2021人教A版数学选修1-1配套课时跟踪训练：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

[A组学业达标]1．下列结论：①(sinx)′＝cosx；1③(log3x)′＝；3lnx④(lnx)′＝1x.其中正确的有(A．0个)B．1个D．3个C．2个解析：由基本初等函数的导数公式知．①正确；②错误，1③错误，(log；3x)′＝xln3④正确．故选C.答案：C2．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(A．0)B．2xD．9C．6解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案：C3．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()3A.6B．0-1-13D.2C.2x1，∴f′(3)＝1＝63.解析：∵f′(x)＝(x)′＝2x23答案：A4．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是()π3π44A.0，∪，πB．[0，π)π3π44ππ3π424C.，D.0，∪，解析：∵(sinx)′＝cosx，∴k＝cosx，∴－1≤tanα≤1，l又∵α∈[0，π)，π3ππ∪，.∴α∈，044答案：Aπ1325．曲线y＝cosx在点P，处的切线与y轴交点的纵坐标是()1293π1293πA.－B.＋1263π1263πC.＋D.－π132πsin3π＝＝－3，，所以切线的斜率＝解析：因为y′＝－sinx，切点为P′|kyx＝－23，123π，x－32所以切线方程为y－＝－令x＝0，得y＝12＋63π，故选C.答案：C6．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．-2-解析：y′＝ex，∴k＝e0＝1，∴切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.答案：y＝x＋17．已知f(x)＝x2，g(x)＝x，且满足f′(x)＋g′(x)＝3，则x的值为________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝1，由f′(x)＋g′(x)＝3，得2x＋1＝3，∴x＝1.答案：11＝________.ln28．已知f(x)＝2，则f′x解析：∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，1∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln2＝eln2.ln2答案：eln29．求下列函数的导数．(1)y＝x14；(2)y＝2x；(3)y＝5x3；(4)y＝sin－.πx21x44.4)′＝－4x－5＝－x5解析：(1)y′＝＝′(x－(2)y′＝(2x)′＝2xln2.(3)y′＝(5x3)′＝(x)′＝x－35323.＝5555x2π2′(cosx)′＝－sinx.(4)y′＝sin－x＝10．当常数k为何值时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切？请求出切点．解析：设切点为A(x0，x)，因为y′＝2x，20-3-2x＝k，所以0＝kx0，x20所以k＝0，故当k＝0时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切，且切点坐标为(0,0)．[B组能力提升]11．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)n1＋＝()A．sinxC．cosxB．－sinxD．－cosx解析：因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：C12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x，则nx1·x2·…·xn的值为()11A.B.n＋1nnC.n＋1D．1解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，nn＋1令y＝0，得xn，＝123则x1·x2·…·xn＝×××…··234n－1nn＋1n＋11，故选B.＝n答案：B-4-，≤xx0，313．已知函数f(x)＝f′(a)＝12，则实数a的值为________．lnx，x，0<<13x2，x≤0，0<a<1，若f′(a)＝12，则或解析：由题意得f′(x)＝11，0<x<1，＝12xa≤a0，112解得a＝或a＝－2.3a2＝12，答案：121或－214．曲线y＝e在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．x，∴k＝e2，解析：∵y′＝(ex)′＝ex∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.1212∴S＝×1×|－e2|＝e2.1答案：e2215．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x上两点，是否存在与直线PQ垂直的2切线？若有，求出切线方程；若没有，请说明理由．解析：因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．4－1＝1，设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝21＋而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，12即x＝－.011所以切点为－，.24-5-141所以所求切线方程为y－＝(－1)·，＋x2即4x＋4y＋1＝0.16．已知抛物线y＝x，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．2解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所201211，所