湖南省益阳市联合学校2021年高二数学文下学期期末试题含解析

湖南省益阳市联合学校2021年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的是（

）A．命题，的否定是：，B．命题中，若，则的否命题是真命题C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件参考答案：D在A中，命题，的否定是：，，故A错误；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C错误；在D中，，∴函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．故选D．6．2.命题：的否定是（

）A.；

B.

；C.；

D.

参考答案：D略3.已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，则m+n的值是（）A．41 B．15 C．9 D．1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∠F1PO=．可得a，又c=3，a2=b2+c2，联立解出即可得出．【解答】解：∵∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F1PO=．∴a，又c=3，a2=b2+c2，联立解得b2=3，a2=12．∴m+n=a2+b2=15．故选：B．4.下列说法不正确的是

（

）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.参考答案：D略5.已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=(

)A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式建立方程即可得到结论．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量平行的坐标公式的应用，比较基础．6.已知数列{an}的前n项的和Sn=an﹣1（a是不为0的实数），那么{an}(

)A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：C【考点】等比关系的确定．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由题意可知，当a=1时，Sn=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用，判断数列{an}是等差数列还是等比数列．【解答】解：①当a=1时，Sn=0，且a1=a﹣1=0，an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an﹣1﹣1）=0，（n＞1）an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=0，∴an﹣an﹣1=0，∴数列{an}是等差数列．②当a≠1时，a1=a﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，（n＞1）an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=an﹣1﹣an﹣2，（n＞2），（n＞2）∴数列{an}是等比数列．综上所述，数列{an}或是等差数列或是等比数列．故选C．【点评】本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．7.等差数列,的前项和分别为,,若,则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C为对立事件C．A与C存在着包含关系 D．A与C不是互斥事件参考答案：A【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案．【解答】解：A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件，事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚，明白所研究的事件．本题是概念型题．10.抛物线y=2x2的准线方程是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，观察下列几个不等式：；；；；……；归纳猜想一般的不等式为 参考答案：略12.若向量满足，且与的夹角为，则=

参考答案：13.x，y∈R且x2–y2=2，则当有序数对(x，y)为

时，|2x+3y|取得最小值

。参考答案：(2，–)或(–2，)，2；14.汽车从路灯正下方开始向前作变速行驶，汽车影长为（t的单位是秒），则汽车影长变化最快的时刻是第_________秒。参考答案：115.随机变量X的分布列如下表，则此随机变量X的数学期望是__________．X1235P参考答案：．16.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是．参考答案：x+2y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设圆的圆心为O，PQ的中点是E，根据圆的弦的性质可知OE⊥PQ，根据点E的坐标求得直线OE的斜率进而求得PQ的斜率，最后利用点斜式求得直线PQ的方程．【解答】解：设圆的圆心为O，PQ的中点是E（1，2），则OE⊥PQ，则koE==2∴kPQ=﹣∴直线PQ的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），整理得x+2y﹣5=0故答案为：x+2y﹣5=017.将3个小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子内，5号盒子中至少有一个球的概率是

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式．（2）求数列{nan}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系可得：an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn．即可证明．（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：由已知Sn=2an﹣3n．n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]．∴an+1=2an+3，变形为an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn．∴数列{bn}是等比数列，首项为6，公比为2．∴bn=an+3=6×2n﹣1，解得an=3×2n﹣3．（2）解：nan=3n×2n﹣3n．设数列{n?2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n?2n，2An=22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，∴﹣An=2+22+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1，∴An=（n﹣1）?2n+1+2．∴数列{nan}的前n项和Tn=（3n﹣3）?2n+1+6﹣．19.已知定义在R上的函数，其中a为常数．

（1）若x=1是函数的一个极值点，求a的值；

（2）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．参考答案：解析：（1）

的一个极值点，；

………………4分

（2）①当a=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；

②当；

当a>0时，对任意符合题意；

当a<0时，当符合题意；

综上所述，

…………9分

（3）

………………11分

令

设方程（*）的两个根为式得，不妨设.

当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；

当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，所以在[0，2]上的最大值只能为或

又已知在x=0处取得最大值，所以

即

…………15分20.为了解中学生对交通安全知识的掌握情况，从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图.（Ⅰ）分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”？

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计农村中学

城镇中学

合计

附：临界值表：0.100.050.0102.70638416.635

参考答案：（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩56，城镇中学的竞赛平均成绩60；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即可得平均值；（Ⅱ）根据已知数据完成列联表，再利用公式计算出观测值，再查表下结论即可.【详解】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩，城镇中学的竞赛平均成绩.（Ⅱ）

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计农村中学7030100城镇中学5050100合计12080200

，有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

21.某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，s=（x+6）?（y+6）=xy+6（x+y）+36，再由基本不等式即可得到所求最小值，及对应的x，y的值．【解答】解：设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，s=（x+6）?（y+6）=xy+6（x+y）+36，∴，当且仅当x=y=180时取等号，所以当x=y=180，s=3