人教版高中数学选择性必修第二册 4.4- 数学归纳法 分层作业(含解析)

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(60分钟100分)

知识点1用数学归纳法证明等式

1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()

A．1B．1＋2

C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()

A．k2＋1

B．(k＋1)2

C．

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．

知识点2用数学归纳法证明不等式

4.(5分)用数学归纳法证明：＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．

＋＋…＋＋>－

5.(10分)证明不等式1＋＋＋…＋－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．

＋＋…＋＋>－

解析：当n＝k＋1时，目标不等式为＋＋…＋＋>－.

5.(10分)证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．

证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，

即1＋＋＋…＋<2.

当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋

<2＋＝

<＝＝2.

所以当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．

知识点3用数学归纳法证明整除问题

6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.

25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.

7.(10分)用数学归纳法证明：

n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．

证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；

(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，

即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

则当n＝k＋1时，

(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]

＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27

＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．

因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，

所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．

8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)

A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

9．(5分)利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()

A．增加了这一项

B．增加了和两项

C．增加了和两项，减少了这一项

D．以上都不对

C解析：当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，

对比可知，C正确．

10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()

A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确

B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确

C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确

D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确

B解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.

11．(5分)对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．

上述证法()

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

D解析：n＝1的验证及假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D．

12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．

(k＋1)2＋k2解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.

当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，

所以等式左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.

13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．

2(2k＋1)解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，

f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，

所以＝＝2(2k＋1).

14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．

36解析：f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，…，猜想m的最大值为36.

15.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.

(1)求a2，a3；

(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．

解：(1)a2＝＝，a1＝，

则a2＝，类似地求得a3＝.

(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，

猜想：

an＝.

证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立．

②假设当n＝k时猜想成立，

即ak＝，

那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，

得ak＝，ak＋1