北京课改版数学八年级上册12.3 三角形中的主要线段 素养提升练（含解析）VIP

第第页北京课改版数学八年级上册12.3三角形中的主要线段素养提升练（含解析）第十二章三角形

12.3三角形中的主要线段

基础过关全练

知识点1三角形的中线

1.(2023贵州贵阳中考)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是()

A.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG

2.(2023北京大兴期中)如图,AD是△ABC的中线,AB=8cm,△ABD与△ACD的周长差为2cm,则AC=cm.

第2题图

第3题图

3.【新独家原创】如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD,CE的中点,且S△BEF=

1,则S△ABD=.

知识点2三角形的角平分线

4.(2023北京房山期末)如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=75°,BD是△ABC的角平分线,则∠BDC的度数为()

A.60°B.70°C.75°D.105°

5.(2022北京海淀期中改编)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,∠D=90°,∠A=∠ABD,若∠DBC=54°,则∠A的度数为()

A.36°B.44°C.27°D.54°

6.(2022北京门头沟期末)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点P.

(1)当∠A=60°时,求∠BPC的度数;

(2)当∠A=α°时,直接写出∠A与∠BPC的数量关系.

知识点3三角形的高

7.(2022浙江杭州中考)如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则()

A.线段CD是△ABC的AC边上的高线

B.线段CD是△ABC的AB边上的高线

C.线段AD是△ABC的BC边上的高线

D.线段AD是△ABC的AC边上的高线

8.若一个三角形的两条边长之比是2∶3,则这两条边上的高之比是.

9.(2023贵州仁怀期中)如图,AD,BE分别是△ABC的高,若AD=4,BC=6,AC=5,求BE的长.

10.(2022四川自贡贡井期中)如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,AB=12cm,BC=20cm,AC=16cm,求:

(1)AD的长;

(2)△BCE的面积.

能力提升全练

11.(2022北师大附中期中,3,★☆☆)如图,△ABC中BC边上的高为()

A.线段AEB.线段BD

C.线段BFD.线段CF

12.

(2023北京朝阳期末,5,★☆☆)如图,在△ABC中,AD是高,AE是中线,若AD=3,S△ABC=6,则BE的长为()

A.1B.C.2D.4

13.(2023江苏泰州中考,5,★☆☆)如图所示的网格是由边长相等的小正方形组成的,点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是()

A.点DB.点E

C.点FD.点G

14.(2023北京二十中月考,12,★☆☆)如图,在△ABC中,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,若∠C=70°,∠AEB=95°,则∠BAD=°.

15.(2022北京海淀师达中学月考,17,★★☆)如图,AB⊥BD于点B,AC⊥CD于点C,且AC与BD交于点E,已知AE=10,DE=5,CD=4,则AB的长为.

16.(2022云南昆明五华期末,12,★★☆)如图,点D是△ABC中AB边上的点,点E是CD的中点,连接AE、BE,若△ABC的面积为8,则阴影部分的面积为.

17.(2023北京朝阳期末,16,★★★)一个三角形的三条高的长都是整数,若其中两条高的长分别为4和12,则第三条高的长为.

18.(2023北京三十五中期中,23,★☆☆)已知△ABC(如图),按下列要求画图:

(1)△ABC的中线AD;

(2)△ABD的角平分线DM;

(3)△ACD的高线CN;

(4)若C△ADC-C△ADB=3(C表示周长),且AB=4,则AC=.

素养探究全练

19.【推理能力】如图,△ABC三边上的中线AD、BE、CF的交点为G,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是.

20.【推理能力】【等面积法】等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD的长为;

(2)如图2,在△ABC中,AB=4,BC=2,则△ABC的高CD与AE的比是;

(3)如图3,在△ABC中,∠C=90°(∠A<∠ABC),点D,P分别在边AB,AC上,且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=10,求DE+DF的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.B根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线,故选B.

2.答案6

解析∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵AB=8cm,△ABD与△ACD的周长差为

2cm,∴8-AC=2,∴AC=6cm.

3.答案2

解析∵D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,

∴S=2S,S=2S,S=2S,

∵S=1,

∴S=2,∴S=1,∴S=2.

4.C∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=75°,

∴∠ABC=180°-45°-75°=60°,

∵BD是△ABC的角平分线,

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-30°-75°=75°.

故选C.

5.C∵∠D=90°,∠DBC=54°,∴∠BCD=36°,∵CD平∠ACB,∴∠ACB=2∠BCD=72°,

∵∠A=∠ABD,∴∠A+∠A+54°+72°=180°,∴∠A=27°.

故选C.

6.解析(1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,

∵点P是∠ABC的平分线和∠ACB的平分线的交点,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×120°=120°.

(2)∵∠A=α°,∴∠ABC+∠ACB=180°-α°,

∵点P是∠ABC的平分线和∠ACB的平分线的交点,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-α°)=90°+α°.∴∠BPC=90°+∠A.

7.B线段CD是△ABC的AB边上的高线,线段AD不是△ABC的BC边上的高线,也不是AC边上的高线.故选B.

8.答案3∶2

解析根据三角形的面积等于底×高÷2可知,这两条边上的高之比是3∶2.

9.解析∵AD,BE分别是△ABC的高,

∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,

∴BC·AD=AC·BE,

∵AC=5,BC=6,AD=4,

∴BE==.

10.解析(1)∵∠BAC=90°,AD是BC边上的高,

∴AD·BC=AB·AC,∴AD==(cm).

(2)∵CE是AB边上的中线,

∴S△BCE=S△ABC=××12×16=48(cm2).

能力提升全练

11.A题图中,BC边上的高为线段AE,故选A.

12.C∵AD⊥BC,AD=3,S△ABC=6,

∴BC·AD=6,∴BC=4,

∵AE是BC边上的中线,

∴BE=BC=2.故选C.

13.A三角形三条中线相交于一点,这一点叫做它的重心,直线CD经过△ABC的AB边上的中点,直线AD经过△ABC的BC边上的中点,∴点D是△ABC的重心.

14.答案40

解析∵∠AEB=95°,

∴∠BEC=180°-95°=85°,

∵∠BEC+∠CBE+∠BCE=180°,∠C=70°,

∴∠CBE=180°-70°-85°=25°,

∵BE是∠ABC的平分线,

∴∠ABC=2∠CBE=50°,

∵AD是高线,∴∠ADB=90°,

∴∠BAD=180°-90°-50°=40°.

15.答案8

解析∵AB⊥BD,AC⊥CD,

∴AB是△ADE的边DE上的高,CD是边AE上的高,

∴S△AED=DE·AB=AE·CD,

∴DE·AB=AE·CD,

∵AE=10,DE=5,CD=4,

∴AB=8.

16.答案4

解析∵点E是CD的中点,∴S△ACE=S△ADE=S△ACD,S△BCE=S△BDE=S△BCD,∴阴影部分的面积=S△ACE+S△BDE=S△ACD+S△BCD=S△ABC=×8=4.

17.答案4或5

解析设三角形三边的长分别为a,b,c,第三条高的长为h,面积为S,不妨取a=,b=,c=,∵a-b<c18.解析(1)如图,AD为所作.

(2)如图,DM为所作.

(3)如图,CN为所作.

(4)∵AD为△ABC的中线,

∴BD=CD,

∵C△ADC-C△ADB=3,

∴AC+AD+CD-(AB+AD+BD)=3,

∴AC-AB=3,

∵AB=4,

∴AC=AB+3=4+3=7.

素养探究全练

19.答案4

解析设△AFG,△BFG,△BDG,△CDG,△CEG,△AEG的面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,S6,根据中线平分三角形面积可得S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6①,S2+S3+S4=S1+S5+S6②,由①-②可得S1=S4,∴S1=S2=S3=S4,∵S1+S2+S3=S4+S5+S6,∴S5+S6=S2+S3=2S1,∵S5=S6,∴S5=S6=S1,∴S1=S2=S3=S4=S5=S6=2,∴S2+S5=4,故阴影部分的面积为4.

20.解析(1)∵CD⊥AB,