度．第21题图22.(本题满分10分)将一物体(视为边长为eq\f(2,π)米的正方形ABCD)从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置(此时点B2与点G重合)，最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝eq\f(1,3)米，EF＝4米．(1)求线段FG的长度；(2)求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．第22题图23.(本题满分10分)目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝eq\f(G,h2)(G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米)．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI<16为瘦弱(不健康)；16≤BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖(不健康)．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计如下：身体属性人数瘦弱2偏瘦2正常11偏胖9肥胖m(男性身体属性与人数统计表)(女性身体属性与人数统计图)第23题图(1)求这个样本中身体属性为“正常”的人数；(2)某女性的体更为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；(3)当m≥3且n≥2(m、n为正整数)时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．24.(本题满分10分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝eq\f(k,x)(k>0，x>0)的图象(记为Γ)交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上(不含端点)，且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E.(1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1－S2，求U的最大值．第24题图25.(本题满分13分)如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9(EF2－CF2)＝OC2.(1)求证：直线CF是⊙O的切线；(2)连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC.①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．第25题图26.(本题满分13分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)．(1)若a＝eq\f(1,2)，b＝c＝－2.求方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式的值；(2)如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0),且x1<0<x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，－eq\f(b,a)＋c＝x1.①求证：△AOC≌△DOB；②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F(0，x1－x2)在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF＋∠CBD，求eq\f(c,x1)的值．第26题图

株洲市2021年初中学业水平考试数学试题卷解析1.A【解析】∵a的倒数是2，∴2a＝1，∴a＝eq\f(1,2).2.D【解析】eq\f(x,2)－1＝2，eq\f(x,2)＝3，x＝6.3.B【解析】∵∠DCE＝132°，∴∠DCB＝180°－∠DCE＝180°－132°＝48°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝48°.4.B【解析】A.通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日－10日步数逐天增加，正确，不符合题意；B.通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日－5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；C.通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；D.第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定正确，故选B.5.A【解析】－4×eq\r(\f(1,2))＝(－4)×eq\f(\r(2),2)＝－2eq\r(2).6.C【解析】由题可知，3斗的粟即为30升的粟，设其可以换得粝米为x升，则eq\f(x,30)＝eq\f(30,50)，∴x＝18，∴可以换得粝米为18升．7.A【解析】令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≤0①,－x＋1>0②))，由①得x≤2，由②得x＜1，则不等式组的解集为x＜1.8.B【解析】如解图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO＝eq\f(360°,6)＝60°，∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠FAI＝∠IAO－∠FAO＝12°.第8题解图9.D【解析】由题图可知，图象开口向下，并与y轴相交于正半轴，∴a<0，c>0，当x＝1，y＝a＋b＋c，∵OP＝1，并由图象可得，二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于OP之间，∴a＋b＋c<0，∴M＝ac(a＋b＋c)>0.10.C【解析】如解图，过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，∵EF∥l1∥l2，∴∠MEB＝α，则h＝AM＝AB＋BE×sinα.①当α＝90°时，A，B，E三点共线，h＝AE＝AB＋BE＝1.4＋2＝3.4>3.3，∴h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确；②当α＝45°时，h＝AB＋BE×sinα＝1.4＋2×eq\f(\r(2),2)≈1.4＋1.41＝2.81<2.9，∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确；③当α＝60°时，h＝AB＋BE×sinα＝1.4＋2×eq\f(\r(3),2)≈1.4＋1.73＝3.13>3.1，∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述，说法正确的为：①②，共2个．第10题解图11.2a5【解析】2a2·a3＝2a2＋3＝2a5.12.2x(3x－2y)【解析】6x2－4xy＝2x(3x－2y)．13.7【解析】1万＝104，将1078万用科学记数法表示为1.078×107，∴1.078×10n＝1.078×107，∴n＝7.14.eq\f(1,4)【解析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种等可能情况，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为eq\f(1,4).15.4【解析】∵矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，∴AB＝DE，OE＝OD，∴AB＝DE＝2OD＝4，∵线段BC为等腰△ABC的底边，∴AC＝AB＝4.16.2.5【解析】由题意得黄芪销售量120÷80＝1.5(千克)；焦山楂的销售量120÷60＝2(千克)；当归的销售量360÷90＝4(千克)；∴平均销售量为eq\f(1.5＋2＋4,3)＝2.5(千克)．17.k<0【解析】∵当x1>0时，x1＋1>0，说明A、B两点同时位于第一或第四象限，∵当x1>0时，均有y1<y2，∴在该函数图象上，y随x的增大而增大，∴A、B两点同时位于第四象限，∴k<0，18.21【解析】∵△CBD≌△ABD，且都为等腰直角三角形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠CDA＝90°，CD＝AD，∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，∴CD＝DP，∠ADP＝48°，∴∠CDP＝138°，∴∠DCP＝∠DPC＝eq\f(180°－∠CDP,2)＝21°.19.解：原式＝2＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)＝2＋eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝3.20.解：原式＝eq\f(2x,（x＋2）（x－2）)·eq\f(x－2,x)－eq\f(3,x＋2)＝eq\f(2,x＋2)－eq\f(3,x＋2)＝－eq\f(1,x＋2)，把x＝eq\r(2)－2代入得：原式＝－eq\f(1,\r(2)－2＋2)＝－eq\f(\r(2),2).21.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，即DE∥BF，又∵DE＝BF＝2，∴四边形BFED是平行四边形；(2)解：由(1)知四边形BFED是平行四边形，∴BD∥EF，∴∠F＝∠ABD，∴tanF＝tan∠ABD＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3)，∴BG＝eq\f(4,3)，∴线段BG的长度为eq\f(4,3).22.解：(1)∵MG∥PQ，∴∠FGM＝∠FBP＝30°.∴在Rt△FGH中，FG＝2FH＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)(米)；第22题解图(2)如解图，连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形，∴A1A2＝BG＝BF－GF＝4－eq\f(2,3)＝eq\f(10,3)(米)．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB＝A1B，∠A1BC1＝∠ABC＝90°.∴∠ABA1＝180°－∠A1BC1－∠FBP＝180°－90°－30°＝60°.∴leq\o(AA1,\s\up8(︵))＝eq\f(60×π×\f(2,π),180)＝eq\f(2,3)(米)．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为leq\o(AA1,\s\up8(︵))＋A1A2＝eq\f(2,3)＋eq\f(10,3)＝4(米)．23.解：(1)根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，∴这个样本中身体属性为“正常”的人数是：11＋9＝20人；(2)∵女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，∴该女性的BMI＝eq\f(51.2,（1.6）2)＝eq\f(51.2,2.56)＝20；(3)根据图表可得：男性的人数为：2＋2＋11＋9＋m＝24＋m，女性的人数为：n＋4＋9＋8＋4＝25＋n，∵样本容量是55，∴24＋m＋25＋n＝55，∴m＋n＝6，∵m≥3且n≥2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4,n＝2)).当m＝3时，身体属性为“不健康”的男性人数有3＋2＝5人，身体属性为“不健康”的女性人数有3＋4＝7人，∴比值是eq\f(5,7)；当m＝4时，身体属性为“不健康”的男性人数有4＋2＝6人，身体属性为“不健康”的女性人数有2＋4＝6人，∴比值是eq\f(6,6)＝1.综上所述，样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值是eq\f(5,7)或1.24.解：(1)∵AB＝1，∴A点横坐标为1，∵A点在一次函数y＝2x的图象上，∴2×1＝2，∴A(1，2)，∵A点也在反比例函数图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数解析式为y＝eq\f(2,x)，∵OC＝t，直线l1∥x轴，∴D点纵坐标为t，∵D点在直线l上，∴D点横坐标为eq\f(t,2).综上可得：k＝2，D点横坐标为eq\f(t,2)；(2)直线l1∥x轴，交图象l于点D，交图象Γ于点E，∴E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为(eq\f(2,t)，t)，∴DE＝eq\f(2,t)－eq\f(t,2)，A点到DE的距离为2－t，∴S2＝eq\f(1,2)×(eq\f(2,t)－eq\f(t,2))(2－t)＝eq\f(t2,4)＋eq\f(2,t)－eq\f(t,2)－1，∵AB⊥y轴于点B，∴OB＝2，∴S1＝eq\f(1,2)OB×EC＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2,t)＝eq\f(2,t)，∴U＝S1－S2＝eq\f(2,t)－(eq\f(t2,4)＋eq\f(2,t)－eq\f(t,2)－1)＝－eq\f(t2,4)＋eq\f(t,2)＋1＝－(eq\f(1,2)t－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，∴当t＝1时，U最大＝eq\f(5,4)；∴U的最大值为eq\f(5,4).25.(1)证明：∵OC＝3CE，且9(EF2－CF2)＝OC2，∴EF2－CF2＝eq\f(OC2,9)，∴EF2－CF2＝eq\f(OC2,9)＝eq\f(（3CE）2,9)＝CE2，∴OC⊥CF，∵OC为⊙O的半径，∴直线CF是⊙O的切线；(2)①证明：∵∠COD＝2∠BOC，∠COD＝2∠CAD，∴∠CAD＝∠BOC，∵∠OBE＝∠ACD，∴△ACD∽△OBE；②解：∵△ACD∽△OBE，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,AC)，设圆的半径为r，∵OC＝3CE,AD＝4，∴eq\f(\f(2,3)r,4)＝eq\f(r,AC)，∴AC＝6.∵点M为线段AC的中点，∴CM＝3，∵EG∥AB，∴